ТФКП лекции 1-6

(4)Пусть z 6= 0, r = jzj, ' = arg(z), тогда z = rei' (показательная форма z); в частности, cos(') = (ei' + e i')=2 и sin(') = (ei' e i')=(2i).

Тригонометрические функции. По определению,

Все необходимые свойства этих функций несложно выводятся из их определения и свойств показательной и дробно-линейной функций.

Функции корень и логарифм

Как мы уже знаем из Лекции 1, обратное отображение к степенному (f(z) = zn) p

есть многозначная функция n z (n 2 – натуральное число).

Определение. Пусть F – многозначная функция на области G, f – голоморфна в области G1 G и при всех z 2 G1 выполняется f(z) 2 F (z). Тогда f называется голоморфной ветвью многозначной функции F в G1.

Предложение. На каждой из областей G( ; + 2 ) (где 2 ( ; ]) суще- p

ствует ровно n голоморфных ветвей многозначной функции n z. Одна из них:

конформно отображает G( ; + 2 ) на G n ; +2n . Остальные ветви отличаются от указанной на множители

Упражнение. Пользуясь теоремой об обратной функции, доказать, что если V (z) – какая-либоpнепрерывная (и, следовательно, гомеоморфная) ветвь много-

значной функции n z в области G, то V – ее голоморфная ветвь в G со свойством

V 0(z) = V (z)=nz.

Логарифм. Логарифм – это (бесконечнозначная) функция Ln(z), обратная к экспоненте: w 2 Ln(z), если и только если ew = z. Пользуясь алгебраической формой для ew, легко установить, что при z 6= 0)

Ln z = ln jzj + i Arg(z) = fln(z) + 2 ik; k 2 Zg;

где ln(z) = ln jzj + i arg z – главное значение логарифма. По теореме об обратной функции, над каждой областью G( ; + 2 ) (при 2 ( ; ]) многозначная функция Ln(z) распадается на счетное множество голоморфных ветвей fLk; k 2 Zg со следующими свойствами:

(1)(Lk(z))0 = 1=z и Lk(z) = L0(z) + 2 ik;

(2)Функция Lk конформно отображает G( ; +2 ) на горизонтальную полосу

fw = u + iv : j < v < + 2 g. p

Позднее мы докажем, что n z и Ln(z) распадаются на (однозначные) голоморфные ветви над всякой односвязной областью в C n f0g.

зываются эквивалентными как гладкие пути, если существует диффеоморфизм h : [ 1; 1] ! [ 2; 2] (непрерывно дифференцируемое отображение с непрерывно дифференцируемым обратным) такой, что 1 = 2 h.

Гладкая кривая – это класс гладких путей, эквивалентных как гладкие. Заметим, что определение гладкой кривой отличается от определения обычной кривой, в котором рассматривается класс всех эквивалентных путей.

Упражнение. Если пути 1 2, причем оба они гладкие и жордановы, то они эквивалентны и как гладкие пути.

Определение кусочно непрерывно дифференцируемых и кусочно гладких путей и кривых предлагаем читателю сформулировать в качестве задачи.

Интеграл вдоль кривой.

Пусть : [ ; ] ! C – некоторый путь, функция f : [ ] ! C. Пусть также T = ft0; t1; : : : ; tN g – некоторое разбиение отрезка [ ; ], а = ( 1; : : : ; N ) – разметка разбиения T , где последнее означает, что n 2 [tn 1; tn] при 1 n N.

Рассмотрим интегральная сумма

N

X

S(f; ; T; ) = f( ( n))( (tn) (tn 1)):

n=1

Определение. Функция f интегрируема вдоль пути , если существует и

который называется интегралом от f вдоль .

Замечание. Напомним, что существование предела в предыдущим определении в точности означает, что 8" > 0 9 > 0 такое, что 8T c условием (T ) < и

лов. Тем не менее, для полноты изложения, мы приведем доказательства следующих двух теорем ввиду их важности.

Следовательно, путь может быть заменен в этом утверждении на кривую f g.

Напомним, что через C(E) обозначается пространство всех непрерывных ограниченных комплекснозначных функций на множестве E C c равномерной нормой kfkE := supfjf(z)j : z 2 Eg.

Определение. Пусть функция g определена и ограничена на E C. Ее модулем непрерывности (на E) называется функция

!E(g; ) = supfjg(z1) g(z2)j : z1 2 E; z2 2 E; jz1 z2j g:

По определению, функция g равномерно непрерывна на E, если !E(g; ) ! 0 при ! 0.

Хорошо известно, что если E – компакт и g 2 C(E), то g равномерно непрерывна на E.

4.2. Лемма. Пусть T = ft0; : : : ; tN g и T 0 = ft00; : : : ; t0J g два разбиения отрезка [ ; ], причем T T 0 (в таком случае говорят, что T 0 – измельчение T ) и пусть

= f 1; : : : ; N g и 0 = f 10; : : : ; J0 g разметки соответствующих разбиений. Тогда jS(f; ; T; ) S(f; ; T 0; 0)j !( (T ))`( );

где !( ) =  ! 0 при ! 0.

Доказательство. Для каждого n 2 f1; : : : ; Ng рассмотрим множество индексов Jn = fj : t0j 2 (tn 1; tn]g. Тогда

4.3.Следствие. Пусть T1 и T2 – произвольные разбиения отрезка [ ; ], а (1)

и(2) некоторые их разметки. Справедлива оценка:

Доказательство теоремы 4.1. Рассмотрим T (N) = ft0; : : : ; tN g – равномерное разбиение отрезка [ ; ] (т.е. разбиение отрезка [ ; ] на N равных частей). В качестве разметки разбиения T (N) возьмем множество (N) = T (N) nft0g. Поскольку последовательность fS(f; ; T (N); (N))g – ограничена величиной kfk[ ]`( )), то найдется последовательность fNkg такая, что Nk ! 1 при k ! 1 и последовательность fS(f; ; T (Nk); (Nk))g сходится к некоторому числу I при k ! 1. Из

R

следствия 4.3, вытекает, что f(z)dz существует и равен I.

4.4. Теорема. Пусть – непрерывно-дифференцируемый путь на [ ; ], f 2 C([ ]). Тогда f интегрируема вдоль , причем

ZZ

f(z)dz = f( (t)) 0(t)dt:

Пусть (t) = x(t) + iy(t), где 0(t) = x0(t) + iy0(t) 2 C[ ; ]. Пусть !( ) := ; ) + ; ), так что !( ) ! 0 при ! +0.

4.5. Лемма. Пусть t 2 [ ; ], t > 0, а [t; t + t] [ ; ]. Тогда для всякого2 [t; t + t] имеет место оценка

j (t + t) (t) 0( ) tj !( t) t:

Замечание. Пример (t) = eit на [0; 2 ] показывает, что 0(t) = sin t+i cos t = ieit 6= 0 для всех t, однако (0) (2 ) = 0, т.е. непосредственного аналога теоремы Лагранжа для путей в C нет.

Доказательство леммы 4.5. Имеем:

(t + t) (t) = x(t + t) x(t) + i(y(t + t) y(t)) = x0( 1) t + iy0( 2) t

при некоторых 1; 2 на [t; t + t] по теореме Лагранжа. Отсюда, для любого 2 [t; t + t], получаем:

j (t + t) (t) 0( ) tj jx0( 1) x0( )j t + jy0( 2) y0( )j t !( t) t:

Доказательство теоремы 4.4. Фиксируем T = ft0; t1; : : : ; tN g – произвольное разбиение отрезка [ ; ] и его разметку = ( 1; : : : ; N ). Тогда, по предыдущей лемме,

X

jf( ( n))( (tn) ( n 1)) f( ( n)) ( n) tnj

n=1

n=N

X

jf( ( n))j!( tn) tn kfk[ ]!( (T ))( ) ! 0

n=1

при (T ) ! 0. Так как существование f(z)dz доказано выше, то мы автоматиче-

Упражнение. Найти модуль непрерывности !R(sin( ); @) функции f(z) = sin z, z 2 R.

Индекс замкнутой жордановой кривой. Локальное закругление жорданова пути в C

Пусть – замкнутая жорданова кривая в C. Через D( ) и ( ) далее обозначаются соответственно ограниченная и неограниченная компоненты дополнения к [ ] (см. Теорему 1.2). Будем говорить, что D( ) – жорданова область, ограниченная кривой (отождествляя, где это не приводит к недоразумениям, и [ ]).

5.3. Теорема. Пусть – замкнутая жорданова кривая в C. Тогда:

(1)найдется такое число p 2 f1; 2g, что indw( ) = ( 1)p при всех w 2 D( );

(2)indw( ) = 0 для любого w 2 ( ).

Для доказательства этой теоремы нам потребуется следующая конструкция, которая часто будет использоваться в дальнейшем.

Локальное “закругление” жорданова пути. Пусть – замкнутый жорданов путь, определенный на отрезке [ ; ], точка a 2 C n [ ] и t0 2 ( ; ) таковы,

что d := dist(a; [ ]) = ja (t0)j < j ( ) (t0)j, причем ja (t0)j < ja (t)j при всех t 6= t0. Для всякого 2 (0; d) пусть t 2 [ ; t0] – минимальное и t+ 2 [t0; ] – максимальное значения параметра t 2 [ ; ], при которых j (t) (0)j = и пусть

b 2 [ (t0); a] такова, что jb (t0)j = .

Будем обозначать через (a; ) – путь, совпадающий с на [ ; t ] [ [t+; ], равномерно на [t ; t0] проходящий дугу окружности fz jz (t0)j = g, соединяющую(t ) и b (и не содержащую (t+)), и равномерно на [t0; t+] проходящий дугу той же окружности, соединяющую b и (t+) (и не содержащую (t )).

Заметим, что кривая f (a; )g определяется кривой f g, а не какой-либо конкретной ее параметризацией.

Наконец отметим, что t и t+ стремятся к t0 при ! 0, так что d( ; (a; )) ! 0 при ! 0 и, следовательно, indw( ) = indw( (a; )) при любом фиксированном w вне [ ] и всех достаточно малых .

Доказательство Теоремы 5.3. Фиксируем произвольный путь из . Достаточно установить требуемое в теореме для вместо .

Утверждение (2) вытекает из Следствия 1.6 и из того простого факта, что indw( ) = 0 для достаточно “больших” w.

Для доказательства (1) предположим сначала, что “содержит” нетривиальную (направленную) дугу некоторой окружности. Пусть b – некоторая фиксированная (не концевая) точка этой дуги, а ( 2 C, j j = 1) – как вектор в R2 – является вектором единичной нормали к в точке b, направленным “влево” относительно движения по . Из Упражнений 1.4, 1.7, 1.8 и 1.9 (для кривой f gnf g и w = b t ) и элементарных геометрических соображений (для f g и w = b t ), где t > 0 достаточно мало, получаем:

lim indb+t( ) indb t( ) = 1:

t!0+

Таким образом, из Следствия 1.6 и Теоремы 1.2 (вблизи b с одной стороны отнаходятся точки из D( ), а с другой – из ( )), получаем, что j indw( )j = 1 в D( ). Более того, нетрудно видеть, что indw( ) = 1 в D( ), если и только если при движении по (вдоль ) область D( ) остается “слева”.

Пусть теперь – произвольный жорданов путь на [ ; ], ограничивающий жорданову область D = D(f g). Фиксируем a1 2 D и t0 2 ( ; ) такие, что d1 := dist(a1; [ ]) = ja1 (t0)j < j ( ) (t0)j. Пусть a – середина отрезка [ (t0); a1] и d = d1=2. Пользуясь равномерной непрерывностью , выберем 2 (0; d) так, что (в обозначениях пункта о локальном закруглении) выполняется j (t) (t0)j < d=2

при всех t 2 [t ; t+], так что d( ; (a; )) < d=2. По Лемме 1.5, inda( ) = inda( (a; )), так что либо j inda( )j = 1 и все доказано, либо inda( ) = 0. Докажем от против-

ного, что последний случай исключен. Действительно, в противном случае имеем indw( ) = 0 для всех w 2 Cn[ ]. Поскольку и (a; ) отличаются только на [t ; t+], причем траектории этих путей на указанном отрезке лежат в круге B( (t0); d=2),

легко показать, что indw( ) = indw( (a; )) = 0 при w 2 C n B( (t0); d) [ [ ] ). Последнее противоречит доказанному выше свойству j indw( (a; ))j = 1 в D( (a; )), поскольку из Теоремы 1.2 следует, что ( ) 2 @D( (a; )), а значит в любой окрестности точки ( ) есть точки из D( (a; )).

Свойства индекса кривой, полученные в Теореме 5.3 позволяют ввести строгое понятие ориентации границы для широкого класса областей и в дальнейшем доказать основные теоремы стандартных курсов комплексного анализа в максимальной общности.

Жордановы области и их ориентированные границы.

Пусть E C – гомеоморфный образ отрезка. Существуют ровно две жордановы кривые 1 и 2 с условиями [ 1] = [ 2] = E, причем 1 = 2 .

Это утверждение доказать не сложно. Следующее, более содержательное утверждение, выводится из Теоремы 5.3.

5.4. Следствие. Пусть E C – гомеоморфный образ окружности, a – произвольная точка из E. Существует единственная замкнутая жорданова кривая (a) с концами в точке a и условиями: [ (a)] = E, причем

Определение. Будем при этом говорить, что (a) ориентирована положительно относительно ограниченной ею области D (или что D остается слева при “движении” вдоль (a)).

Ориентированной границей указанной области D называется класс кривых

@+D := f (a) : a 2 @Dg:

Замечание. Отметим, что, в отличие от топологической границы @D, ориентированная (точнее положительно ориентированная) граница @+D будет использоваться в основном при интегрировании. Ясно, что для любой функции f :

области,

@ D := f (a) : a 2 @Dg;

и интеграл вдоль нее:

ZZ

f(z) dz = f(z) dz:

@ D @+D

Лемма Гурсы. Условие треугольника.

Пусть, далее, N0 := N [ f0g = f0; 1; 2; : : : g.

5.5. Утверждение-задача. Показать, что при n 2 N0 и a; b 2 C имеет место равенство:

Указание: для решения этой задачи необходимо использовать стандартную параметризацию отрезка [a; b], а именно (t) = a + t(b a), t 2 [0; 1].

Через будем обозначать (жорданову) область, ограниченную каким-либо треугольником.

5.6. Следствие. Для всякого треугольника и многочлена P (z) комплексно-

R

го переменного z справедливо равенство @+ P (z) dz = 0.

5.7. Лемма Гурсы. Пусть G – произвольная область и f 2 Hol(G). Тогда для всякого с условием G имеет место равенство

Z

f(z) dz = 0:

@+

Доказательство. Фиксируем произвольный треугольник , G. Построим семейство вложенных треугольников ( j : j 2 N0) следующим образом. Пусть

0 = . Положим

Z

@+ 0

“Разделим” треугольник 0 средними линиями на 4 равных треугольника 0;k, k = 1; 2; 3; 4. Как легко видеть,

из получившихся треугольников 1;k, k = 1; 2; 3; 4 выберем такой треугольник 2,

что j j 1 1 0 и

раем один из них (обозначим его через j+1) так, что выполняется предыдущее неравенство с заменой j на j + 1. Итак,

Построенная последовательность вложенных замкнутых треугольников ( j : j 2 N0) имеет единственную общую точку, скажем z0, z0 2 G.