ТФКП лекции 1-6

6.19. Теорема Вейерштрасса. Пусть последовательность (fn : n 2 N) Hol(D) локально равномерно в D сходится к функции f при n ! 1. Тогда f 2 Hol(D) и для всякого k 2 N последовательность (fn(k) : n 2 N) сходится к f(k) локально равномерно в D при n ! 1.

Доказательство. Свойство f 2 Hol(D) вытекает из леммы Гурсы, предложения 5.2 и теоремы Мореры.

Далее, для доказательства теоремы нам достаточно установить, что kfn0 f0kB !

0 при n ! 1, где B – произвольный замкнутый круг в D. Все остальное будет следовать из этого утверждения и компактности по индукции.

Пусть B = B(a; r) и d > 0 таково, что B(a; r + d) D. Воспользуемся теоремой 6.16 для функций fn и f в области B(a; r + d) при k = 1. Если a 2 K, то