Лекция n 6 § 4. Соотношения неопределенностей

Математически соотношение неопределенностей имеет вид неравенства:

где Δх - неопределенность координаты микрочастицы;

Δp_x - неопределенность соответствующей компоненты импульса.

Для Δy Δp_y и ΔzΔp_z    справедливы аналогичные соотношения.

Соотношения неопределенностей впервые были установлены в 1927 г. немецким физиком Вернером Гейзенбергом.

Соотношения неопределенностей являются следствием корпускулярно-волнового дуализма квантовых объектов.

Задолго до создания квантовой механики в оптике было известно соотношение между длиной цуга световой волны Δx и неопределенностью волнового числа этого цуга Δk:

С учетом соотношения де Бройля (6.1) для и :

получим

что по порядку величины совпадают со сформулированным выше соотношением неопределенностей.

Для того, чтобы пояснить физический смысл соотношения неопределенностей, рассмотрим три различные волновые функции, изображенные на рисунках 6.3. (т.к. волновая функция является комплексной, то будем считать, что изображены вещественные части волновых функций). Наши волновые функции представляют собой цуги гармонических волн разной протяженности, распространяющиеся вдоль оси x.

Рис. 6.3

В соответствии с вероятностным смыслом волновой функции (6.3) микрообъект можно обнаружить только там, где волновая функция отличается от нуля. Это значит, что неопределенность, с которой наши волновые функции задают координату х микрообъекта, совпадает с пространственной протяженностью соответствующих волновых функций. Из рисунка видно, что неопределенности координаты х для наших частиц удовлетворяют неравенствам:

Для неопределенностей импульса Δp_x - ситуация обратная. Так как  p = h/λ  (6.1), то ясно, что Δp_x связан с Δλ. Продифференцировав формулу, связывающую p с λ, получим:

Заменяя дифференциалы приращениями, а h/λ   через p_x (27.2) и опуская "минус", получим:

Т.е. относительная неопределенность импульса Δp_x/p_x равна относительной неопределенности длины волны Δλ/λ.

Величина Δλ/λ меньше всего для первой волновой функции, а самая большая - для третьей. Грубой мерой для Δλ/λ может служить величина 1/N, где N - число полных волн, из которых состоит цуг, т.е.:

Учитывая связь с Δp_x/p_x, получим:

Из рисунков 6.3 видно, что N = Δx/λ , тогда:

Наконец, заменив в этом выражении λ на h/p_x, получим после простых преобразований:

Мы рассматривали волновые функции, представляющие собой отрезки синусоид. Для волн любой формы полученное нами соотношение принимает форму неравенства:

Отметим, что в приведенном в (6.6) соотношении неопределенностей , равенство достигается в случае, если волновые функции представляют из себя гауссовы волновые пакеты.

Итоги лекции n 6

1. Гипотеза о наличии у электронов волновых свойств выдвинул в 1924 году Л. де Бройль. В соответствии с этой гипотезой длина волны де Бройля λ определяется формулой:

       где р - импульс электрона.

Частота волны де Бройля находится из формулы:

    где Е - энергия электрона.

2. Длины волн де Бройля для макроскопических  объектов чрезвычайно малы, поэтому их волновые свойства (интерференция и дифракция) не проявляются.

3. Волновые свойства электронов обнаружили в 1927 г. Дэвиссон и Джермер в эксперименте по отражению электронов от поверхности кристалла никеля.

4. Советские физики А.М. Биберман,  Н.Г. Сушкин  и В.А. Фабрикант выполнили в 1949 г.  опыты по дифракции одиночных электронов. При этом с течением времени формировалась такая же дифракционная картина, как и при большой интенсивности пучка.

Из этих опытов следует, что каждому одиночному электрону присущи наряду с корпускулярными и волновые свойства.

5. Волна де Бройля является частным случаем более общего фундаментального понятия квантовой физики волновой функции. Ее принято обозначать греческой буквой Ψ , ("пси").

6. Физический смысл волновой функции состоит в том, что квадрат ее модуля определяет вероятность dw того, что микрообъект будет обнаружен в пределах объема dV (см. (6.3)):

Эту вероятностную интерпретацию дал волновой функции в 1926 г. Макс Борн.

7. Соотношение неопределенностей утверждает, что произведение неопределенности координаты микрочастицы на неопределенность ее импульса не может быть меньше, чем , т.е.

аналогичные соотношения справедливы для Δy Δp_y и ΔzΔp_z.

       Эти соотношения были установлены в 1927 г. В. Гейзенбергом и носят его имя: соотношения неопределенностей Гейзенберга.

ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

ЛЕКЦИЯ N 7

Уравнение Шредингера. Понятие об операторах физических величин. Решение уравнения Шредингера для простейших случаев. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

 

§ 1. Уравнение Шредингера

Волновое уравнение, позволяющее найти волновую функцию частицы, которая движется в заданном силовом поле, имеет следующий вид:

здесь - постоянная Планка;  m - масса частицы; U - ее потенциальная энергия во внешнем поле, которая, вообще говоря, может зависеть и от времени t,   - мнимая единица, через обозначен оператор Лапласа. Оператор - это совокупность действий, которые надо провести над функцией. В декартовой системе координат оператор Лапласа имеет вид:

Волновое уравнение для функции Ψ получено в 1926 г. австрийским физиком Эрвином Шредингером и носит его имя - уравнение Шредингера.

В квантовой механике уравнение Шредингера играет такую же фундаментальную роль, как и уравнения движения Ньютона в классической механике.

В случае, если внешнее поле, в котором движется частица, не зависит от времени (U ≠ U(t) ), то:

Здесь E - полная энергия частицы, которая в стационарном состоянии сохраняется. Волновая функция Ψ распадается на произведение двух сомножителей. Первый сомножитель ψ(x, y, z) - координатная волновая функция. Второй сомножитель, дает временную зависимость волновой функции Ψ. Эта зависимость универсальна, т.е. не зависит от конкретного вида функции U(x, y, z), задающей потенциальную энергию.

Подставим в уравнение Шредингера (7.1) волновую функцию (7.2). После дифференцирования по t и сокращения на экспоненту, получим дифференциальное уравнение для координатной волновой функции ψ(x, y, z):

Это уравнение называют уравнением Шредингера для стационарных состояний.

Отметим, что квадраты модулей полной Ψ и координатной ψ волновых функций совпадают. Действительно:

Для системы N взаимодействующих частиц волновая функция является функцией 3N координат и времени t, т.е.

Оператор Лапласа, деленный на массу , заменяется на сумму соответствующих выражений для каждой частицы, т.е.

В качестве U записывается потенциальная энергия взаимодействия частиц, т.е.

Решение получающегося уравнения представляет большие математические трудности, которые возрастают с ростом числа частиц N. В дальнейшем мы будем рассматривать только стационарное уравнение Шредингера для одной частицы, причем ограничимся простейшими потенциальными полями.