Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ТФКП лекции 1-6

.pdf
Скачиваний:
56
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
368.67 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 3

Основные элементарные функции и их свойства

Дробно-линейное отображение (ДЛО). – это функция (отображение) вида

w = azcz ++ db;

где a; b; c; d 2 C – постоянные, такие, что указанная функция отлична от тождественной константы (в том числе и 1). При c = 0 и d = 1 ДЛО становится

линейной функцией. Всякое ДЛО является конформным изоморфизмом C на C. Основные свойства ДЛО и их применение хорошо изложены, например, в учебнике Б.В. Шабата.

Целые степенные функции. Вместе с f0(z) = 1 и f1(z) = z к ним относятся функции вида f(z) = zn, где n 2 – натуральное число. Поскольку f0(z) = nzn 1, то функция f локально конформна всюду, кроме точки z = 0. Следовательно, область G является областью конформности (однолистности) функции f(z) = zn,

n 2, если и только если 0 2= G и f взаимно-однозначна в G.

 

 

 

 

Пусть G( ; ) = fz 6= 0 : arg(z) 2 ( ; )(mod 2 )g, где <

n

 

 

+ 2 .

Из формулы Муавра следует, что при любом 2 ( ; ] функция z

 

конформно

отображает G( ; + 2 =n) на G(n ; n + 2 ), так что G( ; + 2 =n) – одна из

максимальных областей конформности указанной функции.

Экспонента. По определению, при любом z 2 C,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

x

 

 

 

z

 

 

n

 

z

x

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ez = exp(z) = lim

1 +

n

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть z = x + iy. Докажем, что e

 

= e (cos y + i sin y), т.е. je j = e , Arg(e ) =

fy + 2 k; k 2 Z).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

x

 

y

лежит в

Действительно, пусть n – достаточно велико, тогда 1 + n

= 1 + n

+ in

правой полуплоскости. По формуле Муавра находим:

 

 

 

 

 

 

 

z

 

n

 

 

x 2

+

y

 

2

n=2

= exp

 

n

 

 

x

+ o(n 1) ! ex;

 

1 + n

 

=

1 + n

 

 

n

 

 

 

 

2 ln 1 + 2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arg 1 + n = (mod 2 ) = n arctg x + n ! y

при n ! +1. Что и требовалось.

Из полученной формулы и условий Коши-Римана вытекают все основные свойства экспоненты. Мы отметим только некоторые из них.

(1)f(z) = ez является целой (т.е. голоморфной всюду в C) функцией; функция f(z) = ez является периодической функцией с периодом 2 i (!!! период чисто мнимый); основными (максимальными) областями конформности функции f(z) = ez являются полосы fz = x + iy : < y < + 2 g (при2 R), переходящие под действием f в области G( ; + 2 );

(2)(ez)0 = ez;

(3)ez1+z2 = ez1 ez2 ;

11

ФУНКЦИИ КОРЕНЬ И ЛОГАРИФМ

12

(4)Пусть z 6= 0, r = jzj, ' = arg(z), тогда z = rei' (показательная форма z); в частности, cos(') = (ei' + e i')=2 и sin(') = (ei' e i')=(2i).

Тригонометрические функции. По определению,

cos(z) :=

eiz + e iz

;

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(z) :=

eiz e iz

;

 

 

 

 

 

2i

 

 

 

tg(z) :=

sin(z)

;

ctg(z) :=

cos(z)

:

 

sin(z)

cos(z)

 

 

 

Все необходимые свойства этих функций несложно выводятся из их определения и свойств показательной и дробно-линейной функций.

Функции корень и логарифм

Как мы уже знаем из Лекции 1, обратное отображение к степенному (f(z) = zn) p

есть многозначная функция n z (n 2 – натуральное число).

Определение. Пусть F – многозначная функция на области G, f – голоморфна в области G1 G и при всех z 2 G1 выполняется f(z) 2 F (z). Тогда f называется голоморфной ветвью многозначной функции F в G1.

Предложение. На каждой из областей G( ; + 2 ) (где 2 ( ; ]) суще- p

ствует ровно n голоморфных ветвей многозначной функции n z. Одна из них:

pz( ; +2 )

= pr exp

n

при z = rei'; ' 2 ( ; + 2 );

n

n

 

i'

 

конформно отображает G( ; + 2 ) на G n ; +2n . Остальные ветви отличаются от указанной на множители

exp

2 ik

; k = 1; : : : ; n 1:

n

Упражнение. Пользуясь теоремой об обратной функции, доказать, что если V (z) – какая-либоpнепрерывная (и, следовательно, гомеоморфная) ветвь много-

значной функции n z в области G, то V – ее голоморфная ветвь в G со свойством

V 0(z) = V (z)=nz.

Логарифм. Логарифм – это (бесконечнозначная) функция Ln(z), обратная к экспоненте: w 2 Ln(z), если и только если ew = z. Пользуясь алгебраической формой для ew, легко установить, что при z 6= 0)

Ln z = ln jzj + i Arg(z) = fln(z) + 2 ik; k 2 Zg;

где ln(z) = ln jzj + i arg z – главное значение логарифма. По теореме об обратной функции, над каждой областью G( ; + 2 ) (при 2 ( ; ]) многозначная функция Ln(z) распадается на счетное множество голоморфных ветвей fLk; k 2 Zg со следующими свойствами:

(1)(Lk(z))0 = 1=z и Lk(z) = L0(z) + 2 ik;

(2)Функция Lk конформно отображает G( ; +2 ) на горизонтальную полосу

fw = u + iv : j < v < + 2 g. p

Позднее мы докажем, что n z и Ln(z) распадаются на (однозначные) голоморфные ветви над всякой односвязной областью в C n f0g.

ЛЕКЦИЯ 4

Интегрирование вдоль пути по комплексному переменному

Пусть : [ ; ] ! C – путь, и пусть набор точек T = ft0; t1; : : : ; tN g [ ; ] – какое-либо разбиение отрезка [ ; ]. Напомним, что это означает, что = t0 < t1 <

< tN = , а число N называется порядком разбиения. Величина

N

X

`( ; T ) := (tn) (tn 1)

n=1

представляет собой длину соответствующей вписанной ломаной для рассматриваемого пути.

Определение. Путь называется спрямляемым, если

`( ) := supf`( ; T )g < +1;

где указанный sup берется по всем разбиениям T (любого порядка). Значение `( ), конечное или бесконечное, называется длиной пути .

Обозначим через (T ) диаметр разбиения T , т.е.

(T ) = max

t

ng

;

где

t

n

= t

t

:

1

n

Nf

 

 

 

 

n n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение. Доказать, что `( ) = lim `( ; T ).

(T )!0

Из определения следует, что если пути 1 и 2 эквивалентны (напомним, что этот факт мы обозначаем через 1 2), то они спрямляемы или не спрямляемы одновременно, причем `( 1) = `( 2). Таким образом, можно считать, что корректно определено понятие спрямляемой кривой и длины кривой. Длина кривой обозначается через `( ).

Пусть путь – спрямляем и не постоянен ни на каком невырожденном интервале в [ ; ]. Тогда функция s(t) = `( j[ ;t]) строго возрастает и непрерывна на [ ; ]. Следовательно, обратная к ней функция t = (s) является строго возрастающей непрерывной на [0; `( )].

Определение. Путь : [0; `( )] ! C, эквивалентный пути , называется

натуральной параметризацией кривой f g.

Определение. Путь (t) = x(t) + iy(t) (определенный на [ ; ]) называют

непрерывно дифференцируемым, если его производная 0(t) := x0(t) + iy0(t)) непрерывна на [ ; ].

Упражнение. Доказать, что если пусть – непрерывно дифференцируем, то он спрямляем и имеет место формула

Z q

`( ) = (x0(t) 2 + y0(t) 2) dt:

Определение. Непрерывно дифференцируемый путь называют гладким если при всех t 2 [ ; ] имеет место 0(t) 6= 0.

13

ИНТЕГРАЛ ВДОЛЬ КРИВОЙ.

14

Определение. Два гладких пути 1 : [ 1; 1] ! C и 2

: [ 2; 2] ! C на-

зываются эквивалентными как гладкие пути, если существует диффеоморфизм h : [ 1; 1] ! [ 2; 2] (непрерывно дифференцируемое отображение с непрерывно дифференцируемым обратным) такой, что 1 = 2 h.

Гладкая кривая – это класс гладких путей, эквивалентных как гладкие. Заметим, что определение гладкой кривой отличается от определения обычной кривой, в котором рассматривается класс всех эквивалентных путей.

Упражнение. Если пути 1 2, причем оба они гладкие и жордановы, то они эквивалентны и как гладкие пути.

Определение кусочно непрерывно дифференцируемых и кусочно гладких путей и кривых предлагаем читателю сформулировать в качестве задачи.

Интеграл вдоль кривой.

Пусть : [ ; ] ! C – некоторый путь, функция f : [ ] ! C. Пусть также T = ft0; t1; : : : ; tN g – некоторое разбиение отрезка [ ; ], а = ( 1; : : : ; N ) – разметка разбиения T , где последнее означает, что n 2 [tn 1; tn] при 1 n N.

Рассмотрим интегральная сумма

N

X

S(f; ; T; ) = f( ( n))( (tn) (tn 1)):

n=1

Определение. Функция f интегрируема вдоль пути , если существует и

конечен предел

 

 

 

 

Z

 

 

(T )!0

S

(

f; ; T;

) =:

(

)

lim

 

 

f

 

z dz;

который называется интегралом от f вдоль .

Замечание. Напомним, что существование предела в предыдущим определении в точности означает, что 8" > 0 9 > 0 такое, что 8T c условием (T ) < и

разметки 8 разбиения T , имеет место

f(z)dz < ":

 

 

 

 

 

S(f; ; T; )

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение. Доказать,

что

R

1dz существует

для любого . Привести при-

 

 

 

 

R

 

 

 

 

мер, когда не существует

zdz.

 

 

 

 

Упражнение. Если 1 2, то для любой f на [ 1] = [ 2] интегралы 1 fdz и

2

fdz существуют или нет одновременно (а когда существуют – равны). R

R

Таким образом, корректно определяется интеграл от функции f вдоль кривой

f g, который обозначается Rf g fdz.

 

 

 

 

Замечание. Разбивая интегральную сумму S(f; ; T; ) на действительную и

мнимую части, мы сводим

f(z)dz к четырем интегралам Римана-Стильтьеса по

отрезку

[ ; ]

, так что

можно использовать все известные свойства таких интегра-

 

 

R

 

 

 

 

 

лов. Тем не менее, для полноты изложения, мы приведем доказательства следующих двух теорем ввиду их важности.

 

ИНТЕГРАЛ ВДОЛЬ КРИВОЙ.

 

 

 

 

15

4.1. Теорема.

Если путь

 

спрямляем, а функция

f

2

C([ ])

, то R

f(z)dz

существует.

 

 

 

 

Следовательно, путь может быть заменен в этом утверждении на кривую f g.

Напомним, что через C(E) обозначается пространство всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на множестве E C c равномерной нормой kfkE := supfjf(z)j : z 2 Eg.

Определение. Пусть функция g определена и ограничена на E C. Ее модулем непрерывности (на E) называется функция

!E(g; ) = supfjg(z1) g(z2)j : z1 2 E; z2 2 E; jz1 z2j g:

По определению, функция g равномерно непрерывна на E, если !E(g; ) ! 0 при ! 0.

Хорошо известно, что если E – компакт и g 2 C(E), то g равномерно непрерывна на E.

4.2. Лемма. Пусть T = ft0; : : : ; tN g и T 0 = ft00; : : : ; t0J g два разбиения отрезка [ ; ], причем T T 0 (в таком случае говорят, что T 0 – измельчение T ) и пусть

= f 1; : : : ; N g и 0 = f 10; : : : ; J0 g разметки соответствующих разбиений. Тогда jS(f; ; T; ) S(f; ; T 0; 0)j !( (T ))`( );

где !( ) = ![ ; ](f ; ) ! 0 при ! 0.

Доказательство. Для каждого n 2 f1; : : : ; Ng рассмотрим множество индексов Jn = fj : t0j 2 (tn 1; tn]g. Тогда

jS(f; ; T; ) S(f; ; T 0; 0)j =

 

1))

 

=

N

f( ( n))( (tn) (tn 1)) J

f( ( j0))( (tj0 ) (tj0

=

 

n=1

j=1

 

 

 

 

X

X

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

f( ( n))[ (tj0 ) (tj0

1)]

f( ( j0))[ (tj0 ) (tj0

1)]!

 

 

n=1

j2Jn

 

j2Jn

 

 

 

 

 

X X

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!( (T ))`( ; T 0)

 

!( (T ))`( );

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как j n j0j (T ) при j 2 Jn.

 

 

 

 

 

4.3.Следствие. Пусть T1 и T2 – произвольные разбиения отрезка [ ; ], а (1)

и(2) некоторые их разметки. Справедлива оценка:

 

(f; ; T1; (1)) S(f; ; T2; (2))

 

(!( (T1)) + !( (T2)))`( ):

 

 

 

 

измельчение T 0 = T1

[

 

разбиений

Доказательство.

Достаточно рассмотреть

 

T2

T1 и T2, какую-либо выборку 0, подчиненную T 0, и применить предыдущую лемму

к парам (T1; T 0), (T2; T 0) и соответствующим их разметкам.

 

 

 

Доказательство теоремы 4.1. Рассмотрим T (N) = ft0; : : : ; tN g – равномерное разбиение отрезка [ ; ] (т.е. разбиение отрезка [ ; ] на N равных частей). В качестве разметки разбиения T (N) возьмем множество (N) = T (N) nft0g. Поскольку последовательность fS(f; ; T (N); (N))g – ограничена величиной kfk[ ]`( )), то найдется последовательность fNkg такая, что Nk ! 1 при k ! 1 и последовательность fS(f; ; T (Nk); (Nk))g сходится к некоторому числу I при k ! 1. Из

R

следствия 4.3, вытекает, что f(z)dz существует и равен I.

ИНТЕГРАЛ ВДОЛЬ КРИВОЙ.

16

4.4. Теорема. Пусть – непрерывно-дифференцируемый путь на [ ; ], f 2 C([ ]). Тогда f интегрируема вдоль , причем

ZZ

f(z)dz = f( (t)) 0(t)dt:

Пусть (t) = x(t) + iy(t), где 0(t) = x0(t) + iy0(t) 2 C[ ; ]. Пусть !( ) := ![ ; ](x0(t); ) + ![ ; ](y0(t); ), так что !( ) ! 0 при ! +0.

4.5. Лемма. Пусть t 2 [ ; ], t > 0, а [t; t + t] [ ; ]. Тогда для всякого2 [t; t + t] имеет место оценка

j (t + t) (t) 0( ) tj !( t) t:

Замечание. Пример (t) = eit на [0; 2 ] показывает, что 0(t) = sin t+i cos t = ieit 6= 0 для всех t, однако (0) (2 ) = 0, т.е. непосредственного аналога теоремы Лагранжа для путей в C нет.

Доказательство леммы 4.5. Имеем:

(t + t) (t) = x(t + t) x(t) + i(y(t + t) y(t)) = x0( 1) t + iy0( 2) t

при некоторых 1; 2 на [t; t + t] по теореме Лагранжа. Отсюда, для любого 2 [t; t + t], получаем:

j (t + t) (t) 0( ) tj jx0( 1) x0( )j t + jy0( 2) y0( )j t !( t) t:

Доказательство теоремы 4.4. Фиксируем T = ft0; t1; : : : ; tN g – произвольное разбиение отрезка [ ; ] и его разметку = ( 1; : : : ; N ). Тогда, по предыдущей лемме,

S(f; ; T; ) n=N f( ( n)) 0( n) tn

 

 

n=1

 

 

 

X

 

 

n=N

 

 

 

 

 

 

 

 

0

X

jf( ( n))( (tn) ( n 1)) f( ( n)) ( n) tnj

n=1

n=N

X

jf( ( n))j!( tn) tn kfk[ ]!( (T ))( ) ! 0

n=1

при (T ) ! 0. Так как существование f(z)dz доказано выше, то мы автоматиче-

 

 

 

 

 

 

 

 

t dt

и равенство этих двух интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

ски доказали существование f( (t))R0

( )

 

 

2

R

 

2

 

2 Z

, (t) = eit на [0; 2 ]. Имеем:

Пример. Найдем

 

zndzR, где n

 

 

Z zndz = Z0

(eint)ieitdt = i Z0

 

ei(n+1)tdt =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2 i

при n = 1:

 

Z0

cos (n + 1)t dt

Z0

sin (n + 1)t dt =

 

i

 

 

 

0;

при n 6= 1;

Упражнение. Найти модуль непрерывности !R(sin( ); @) функции f(z) = sin z, z 2 R.

Упражнение. Доказать существование интеграла

R

f(z) dz

j

от непрерывной

функции f по спрямляемому пути .

j

 

ЛЕКЦИЯ 5

Свойства интеграла. Теорема Коши для односвязной области

Основные свойства интеграла вдоль кривой.

(1) Линейность: пусть f1 и f2 интегрируемы вдоль некоторой кривой и пусть1; 2 2 C. Тогда

Z Z Z

( 1f1(z) + 2f2(z))dz = 1 f1(z)dz + 2 f2(z)dz

(2) Аддитивность: если f интегрируема вдоль кривых 1 и 2, причем конец кривой 1 есть начало кривой 2,то

Z Z Z

fdz =

fdz +

fdz:

1[ 2

1

2

(3)Изменение ориентации: функция f интегрируема (или не интегрируема) вдоль кривых и одновременно. В случае, если f интегрируема вдоль

и имеем:

ZZ

fdz =

fdz

 

 

(4) Оценка интеграла: если кривая спрямляема, а функция f интегрируема вдоль и ограничена на [ ], то

Z

fdz kfk[ ]`( ):

5.1. Переход к пределу под знаком интеграла. Пусть M% – произвольное метрическое пространство (% – метрика на множестве M), m0 2 M – предельная точка в M. Пусть для каждого m 2 M определена некоторая функция fm : E ! C (E C – фиксировано). Напомним, что семейство ffmgm2M равномерно на E

E

сходиться к fm0 при m ! m0 (обозначается fm fm0 , m ! m0), если для любого " > 0 найдется такое > 0, что jfm fm0 kE < " при %(m; m0) < .

Например, если M = f1; 2; : : : ; 1g, а %(m1; m2) = j1=m1 1=m2j (полагаем 1=1 =

E

0), то условие fm f1 при m ! 1 – есть обычная равномерная сходимость последовательности функций.

Имеет место следующее утверждение.

5.2. Предложение. Пусть – спрямляемая кривая, а fm 2 C([ ]) при всех

[ ]

m 2 M. Если fm fm0 при m ! m0 (в M%), то

ZZ

fm(z)dz ! fm0 (z)dz; при m ! m0:

Доказательство приведенных выше свойств 1-4 и Предложения 5.2 оставляется читателю в качестве несложных задач.

17

ИНДЕКС ЗАМКНУТОЙ ЖОРДАНОВОЙ КРИВОЙ

18

Индекс замкнутой жордановой кривой. Локальное закругление жорданова пути в C

Пусть – замкнутая жорданова кривая в C. Через D( ) и ( ) далее обозначаются соответственно ограниченная и неограниченная компоненты дополнения к [ ] (см. Теорему 1.2). Будем говорить, что D( ) – жорданова область, ограниченная кривой (отождествляя, где это не приводит к недоразумениям, и [ ]).

5.3. Теорема. Пусть – замкнутая жорданова кривая в C. Тогда:

(1)найдется такое число p 2 f1; 2g, что indw( ) = ( 1)p при всех w 2 D( );

(2)indw( ) = 0 для любого w 2 ( ).

Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующая конструкция, которая часто будет использоваться в дальнейшем.

Локальное “закругление” жорданова пути. Пусть – замкнутый жорданов путь, определенный на отрезке [ ; ], точка a 2 C n [ ] и t0 2 ( ; ) таковы,

что d := dist(a; [ ]) = ja (t0)j < j ( ) (t0)j, причем ja (t0)j < ja (t)j при всех t 6= t0. Для всякого 2 (0; d) пусть t 2 [ ; t0] – минимальное и t+ 2 [t0; ] – максимальное значения параметра t 2 [ ; ], при которых j (t) (0)j = и пусть

b 2 [ (t0); a] такова, что jb (t0)j = .

Будем обозначать через (a; ) – путь, совпадающий с на [ ; t ] [ [t+; ], равномерно на [t ; t0] проходящий дугу окружности fz jz (t0)j = g, соединяющую(t ) и b (и не содержащую (t+)), и равномерно на [t0; t+] проходящий дугу той же окружности, соединяющую b и (t+) (и не содержащую (t )).

Заметим, что кривая f (a; )g определяется кривой f g, а не какой-либо конкретной ее параметризацией.

Наконец отметим, что t и t+ стремятся к t0 при ! 0, так что d( ; (a; )) ! 0 при ! 0 и, следовательно, indw( ) = indw( (a; )) при любом фиксированном w вне [ ] и всех достаточно малых .

Доказательство Теоремы 5.3. Фиксируем произвольный путь из . Достаточно установить требуемое в теореме для вместо .

Утверждение (2) вытекает из Следствия 1.6 и из того простого факта, что indw( ) = 0 для достаточно “больших” w.

Для доказательства (1) предположим сначала, что “содержит” нетривиальную (направленную) дугу некоторой окружности. Пусть b – некоторая фиксированная (не концевая) точка этой дуги, а ( 2 C, j j = 1) – как вектор в R2 – является вектором единичной нормали к в точке b, направленным “влево” относительно движения по . Из Упражнений 1.4, 1.7, 1.8 и 1.9 (для кривой f gnf g и w = b t ) и элементарных геометрических соображений (для f g и w = b t ), где t > 0 достаточно мало, получаем:

 

 

lim indb+t( ) indb t( ) = 1:

t!0+

Таким образом, из Следствия 1.6 и Теоремы 1.2 (вблизи b с одной стороны отнаходятся точки из D( ), а с другой – из ( )), получаем, что j indw( )j = 1 в D( ). Более того, нетрудно видеть, что indw( ) = 1 в D( ), если и только если при движении по (вдоль ) область D( ) остается “слева”.

Пусть теперь – произвольный жорданов путь на [ ; ], ограничивающий жорданову область D = D(f g). Фиксируем a1 2 D и t0 2 ( ; ) такие, что d1 := dist(a1; [ ]) = ja1 (t0)j < j ( ) (t0)j. Пусть a – середина отрезка [ (t0); a1] и d = d1=2. Пользуясь равномерной непрерывностью , выберем 2 (0; d) так, что (в обозначениях пункта о локальном закруглении) выполняется j (t) (t0)j < d=2

ЛЕММА ГУРСЫ. УСЛОВИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА.

19

при всех t 2 [t ; t+], так что d( ; (a; )) < d=2. По Лемме 1.5, inda( ) = inda( (a; )), так что либо j inda( )j = 1 и все доказано, либо inda( ) = 0. Докажем от против-

ного, что последний случай исключен. Действительно, в противном случае имеем indw( ) = 0 для всех w 2 Cn[ ]. Поскольку и (a; ) отличаются только на [t ; t+], причем траектории этих путей на указанном отрезке лежат в круге B( (t0); d=2),

легко показать, что indw( ) = indw( (a; )) = 0 при w 2 C n B( (t0); d) [ [ ] ). Последнее противоречит доказанному выше свойству j indw( (a; ))j = 1 в D( (a; )), поскольку из Теоремы 1.2 следует, что ( ) 2 @D( (a; )), а значит в любой окрестности точки ( ) есть точки из D( (a; )).

Свойства индекса кривой, полученные в Теореме 5.3 позволяют ввести строгое понятие ориентации границы для широкого класса областей и в дальнейшем доказать основные теоремы стандартных курсов комплексного анализа в максимальной общности.

Жордановы области и их ориентированные границы.

Пусть E C – гомеоморфный образ отрезка. Существуют ровно две жордановы кривые 1 и 2 с условиями [ 1] = [ 2] = E, причем 1 = 2 .

Это утверждение доказать не сложно. Следующее, более содержательное утверждение, выводится из Теоремы 5.3.

5.4. Следствие. Пусть E C – гомеоморфный образ окружности, a – произвольная точка из E. Существует единственная замкнутая жорданова кривая (a) с концами в точке a и условиями: [ (a)] = E, причем

 

0;

w 2 ( (a)):

indw( (a)) =

1;

w 2 D( (a));

Определение. Будем при этом говорить, что (a) ориентирована положительно относительно ограниченной ею области D (или что D остается слева при “движении” вдоль (a)).

Ориентированной границей указанной области D называется класс кривых

@+D := f (a) : a 2 @Dg:

Замечание. Отметим, что, в отличие от топологической границы @D, ориентированная (точнее положительно ориентированная) граница @+D будет использоваться в основном при интегрировании. Ясно, что для любой функции f :

2

!

. В случае

 

R

@D

 

C интегралы

(a) f(z) dz существуют (или нет) одновременно для всех

a

 

@D

 

существования, значения этих интегралов совпадают и опре-

деляют

@+D f(z) dz.

 

 

Нам Rпотребуется также отрицательно ориентированная граница жордановой

области,

@ D := f (a) : a 2 @Dg;

и интеграл вдоль нее:

ZZ

f(z) dz = f(z) dz:

@ D @+D

Лемма Гурсы. Условие треугольника.

Пусть, далее, N0 := N [ f0g = f0; 1; 2; : : : g.

[a;b]

ЛЕММА ГУРСЫ. УСЛОВИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА.

20

5.5. Утверждение-задача. Показать, что при n 2 N0 и a; b 2 C имеет место равенство:

Z

1

bn+1 an+1 :

zndz = n + 1

Указание: для решения этой задачи необходимо использовать стандартную параметризацию отрезка [a; b], а именно (t) = a + t(b a), t 2 [0; 1].

Через будем обозначать (жорданову) область, ограниченную каким-либо треугольником.

5.6. Следствие. Для всякого треугольника и многочлена P (z) комплексно-

R

го переменного z справедливо равенство @+ P (z) dz = 0.

5.7. Лемма Гурсы. Пусть G – произвольная область и f 2 Hol(G). Тогда для всякого с условием G имеет место равенство

Z

f(z) dz = 0:

@+

Доказательство. Фиксируем произвольный треугольник , G. Построим семейство вложенных треугольников ( j : j 2 N0) следующим образом. Пусть

0 = . Положим

Z

I0 =

f(z) dz :

@+ 0

“Разделим” треугольник 0 средними линиями на 4 равных треугольника 0;k, k = 1; 2; 3; 4. Как легко видеть,

 

4

 

 

 

 

Z@+ 0 f(z) dz = k=1 Z@+ 0;k f(z) dz;

 

 

X

 

 

поэтому среди f 0;kg найдется такой треугольник (обозначим его 1), что

I1 :=

@+ 1 f(z) dz I40

:

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На следующем шаге мы разделим средними линиями

на 4

части треугольник 1 и

из получившихся треугольников 1;k, k = 1; 2; 3; 4 выберем такой треугольник 2,

что

:=

 

@+ 2 f(z) dz

 

I41 :

 

I2

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Продолжая построение по этой схеме,

предположим,

что треугольник j такой,

что j j 1 1 0 и

 

 

 

 

Ij 1

Ij :=

Z@

+ j f(z) dz

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

найден. Опять делим его средними

линиями

на 4 равных треугольника и выби-

 

 

 

 

 

 

раем один из них (обозначим его через j+1) так, что выполняется предыдущее неравенство с заменой j на j + 1. Итак,

`(@ j) =

`(@ 0)

;

Ij

I0

:

2j

4j

Построенная последовательность вложенных замкнутых треугольников ( j : j 2 N0) имеет единственную общую точку, скажем z0, z0 2 G.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]