Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТФКП лекции 1-6

.pdf
Скачиваний:
56
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
368.67 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 1

Поле C. Основные топологические понятия

Поле C

Поле комплексный чисел. По определению, C = fx + iy : x 2 R; y 2 Rg, где i – символ (z = x + iy – алгебраическая форма комплексного числа z, x = Re z

– его действительная часть, y = Im z – мнимая часть) и введены следующие операции:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) z1z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

при условии, что z1;2 = x1;2 + iy1;2.

Упражнение. Проверить, что C – поле, его подполе fx+i0 : x 2 Rg изоморфно R (далее они отождествляются), i2 = (0 + i1)2 = 1 + i0 = 1.

Нулем и единицей в C являются 0 = 0 + i0 и 1 = 1 + i0 соответственно, а при

z 6= 0 обратный элемент числа z находится по формуле:

 

 

z

zz

 

x2

+ y2

x2 + y2

 

x2 + y2

 

1

=

z

=

x

iy

=

x

+ i

 

y

;

 

 

 

 

 

 

 

 

где z = x iy – число, сопряженное к z = x + iy.

Тригонометрическая форма комплексного числа. При z = x + iy поло-

6 , то

p

 

 

 

 

 

жим jzj = x2 + y2 – модуль числа z (r = jzj – полярный радиус, zz

= r2). Если

z = 0

существует единственное '0 в промежутке (

 

; ] ('0 = arg(z) – главное

значение (полярного) аргумента z) с условиями x = r cos '0, y = r sin '0. Наконец вводится Arg(z) = f'0 + 2k : k 2 Zg – совокупный (полярный) аргумент числа z. При любом ' 2 Arg z имеем z = r(cos ' + i sin ') – тригонометрическая форма z.

Полезно заметить, что если z = x+iy и x > 0 (z лежит в правой полуплоскости), то arg(z) = arctg(y=x).

Элементарно проверяется, что если '1;2 2 Arg(z1;2), r1;2 = jz1;2j, то

z1z2 = r1r2(cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)):

Отсюда вытекает

Формула Муавра. Если z = r(cos ' + i sin ') 6= 0, то при n 2 N

 

 

n

zn = rn cos(n') + i sin(n') :

 

 

 

 

 

 

n

 

(1.1)

 

 

 

 

 

 

Пусть

 

2 N,

 

 

 

 

. По

n

 

2

 

 

()

Корни степени n (pz).

 

n

 

n

 

 

2

 

определению, w

 

pz

 

wn = z. Из (1.1) следует, что при z 6= 0 совокупность p

 

состоит из n элементов

z

fw0; w1; : : : ; wn 1g, находящихся по формуле

 

 

+ i sin

 

 

 

;

 

 

 

 

wk = pz(k) = pr cos

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

n

n

 

 

'0 + 2k

 

 

 

 

 

'0 + 2k

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k = 0; : : : ; n 1. Ясно, что

n

0 = f0g.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ТОПОЛОГИЯ В C

2

Топология в C

В C вводится метрика d(z1; z2) = jz1 z2j такая же, как в R2 (так что как метрические пространства они тождественны). Предполагаются известными определения открытых, замкнутых, ограниченных, компактных, связных множеств в метрическом пространстве, определения предела последовательности и функции (в точке по множеству), непрерывности функции (в точке множества и на множестве). Тем не менее мы напоминаем

Определение. Окрестностью точки a в C называется всякое открытое множество, содержащее a.

Определение. Подмножество E в C называется связным, если нельзя найти открытые множества U1 и U2 со следующими свойствами: U1 \ E 6= ?, U2 \ E 6= ?,

U1 \ U2 = ?, E U1 [ U2.

Определение. Областью (в C) называется всякое (не пустое) открытое связное множество в C.

Простейшим примером области является открытый круг B(a; r) = fz 2 C : jz aj < rg с центром a 2 C и радиусом r > 0.

1.1.Утверждение. Пусть G – область в C. Если E G – не пусто, открыто

изамкнуто в G, то E = G.

Доказательство этого утверждения оставляется в качестве несложной задачи.

Определение. Произвольное непрерывное отображение какого-либо отрезка [ ; ] R в C называется путем (в C), а множество [ ] = ([ ; ]) – его носителем.

Определение. Множество E C называется линейно-связным, если для любых z1 2 E и z2 2 E существует путь : [ ; ] ! E с условием ( ) = z1, ( ) = z2.

Нетрудно доказать, что всякая область в C линейно-связна.

Определение. Два пути 1;2 : [ 1;2; 1;2] ! C называются эквивалентными если существует непрерывная строго возрастающая функция из [ 1; 1] на [ 2; 2] с условием 1(t) = 2( (t)) для любого t 2 [ 1; 1]. (Для краткости пишем 1 2).

Определение. Класс эквивалентных путей называют (непрерывной) кривой.

При этом корректно определен носитель кривой. Обозначения: = f g – кривая с представителем , [ ] = [ ] – ее носитель.

Определение. Путь : [ ; ] ! C называется жордановым, если он взаимно однозначен на [ ; ] (т.е. (t1) 6= (t2) при t1 < t2 ).

Определение. Путь : [ ; ] ! C называется замкнутым жордановым, если(t1) 6= (t2) при всех t1 < t2 из [ ; ), но ( ) = ( ).

Носитель всякого жорданова пути гомеоморфен отрезку [0; 1], а замкнутого жорданова пути – единичной окружности fjzj = 1g.

Определение. Жорданова кривая – класс эквивалентности жордановых путей. Замкнутая жорданова кривая – класс эквивалентности замкнутых жордановых путей.

Следующая весьма сложная топологическая теорема имеет принципиальное значение в анализе.

ПРИРАЩЕНИЕ АРГУМЕНТА. ИНДЕКС ПУТИ

3

1.2. Теорема.

(1)Пусть – жорданова кривая. Тогда = C n [ ] связно и @ = [ ].

(2)Пусть – замкнутая жорданова кривая. Тогда множество Cn[ ] не связно

– оно состоит из двух непересекающихся компонент (областей): ограниченной – D и неограниченной – , причем @D = @ = [ ].

Напомним, что через @E обозначается граница, через E – замыкание, а через

E – внутренность множества E в C. Компонентой связности множества E в C

называется всякое связное подмножество из E, которое не содержится ни в каком большем связном подмножестве в E. Всякое открытое множество распадается на конечное или счетное число своих компонент связности, являющихся (попарно непересекающимися) областями.

Считаем также, что читатель знаком с конструкцией сферы Римана C = C[f1g

– стандартной одноточечной компактификацией C (ее метризуемая топология согласована с топологией C). В случае, если E неограниченно, или 1 2 E C, мы каждый раз конкретизируем: какие из упомянутых выше топологических понятий определяются относительно топологии в C.

Ветви многозначных функций. Приращение (полярного) аргумента вдоль пути. Индекс пути относительно точки.

Пусть E C не пусто. Будем говорить, что F – многозначная функция на E, если для любого z 2 E объект F (z) представляет собой некоторое непустое подмножество в C (для однозначной функции множество F (z) – одноточечно). Иногда вместо C берется множество C.

Определение.

(1)Пусть ? 6= E1 E. Функция f : E1 ! C называется однозначной ветвью многозначной функции F на E1, если для любого z 2 E1 имеем f(z) 2 F (z).

(2)Скажем, что F распадается на однозначные ветви ffjgj2J над E1 (где J – некоторое конечное или счетное множество индексов), если F (z) = [j2J ffj(z)g при каждом z 2 E1.

1.3. Теорема. Пусть : [ ; ] ! C n f0g – путь. Тогда многозначная функция Arg( (t)) распадается над всем [ ; ] на счетное множество непрерывных ветвей f'j(t)gj2Z. Любые две из этих ветвей отличаются друг от друга на аддитивную постоянную, кратную 2 .

Доказательство. Нетрудно вывести формулу Arg(z) через x и y и убедиться, что над каждым кругом B(a; jaj), a 6= 0, многозначная функция Arg(z) распадается на счетное число непрерывных ветвей, отличающихся друг от друга на аддитивные постоянные, кратные 2 . Пользуясь последним замечанием и равномерной непрерывностью на [ ; ], мы можем разбить отрезок [ ; ] на равные достаточно малые отрезки, на каждом из которых требуемая непрерывная ветвь заведомо имеется (надо взять композицию и подходящей непрерывной ветви Arg(z)). Остается надлежащим образом “склеить” эти ветви. Аккуратное доказательство предлагаем провести читателю.

Определение. В условиях последней теоремы, величина 'j( ) 'j( ) (не зависящая от j) называется приращением (полярного) аргумента вдоль пути и

обозначается Arg(z).

1.4. Утверждение-задача. Функция ( w) Arg(z) непрерывна по w вне [ ].

Здесь и далее ( w)(t) = (t) w, t 2 [ ; ].

ДЕЙСТВИЯ С КРИВЫМИ.

4

Определение. Пусть : [ ; ] ! C – замкнутый путь, т.е. ( ) = ( ). При a 62[ ] величина

1

inda( ) = 2 ( a) Arg(z)

называется индексом пути относительно точки a.

Пусть E1 и E2 – непустые множества, а 1 и 2 – пути в C, определенные на [ ; ]. В дальнейшем мы будем пользоваться обозначениями:

dist(E1; E2) = inffjz1 z2j : z1 2 E1; z2 2 E2g; d( 1; 2) = maxfj 1(t) 2(t) : t 2 [ ; ]g:

1.5. Лемма. Пусть 1 и 2 – замкнутые пути в C, определенные на [ ; ]. Пусть a 2= [ 1], причем d( 1; 2) < dist(a; [ 1]). Тогда inda( 1) = inda( 2).

Доказательство. Пусть '(t) и (t) – некоторые непрерывные на [ ; ] ветви многозначных функций Arg( 1(t) a) и Arg( 2(t) a) соответственно. Из условия леммы вытекает, что функция '(t) (t) не принимает на [ ; ] значений f +2k : k 2 Zg. Нужное утверждение вытекает из теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции (' на [ ; ]).

1.6.Следствие. Функция indw( ) постоянна (по w) в каждой компоненте связности множества C n [ ] и принимает только целочисленные значения.

1.7.Утверждение-задача. Величины Arg(z) и inda( ) не меняются при замене на любой эквивалентный ему путь, так что f g Arg(z) и inda(f g) определены корректно для кривой f g.

Действия с кривыми.

Пусть – кривая, 2 , определен на [ ; ]. Положим (t) = ( + t) при t 2 [ ; ]. Кривая = f g называется противоположной к (имеющей противоположную ориентацию).

Определение. Пусть 1 и 2 – кривые, причем конец 1 совпадает с началом2. Возьмем какие-либо 1 2 1 и 2 2 2, определенные на [0; 1]. Кривая = 1 [ 2 (объединение 1 и 2, порядок важен!) определяется путем

 

2

(2t 1); t 2 [1=2; 1]

(t) =

1

(2t);

t 2 [0; 1=2]

Замечание. По индукции определяется объединение нескольких кривых, =1 [ [ n. Нетрудно доказывается корректность введенных определений.

1.8.Определение-задача. Пусть 1 – замкнутая жорданова кривая, а 2 – жорданова кривая с условием [ 2] [ 1] и “сонаправленная” с 1. Дать корректное определение кривой 1n 2 (это будет одна из двух возможных жордановых кривых

сносителем, равным замыканию множества [ 1] n [ 2]).

1.9.Утверждение-задача. Если кривые , 1 и 2 не проходят через 0 и кривая 1 [ 2 определена, то

Arg(z) = Arg(z);

1[ 2 Arg(z) = 1 Arg(z) + 2 Arg(z):

ДЕЙСТВИЯ С КРИВЫМИ.

5

Задачи.

(1)Доказать эквивалентность понятий связности и линейной связности для открытых множеств в C.

(2)Привести пример линейно связного компакта в C, не являющегося носителем никакого пути.

(3)Пусть K – компакт в C и функция f : K ! C – непрерывна и взаимнооднозначна на K. Тогда f(K) – компакт, а f – гомеоморфизм K и f(K).

Это утверждение имеет несколько важных следствий. Так, носитель всякого жорданова пути в C гомеоморфен отрезку, а носитель всякого замкнутого жорданова пути в C гомеоморфен окружности.

(4)Построить жорданов путь в C, носитель которого имеет положительную плоскую меру Лебега.

ЛЕКЦИЯ 2

R и C-дифференцируемость и конформность функций комплексного переменного.

Пусть множество E C не пусто, пусть определена функция f : E ! C и пусть w = f(z), w = u + iv при z = x + iy.

Определение. Пусть z0 – предельная точка множества E. Скажем, что суще-

ствует lim f(z) = w0, если для всякого " > 0 найдется > 0 такое, что из условий

E;z!z0

0 < jz z0j < , z 2 E, следует jf(z) w0j < ".

Если z0 2 (E [ fz0g) , то пишем lim f(z) = w0, опуская E.

z!z0

Определение. Функция f(z) непрерывна в точке z0 (по множеству E), если z0 2 E и выполняется одно из двух: либо z0 – изолированная (т.е. не предельная)

точка E, либо z0 – предельная точка E и lim f(z) = f(z0).

E;z!z0

Положим f(z) = u(x; y) + iv(x; y), где z = x + iy, u = Re f, v = Im f.

Утверждение-задача. lim f(z) = u0 +iv0 если и только если

lim u(x; y) =

E;z!z0

E;z!z0

u0 и, одновременно, lim v(x; y) = v0.

 

E;z!z0

 

Определение. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки z0 = x0 + iy0. Говорят, что f является R-дифференцируемой в точке z0, если Re f(z) = u(x; y) и Im f(z) = v(x; y) дифференцируемы в точке (x0; y0) как функции двух (вещественный) переменных.

Положим z = x+i y. Условие R-дифференцируемости f в точке z0 означает, что

fjz0 ( z) := f(z0 + z) f(z0) = ujz0 ( x; y) + i vjz0 ( x; y) = u0xjz0 x + u0yjz0 y + o( z) + i vx0 jz0 x + vy0 jz0 y + o( z) =

(ux0 + ivx0 )jz0 x + (uy0 + ivy0 )jz0 y + o( z) =:

@f

z0 x +

@f

z0 y + o( z)

@x

@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при z ! 0. Напомним, что g(z) = o(h(z)) при z ! z0, если h(z) 6= 0 в некоторой

проколотой окрестности точки z0, причем lim g(z)=h(z) = 0.

z!z0

Определение. Выражение

 

z0 x +

 

z0 y;

dfjz0 ( z) =

@f

@f

@x

@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

представляющее собой главную линейную часть приращения f в точке z0, называется дифференциалом функции f в точке z0.

Отметим, что df есть функция двух комплексных переменных z0 и z, а при фиксированном z0 она представляет собой R-линейную функцию (т.е. функцию вида a x + b y, где a; b 2 C – постоянны).

6

2. R И C-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И КОНФОРМНОСТЬ

7

Согласно стандартной терминологии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz = dx + idy;

 

 

 

 

= dx idy = dz;

 

 

 

dz

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

(dz + dz

)

;

 

 

dy =

(dz dz)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

 

 

Учитывая эти обозначения окончательно получаем:

 

 

 

 

 

 

 

dfjz0 (dz) =

@f

z0 dz +

@f

z0 dz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@z

@z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где, по определению,

= 2

@x

i @y

 

 

 

 

 

 

 

@y

 

 

@z

;

 

 

 

@z =

2 @x + i

:

 

@f

1

@f

@f

 

 

 

 

@f

1

@f

 

 

@f

 

 

Утверждение-задача. Пусть dfjz0 (dz) = adz + bdz, где a; b 2 C. Тогда a = (@f=@z)jz0 и b = (@f=@z)jz0 находятся однозначно.

Замечание. Из анализа хорошо известно, что если u0x, u0y, vx0 , vy0 существуют в окрестности точки (x0; y0) и непрерывны в самой этой точке, то u и v – дифференцируемы в точке (x0; y0) и, следовательно, f – R-дифференцируема в точке z0.

Определение. R-дифференцируемая в точке z0 функция f называется C-диф- ференцируемой в точке z0, если dfjz0 (dz) имеет вид adz (где a 2 C – константа, т.е dfjz0 есть C-линейная функция переменной dz).

Ясно, что последнее условие выполняется тогда и только тогда, когда a = @f=@zjz0 и, одновременно,@f=@zjz0 = 0.

Пример. Функции f(z) = zn (n 2 N) являются C-дифференцируемыми всюду. При этом dznjz0 (dz) = nz0n 1dz.

2.1. Теорема. Функция f является C-дифференцируемой в точке z0 если и только если f имеет в точке z0 комплексную производную f0(z0), т.е. существует

f

z0 ( z)

 

df

z0

 

 

 

 

 

 

z!0

j

=:

 

=:

f0

(

z

0)

:

z

dz

lim

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Очевидно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствие. R-дифференцируемая в точке z0 функция f имеет комплексную производную f0(z0), если и только если@f=@zjz0 = 0. При этом условии f0(z0) =

@f=@zjz0 .

Доказательство следующей важной теоремы также не составляет труда.

2.2. Теорема (условия Коши-Римана). R-дифференцируемая в точке z0

функция f(z) = u(x; y)+iv(x; y) является C-дифференцируемой в этой точке тогда и только тогда, когда выполняются условия Коши-Римана:

ux0 (x0; y0) = vy0 (x0; y0);

uy0 (x0; y0) = vx0 (x0; y0):

СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

8

Свойства комплексной производной

Пусть f(z) = u(x; y)+iv(x; y) – R-дифференцируема в точке z0 = x0 +iy0. Тогда f индуцирует отображение

F :

y

!

v(x; y)

 

x

 

u(x; y)

из окрестности точки (x0; y0)T в пространство R2 (рассматриваемое рассматривается как пространство столбцов

(x; y)T =

y

;

 

x

 

а символ T в верхнем индексе – это знак транспонирования). Заметим, что из R- дифференцируемости функции f в точке z0 вытекает, что отображение F будет дифференцируемым в точке (x0; y0)T .

Пусть теперь [dF ]z0 – линейное отображение R2 ! R2 с матрицей

u0x u0y

vx0 vy0 (x0;y0)T

2.3. Теорема. Функция f является C-дифференцируемой в точке z0, если и только если отображение F дифференцируемо в точке (x0; y0)T и

 

0

 

b

a

 

[dF ]z

 

=

a

b

:

При этом f0(z0) = a + ib.

Следствие. Если f – C-дифференцируема в точке z0, то det([dF ]z0 ) = jf0(z0)j2. В частности, отображение F вырождено в точке (x0; y0)T (т.е. [dF ]jz0 – нулевая матрица) если и только если f0(z0) = 0. Если же f0(z0) 6= 0, то [dF ]z0 сохраняет ориентацию, так как det([dF ]z0 ) = jf0(z0)j2 > 0.

Доказательства приведенных выше утверждений непосредственно следуют из определений дифференцируемости и условий Коши-Римана. Детали опускаем.

Утверждение-задача. Если f и g – C-дифференцируемы в точке z0, то f g, fg, f=g (при g(z0) 6= 0) – C-дифференцируемы в точке z0 и выполняются стандартные правила вычисления производных.

Утверждение-задача. Вывести формулы для (@h=@z)jz0 и (@h=@z)jz0 при h =

fg, h = fg, h = f=g, где f и g – R-дифференцируемые в точке z0 функции.

2.4.Теорема о производной сложной функции. Пусть функция g – C- дифференцируема в точке z0, а функция f – в точке w0 = g(z0). Тогда функция

fg(z) = f(g(z)) является C-дифференцируемой в точке z0, причем (f g)0(z0) =

f0(w0)g0(z0).

Доказательство. Стандартное, прямое доказательство этой теоремы точно такое же, как в одномерном вещественном анализе. Приведем еще одно.

Пусть функция g индуцирует отображение G (для краткости пишем g G) и пусть f F . По Теореме 2.3 имеем:

[dG]z0

=

b1

 

 

a1

[dF ]w0

=

b2

 

 

a2

b1 ; a1 + ib1 = g0(z0); a1

b2 ; a2 + ib2 = f0(w0): a2

 

 

 

 

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

9

Ясно, что f g F G и

 

b2

 

b1

a1 b a

 

 

 

 

0

a2

 

[d(F

 

G)]z

 

= a2

b2

a1

b1 = a b ;

 

где a := a1a2 b1b2 и b := a1b2 + a2b1, причем a + ib = (a2 + ib2)(a1 + ib1).

 

Нам будет пока хватать следующего упрощенного варианта теоремы об обратной функции.

2.5. Теорема об обратной функции. Пусть f – гомеоморфное отображение окрестности точки z0 на некоторую окрестность точки w0 = f(z0), g – обратное к f в последней окрестности. Если f – C-дифференцируемо в точке z0 и f0(z0) 6= 0, то g – C-дифференцируемо в точке w0, причем g0(w0) = 1=f0(z0).

Доказательство. Пусть w = fjz0 ( z). В силу гомеоморфности имеем:

f z ! 0;

z 6= 0g () f w ! 0; w 6= 0g:

 

Остается перейти к пределу

в равенстве z= w = ( w= z) 1.

Замечание. Из курса математического анализа известно, что условия последней теоремы будут выполнены, если потребовать, чтобы индуцированное отображение F было непрерывно дифференцируемым в окрестности точки (x0; y0)T и, дополнительно, det([dF ]z0 ) 6= 0.

Определение. Пусть f определена и конечна в окрестности 1. Функция f называется C-дифференцируемой в точке 1, если функция g(w) = f(1=w), доопределенная g(0) = f(1), является C-дифференцируемой в точке 0. По определению полагается

f0(1) = g0(0) = lim z(f(z) f(1)):

z!1

Пример. f(z) = 1=z, f(1) = 0, f0(1) = 1.

Определение. Функция f называется голоморфной в точке z0 если f – C-диф- ференцируема в некоторой окрестности точки z0.

Пример. Пусть f(z) = jzj2 = x2 + y2. Условия Коши-Римана показывают, что z = 0 – единственная точка, где функция f является C-дифференцируемой. Следовательно, она нигде не голоморфна.

Определение. Функция f называется голоморфной в области D C, если f является C-дифференцируемой (а, следовательно, голоморфной) в каждой точке области D.

Класс всех голоморфных функций в области D обозначается A(D). Функции класса A(C) называются целыми.

Содержательные примеры мы приведем чуть позже.

Конформные отображения и геометрический смысл комплексной производной

Определение. Пусть функция f – R-дифференцируема в точке z0 2 C. Говорят, что f конформна в точке z0 (по другой терминологии: f – конформное отображение в точке z0), если ее дифференциал dfjz0 ( z) в точке z0 (как функция от z) есть композиция гомотетии и поворота (оба с центром в 0, т.е. порядок не важен).

КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

10

2.6. Теорема. Функция f конформна в точке z0, если и только если f является C-дифференцируемой в точке z0 и f0(z0) 6= 0. При этом k = jf0(z0)j – коэффициент растяжения, а = arg(f0(z0)) – угол поворота при (C-линейном) отображении dfjz0 .

Доказательство этой теоремы оставляется в качестве задачи

Утверждение-задача. Пусть f = u + iv – конформна в точке z0, причем u и v имеют непрерывные частные производные в окрестности z0. Тогда f сохраняет углы между гладкими кривыми в точке z0.

Определение. Пусть f отображает окрестность точки 1 2 C в C. Говорят, что f конформна в точке 1, если отображение g(w) = f(1=w) (при g(0) = f(1) 6= 1) или g(w) = 1=f(1=w), g(0) = 0 (при f(1) = 1) конформно в точке 0.

Определение. Функция f локально-конформна в области D C, если f конформна в каждой точке области D.

Определение. Функция f конформна в области D, если она локально конформна и взаимно-однозначна (однолистна) в D.

Следствие. Пусть f : D ! C (D – область в C). Тода

(1)f локально конформна в D тогда и только тогда, когда f 2 A(D) и f0(z) 6= 0 всюду в D.

(2)f конформна в D тогда и только тогда, когда f 2 A(D), f0(z) 6= 0 всюду в D и f взаимно-однозначна в D.

Пример. f(z) = z2 локально конформна, но не конформна в C n f0g; та же f конформна в любой полуплоскости с границей, содержащей точку 0, но ни в какой большей области.

Упражнение. Привести пример функции f, всюду в плоскости C имеющей частные производные, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, но не имеющей комплексной производной в точке z0 = 0.

Упражнение. Как записываются условия Коши-Римана в полярных координатах?

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]