19.3.2.2. Определение положений максимумов и минимумов методом зон Френеля

Для нахождения положений максимумов и минимумов интенсивности воспользуемся методом зон Френеля (19.3): разобьем сторону BC на отрезки длиной λ/2.

Из концов этих отрезков проведем линии, параллельные фронту вторичной плоской волны, идущей под углом φ. Эти линии разобьют AB - фронт первичной плоской волны на зоны Френеля. На рисунке их изображено три: AD, DE и EB. Число зон Френеля k зависит от λ и длины отрезка BC = b Sinφ . Если k целое, то

.

При четном числе зон Френеля k = 2m, где m = ±1, ±2... все зоны можно разбить на соседние пары, которые гасят друг друга (19.3). Следовательно условие минимума при дифракции Фраунгофера на щели имеет вид:

При нечетном k = 2m + 1 одна зона остается без пары и ее колебания не будут погашены, следовательно, условие максимума при дифракции Фраунгофера на щели будет иметь вид:

.

Обратим внимание, что условия формально противоположны условиям максимумов и минимумов (18.1.2.3) при интерференции от двух источников.

 

19.3.2.3. Зависимость интенсивности дифракционной картины от угла дифракции φ

Разобьем щель на полоски шириной dx и изобразим векторную диаграмму колебаний, посылаемых этими полосками в точку наблюдения P. При φ = 0 колебания от всех полосок будут иметь одинаковую фазу. Результирующее колебание в точке P получится в результате сложения сонаправленных бесконечно малых векторов. Векторная диаграмма (14.3) в этом случае будет иметь вид вектора длиной A₀.

Для колебаний приходящих от щели в точку наблюдения P, расположенную под углом φ, векторная диаграмма имеет вид дуги окружности длиной A₀.

Замыкающий эту дугу вектор Aщ является амплитудой результирующего колебания от щели при произвольном угле φ. Фазовый угол δ соответствует максимальной разности хода, равной Δ = b Sinφ . Так как ,   см. (18.1.2.2), то .

 

Величину вектора A_щ найдем из геометрических соображений.

      (по определению радианной меры угла).

Из треугольника COB:

.

Исключив R получим:

.

Интенсивность (16.5.4.) пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно:

.

Учитывая связь δ с разностью хода Δ, получим связь интенсивности дифрагировавшего света с параметрами разбираемой задачи:

.

Здесь I₀ - интенсивность при φ = 0.

График этой функции в осях I - Sinφ имеет следующий вид:

19.4 Дифракционная решетка

- это совокупность большого числа одинаковых щелей, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние. Расстояние d между соответственными точками соседних щелей называют периодом решетки:

d = a + b.

19.4.1. Условие главного максимума для дифракционной решетки

Пусть на дифракционную решетку с числом щелей N падает по нормали параллельный пучок света (плоская волна, 15.1.7) с длиной волны λ. Между экраном и решеткой поместим собирающую линзу. Экран расположим в фокальной плоскости линзы. По принципу Гюйгенса-Френеля (19.2) для нахождения амплитуды результирующего колебания в какой-либо точке P экрана наблюдения надо найти результат интерференции всех вторичных волн, с учетом их фаз и амплитуд. Линза собирает в точке P все параллельные лучи, идущие от решетки под углом φ.

Каждая щель создает колебания с амплитудой зависящей от φ (19.3.2.3).

.

Разность хода лучей, идущих от соответственных точек соседних щелей найдем из треугольника ABC:

.

При выполнении условия максимума (18.1.2.3)

,

таким образом, условие главного максимума для дифракционной решетки будет иметь следующий вид:

Целое число m называют порядком максимума. Колебания от соседних щелей при выполнении условия максимума в точку P будут приходить в одинаковой фазе. Результирующая амплитуда A_р, создаваемая в точке P решеткой будет в N раз больше амплитуды от одной щели:

.

Интенсивность света (16.5.4):

будет в N² раз больше, чем интенсивность I_щ, создаваемая одной щелью.