студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

изредка приближаются к 3 и никогда заметно не превышают этой величины.

Шумы в электрических цепях. Заметную роль играют флуктуации в радиотехнических измерениях. Используя усилители, можно практически любой сигнал, поступивший в радиоизмерительные устройства, сделать достаточно большим. Однако одновременно усиливаются и флуктуационные токи, напряжения, возникающие в первичной цепи, или, как их обычно в таких случаях называют, электрические шумы. В основном это шумы двух типов — тепловой и дробовой.

Тепловой шум. Свободные электроны в проводнике во многом ведут себя подобно идеальному газу. В результате возможны флуктуации плотности заряда, приводящие к возникновению флуктуирующих разностей потенциалов. Если такие спонтанные разности потенциалов превышают величину напряжения, служащего полезным сигналом, или как в таких случаях принято говорить, если отношение сигнал/шум мал´о, сигнал «тонет в шумах». Его невозможно обнаружить или, в лучшем случае, он принимается с большими искажениями.

Итак, флуктуационные колебания плотности заряда приводят к возникновению электромагнитного поля. Для расчета мощности теплового шума рассмотрим участок проводника некоторой произвольной длины . Переменное поле существует в виде электромагнитных волн. Представим себе, что нам удалось изолировать этот участок. Тогда шумовые волны должны быть стоячими, так как в равновесии не должно быть направленного потока энергии.

Стоячие волны могут образовываться при выполнении условия 2, где — целое число. Нетрудно подсчитать, что разность двух соседних частот Æ 2 ( — скорость света). Поэтому на диапазон частот , с учетом наличия двух взаимно перпендикулярных поляризаций приходится число стоячих волн,

равное

4

На каждую стоячую волну, как и на любой осциллятор, приходится суммарная электрическая и магнитная энергия Б . Всего в диапазоне частот энергия тепловых флуктуаций, тепловых шумов, равна

С другой стороны, стоячую волну можно представить в виде двух бегущих встречных волн. Уносимая ими энергия в равновесии должна восполняться притоком энергии из соседних частей цепи, и на сопротивлении проводника выделится мощность

362 Элементы статистической физики [ Гл. 4

эта мощность равна , и мы получаем для теплового

шума формулу Найквиста

Напряжение, возникающее на сопротивлении , как мы видим не зависит от длины выбранного для расчета участка цепи. Не должно оно зависеть и от того, в какую цепь включено наше сопротивление. Поэтому формула (4.47) является универсальным выражением для среднего квадрата шумового напряжения, связанного с тепловыми флуктуациями плотности заряда на сопротивлении .

Если измеряемой величиной служит не напряжение, а ток, тепловой шум записывается в форме

Этот типично флуктуационный шум, возникающий в первичной цепи приемно-измерительной системы, затем усиливается так же, как полезный сигнал.

Величина шума определяет величину минимально обнаружимого сигнала — чувствительность приемной системы. Минимально обнаружимым принято считать сигнал, создающий в пер-

вичной цепи напряжение, равное 2 1 2. Формула Найквиста

ш

показывает, что шум зависит от трех параметров, от трех характеристик приемной системы — сопротивления входной цепи , температуры детектора и используемой ширины полосы усилительного тракта , и подсказывает три способа повышения чувствительности. Все они используются в различных приемных системах, и все они имеют свои ограничения. Рассмотрим их последовательно.

1. С о п р о т и в л е н и е в х од н о й це п и . Сигнал в первичную цепь попадает с некоторого непосредственного приемника, называемого часто детектором («обнаружителем»). В радиоили телевизионном приемнике это антенна, в приемнике сигналов оптического диапазона — фотоприемник (фотодетектор).

Сигнал, принимаемый детектором, распределяется между ним и входным каскадом усиливающего тракта пропорционально их сопротивлениям. Поэтому уменьшение входного сопротивления цепи, позволяющее повысить чувствительность системы, ограничено тем условием, что его нельзя делать меньше сопротивления детектора. Иначе во входную цепь усиливающего тракта попадет лишь малая часть входного сигнала. В то же время уменьшение сопротивления детектора, как правило, связано с уменьшением его размеров, а это в свою очередь ведет к уменьшению попадающего на детектор сигнала.

мовое напряжение пропорционально 1 2. Об этом мы уже упоминали в § 3.5: чувствительность может быть повышена снижением температуры детектора. Этот способ широко применяется для повышения чувствительности приемных систем.

3. Ш и р и н а п о л о с ы . Полоса пропускания связана соотношением неопределенностей с характерным временем срабатывания системы , а именно 1. Если полоса чувствительности детектора или полоса усиления последующего тракта меньше величины 1 , приемная система не отреагирует на изменения сигнала, происходящие за время, меньшее, чем . Например, для передачи телефонного разговора необходима полоса не менее 1–2 кГц, для качественного воспроизведения музыки — примерно 15 кГц и так далее. Если полоса меньше необходимой, сигнал будет воспроизводиться с большими искажениями.

Тем не менее в некоторых случаях удается для повышения чувствительности применять сужение полосы приемной системы. Это возможно, в частности, если не требуется воспроизведение сигнала в реальном масштабе времени. Приведем один пример.

Один кадр телевизионного изображения содержит до сотни тысяч «точек», а время его трансляции меньше 1/20 секунды. Сигнал изменяется более миллиона раз в секунду. Из соотношения неопределенностей следует, что необходимая для передачи телевизионного изображения полоса частот превышает 1 МГц. Так, в нашей стране действует стандарт, согласно которому на один телевизионный канал отводится полоса 8 МГц.

При передаче же на Землю телевизионного изображения поверхности Марса один кадр транслировался несколько минут. Необходимая полоса частот тем самым уменьшалась в десятки тысяч раз, и отношение сигнал/шум только благодаря этому повышалось в сотни раз. Лишь при использовании такой «медлительной» методики удавалось получить вполне качественные изображения.

Дробовой шум. Часто внешний сигнал не вызывает, а лишь изменяет некоторый ток , уже протекающий в первичной цепи приемной системы. Например, напряжение, подаваемое на сетку триода, изменяет величину анодного тока, и информацию несут именно эти изменения. Из-за дискретности электрического заряда ток сам испытывает флуктуации. В § 4.1 мы уже проводили оценку таких флуктуаций.

За характерное время 1 через первичную цепь протекает заряд , т. е. проходит число электронов, равное ( — заряд электрона). Дисперсию этой величины можно оце-

364 Элементы статистической физики [ Гл. 4

Более подробный расчет приводит к формуле Шоттки (по имени немецкого физика В. Шоттки (1886–1976)):

Заметим, что в полупроводниковых приборах имеется дополнительный источник шума. В металле число носителей заряда (свободных электронов) фиксировано. В полупроводнике же среднее число носителей поддерживается в результате действия механизма динамического равновесия. Носители заряда, а в полупроводнике это могут быть как электроны, так и «дырки» (см. гл. 9), непрерывно рождаются (генерируются) и рекомбинируют. Возникает дополнительный, так называемый генерационно-ре- комбинационный шум, и в результате величина 2ш возрастает

вдвое.

О гипотезе «тепловой смерти Вселенной». Вселенная, по-видимому, объект макроскопический, поэтому можно предположить, что к ней применимы законы термодинамики. С другой стороны — это система изолированная, так как ей просто не с чем взаимодействовать. Исходя из этого, Клаузиус пришел к выводу, что в конце концов повсюду должны установиться одинаковые условия — химический состав вещества, температура, давление. Всякие макроскопические процессы прекратятся. Такой исход событий он назвал «тепловой смертью Вселенной».

Представления о наличии флуктуаций снимают эту проблему. В рамках доэйнштейновских представлений о строении Вселенной наиболее последовательное решение дает флуктуационная гипотеза Больцмана. Если Вселенная бесконечна в пространстве, то имеется конечная, пусть весьма малая, вероятность сколь угодно обширной, но все же пространственно ограниченной, и сколь угодно энергичной флуктуации. Если к тому же Вселенная «живет» бесконечное время, то, хотя в целом она уже давно достигла равновесного состояния, время от времени ничтожная вероятность гигантской флуктации осуществляется. И нам просто «повезло» родиться в тот промежуток времени, когда в объеме, содержащем около 1079 элементарных частиц, параметры заметно отличаются от средних по Вселенной. Впрочем, если бы не было такой флуктуации, не было бы не только нас, но и звезд, планет, галактик.

Таким образом, неверно утверждение Клаузиуса о стремлении энтропии Вселенной к максимуму. Она уже достигла состояния с максимальной энтропией, но в ходе флуктуаций отклоняется от него.

Отметим еще, что второе начало получено в предположении аддитивности таких термодинамических параметров, как энтропия, энергия. Но в космических масштабах важнейшую роль играет гравитация. Неаддитивность гравитационной энергии ста-

вит под сомнение применение второго начала термодинамики ко всей Вселенной, как к бесконечной во времени и пространстве, однородной в больших масштабах и стационарной «ньютоновской» Вселенной, так и к конечной в пространстве и времени Вселенной Общей теории относительности.

4.7. Основы теории теплоемкости

Мы уже неоднократно использовали полученное на основе газокинетических представлений соотношение, согласно которому на одну степень свободы поступательного движения молекулы приходится энергия, равная Б 2. В предыдущем параграфе мы показали, что и на тепловое движение макроскопического тела приходится такая же энергия, и обобщили это положение на другие степени свободы — крутильные колебания и даже на электромагнитные волны. Рассмотрим этот вопрос несколько

подробнее.

Закон равнораспределения. Поступательное движение. Вернемся к рис. 4.12. Если по разные стороны поршня находятся разные газы, средние энергии молекул каждого из них должны быть равны энергии теплового движения поршня. То же можно сказать о случае, когда в сосуде находится смесь газов. Значит, средние энергии различных молекул должны быть равны между собой, как и следует из условия теплового равновесия.

Поршень состоит из каких-то молекул, и его импульс в каждый момент времени — сумма импульсов молекул:

. Средний квадрат импульса поршня равен

значит 2 Б : средняя кинетическая энергия молекул поршня тоже равна Б 2.

Колебания. Пусть по одну сторону от поршня вакуум, а поршень удерживается в положении равновесия пружиной. Тогда тепловое движение поршня — это колебания, вызванные ударами молекул. Период колебания поршня, конечно, гораздо больше времени соударения с молекулой, воздействие пружины на поршень за время взаимодействия можно не учитывать, и все соотношения для соударения остаются в силе. Средняя кинетическая энергия поршня на пружине также получится равной Б 2.

Более подробный расчет показывает, что в действительности этот результат не зависит от соотношения между характерными временами, в среднем передача энергии из поступательного движения в колебания будет такой же и при соударениях молекул

между собой. Это означает, что и кинетическая энергия внутримолекулярных колебаний также должна быть равной Б 2. Полная энергия колебаний, однако, вдвое больше, так как надо еще учесть потенциальную энергию, в среднем равную кинетической энергии колебаний.

Вращательное движение. Пусть тело состоит из хаотически движущихся, но связанных между собой молекул. Очевидно, движение молекул может быть только колебательным, и связанная с ним кинетическая энергия в среднем равна Б 2. Рассмотрим момент импульса тела относительно некоторой оси. Под скоростью мы теперь будем понимать составляющую, перпендикулярную оси и радиусу-вектору, проведенному от оси к месту расположения молекулы.

Момент импульса тела относительно выбранной оси , где — угловая скорость вращения вокруг этой оси, а2 — соответствующий момент инерции ( — расстояние от оси до -й молекулы). Для среднего квадрата момента им-

пульса получаем

и для средней кинетической энергии вращательного движения снова имеем 2 2 Б 2. Если молекулы не связаны, например, в газовой фазе, такая энергия приходится на каждую степень свободы вращательного движения отдельной молекулы.

Опираясь на закон равнораспределения, мы можем понять закономерности, определяющие теплоемкость различных веществ.

Напомним, что теплоемкостью называется величинаÆ — количество теплоты, которое надо подвести к телу для повышения его температуры на 1 К. В данном параграфе мы будем считать, что рассматриваемое тело не совершает работы (положительной или отрицательной), вся теплота идет на изменение его внутренней энергии, т. е. иметь в виду теплоемкость при постоянном объеме .

Теплоемкость твердых тел. Внутри твердого тела атомы имеют три степени свободы — колебания по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Так как на колебательную степень свободы приходится энергия Б , энергия моля равна 3 Б 3 , и теплоемкость твердого тела в расчете на моль равна 3 . Этот так называемый закон Дюлонга и Пти (по имени французских физиков П. Дюлонга (1785–1838) и А. Пти (1791–1820)) при комнатных и более высоких температурах хорошо выполняется для громадного большинства твердых тел.

Заметим, что в эксперименте для твердых тел обычно измеряется теплоемкость при постоянном давлении , но из-за

крайне малого коэффициента теплового расширения она почти неотличима от .

Теплоемкости газов. Молекулы одноатомных газов обладают только тремя поступательными степенями свободы, вся их энергия — 3 Б 2, и теплоемкость моля — 3 2. Для двухатомных газов появляются еще две степени свободы — вращение вокруг двух осей, перпендикулярных друг другу и оси молекулы. Соответственно, теплоемкость двухатомного газа — 5 2.

Для многоатомных газов возможны два варианта: линейные молекулы, как и двухатомные, имеют пять степеней свободы и соответственно теплоемкость при постоянном объеме 5 2, остальные — шесть, и их теплоемкость равна 3 .

Броуновское движение. По разным причинам одинаково трудно наблюдать тепловое движение как отдельных молекул, так и макроскопических тел. Это, однако, удается в промежуточном случае объектов размером порядка 1 мкм.

Первым заметил хаотическое движение взвешенных микрочастиц — пыльцы растений — в 1827 г. английский ботаник Р. Броун (1773–1858), по имени которого это движение и названо броуновским.

Масса броуновских частиц обычно составляет около 10 13 г, и скорость их теплового движения достигает величины порядка 1 см/с. Это не означает, однако, что за секунду частица сместится на такое расстояние. Траектория броуновской частицы — сложная путаная линия. Если фиксировать положение частицы через какие-то не слишком малые промежутки времени, то получается картина типа приведенной на рис. 4.15. На нем воспроизведены результаты, полученные Перреном (1908 г.) в его классических опытах.

ности сама представляет собой ломаную, состоящую из множества звеньев. Мы видим, что частица за 10 мин удалилась от первоначального положения всего на расстояние порядка 10 мкм, и это при средней скорости движения 1 см/с.

Движение броуновских частиц определяется флуктуациями давления, которые при столь малых размерах становятся вполне ощутимыми. Можно сказать иначе: движение этих частиц подчиняется закону равнораспределения; это хаотическое, тепловое движение с энергией порядка Б .

Теорию движения броуновских частиц разработали независимо в 1905–1906 гг. А. Эйнштейн и М. Смолуховский (1872–1917, польский физик). Прежде чем количественно анализировать броуновское движение, рассмотрим простую модель.

Блуждания «абсолютно пьяного человека». Предположим, потерявший ориентировку человек может двигаться только по прямой. Время от времени он делает шаг, но направление очередного шага абсолютно непредсказуемо. Как далеко он уйдет от начального положения за некоторое число шагов?

После первого шага (длину шага примем за единицу) он может с равной вероятностью оказаться в точках с координатами 1 и 1. После двух шагов он в одном случае попадет в точку 2, в одном — в точку 2, и в двух вариантах вернется в исходное положение. После трех шагов возможны 8 вариантов «траектории»: набор конечных пунктов таков: 3, три раза по

1, три раза по 1 и один 3.

Как и следовало ожидать, среднее смещение после любого числа шагов равно нулю. Но средний квадрат смещения, как нетрудно подсчитать, пропорционален числу шагов. Если длина шага равна , то после -го шага средний квадрат смещения равен 2. Если шаги делаются через равные промежутки времени, квадрат смещения пропорционален времени.

Естественно ожидать, что средний квадрат смещения броуновской частицы также линейно растет со временем, ведь ее перемещения вполне аналогичны блужданиям не выбирающего дороги человека.

Смещение броуновской частицы. Воздействие среды (газа, жидкости) на движущееся в ней тело состоит из ударов молекул. Однако если, например, тело движется под действием некоторой силы 0, можно выделить регулярную составляющую воздействия среды — силу сопротивления, обычно пропорциональную скорости тела. Тогда регулярное движение тела (на которое могут накладываться хаотические блуждания) определяется урав-

Если достаточно долго действует постоянная сила, движение становится равномерным с установившейся скоростью

0. Коэффициент называется подвижностью частицы. Например, для сферических частиц радиуса 0, движущихся в жидкости, вязкость которой равна , подвижность определяется формулой Стокса 1 6 0 .

Теперь рассмотрим движение такой частицы под воздействием хаотически меняющейся силы , как это бывает при броуновском движении. Умножив уравнение движения (4.50), предварительно заменив в нем постоянную силу 0 хаотической

силой , на и использовав соотношения 2 2

и 2 2 2 2 2 2 2 2, получим

Усредним полученное выражение по времени. Второй член по закону равнораспределения равен Б . Третий член обращается в нуль, так как 0, 0, и они статистически независимы. В силу линейности операций дифференцирования и усреднения их в первом и четвертом членах можно переставить. Тогда получаем

Если 2 пропорционален времени, первый член (4.51) исчезает, и мы получаем формулу Эйнштейна

При измерениях движения броуновских частиц обычно фиксируется расстояние, пройденное за некоторое время в плоскости наблюдения. Тогда, конечно,

с результатами измерений Перрена. Заметим, что в трехмерном

Броуновское движение как диффузия. Рассмотрим поведение броуновских частиц в однородном силовом поле, например, в поле сил тяжести. В стационарном состоянии, когда установится больцмановское распределение концентрации частиц

0 Б , поток частиц, движущихся по направлению силы со скоростью , должен компенсироваться диффузионным потоком в направлении уменьшения концентрации,

т. е. Бр , где Бр — коэффициент диффузии броуновских частиц. Подставляя сюда выражения для и ,

получаем соотношение Эйнштейна

Распространение возмущений. Рассмотрим некоторое видоизменение опыта Перрена. Не будем следить за одной частицей.

Выпустим в некоторую небольшую область одновременно много частиц. Выждем время , достаточно большое, чтобы величинастала заметно больше размеров области первоначального расположения частиц — тогда эту область можно считать точкой. Средний квадрат удаления для ансамбля частиц должен также определяться формулой (4.54). Мы не случайно опустили индекс у коэффициента . Ведь те же самые рассуждения можно провести и в случае обычной диффузии.

Используя формулу (1.12), подсчитаем средний квадрат удаления диффундирующей частицы от первоначального положения за время свободного пробега . Перепишем ее в виде

0 , и тогда она представляет долю частиц, дошедших до расстояния , или, иначе говоря, вероятность того, что частица пройдет это расстояние. В соответствии с формулой (4.5) вычислим средний квадрат удаления частицы от первоначального положения за один «шаг», т. е. за время свободного пробега:

За шагов, в соответствии с моделью «абсолютно пьяного человека», наберется расстояние 2 2 2. При этом пройдет

время, равное . Отсюда получаем выражение для 2 :

которое, конечно, полностью аналогично формуле (4.56). Обратим внимание, что это соотношение не означает, что

большинство частиц окажется к моменту времени на расстоянии 6 1 2, или что в этой области будет наибольшая концентрация частиц. Из формулы (1.12) можно понять, что больше всего частиц останется вблизи исходной точки. Просто до расстояний порядка к моменту времени концентрация частиц уже сравнима с концентрацией вблизи исходной точки (к тому же моменту времени), а дальше она быстро убывает с расстоянием.

Проиллюстрируем смысл формул Эйнштейна еще на одном примере. Предположим, мы соединили торцами горячий и холодный стержни (одномерный случай). Начальное распределение температур изображено на рис. 4.16 жирной линией.

Каким будет профиль температур через некоторое время ? Точный ответ можно получить только решив уравнение (1.18). Но приближенно картину можно представить на основе соотношения (4.52).