19.4.2. Зависимость интенсивности дифракционной картины решетки от угла дифракции φ
Амплитуда результирующего колебания от N щелей, Ap(φ), есть результат многолучевой интерференции (18.3). Таким образом:
.
Здесь δ - разность фаз колебаний, идущих в точку P от соответственных точек соседних щелей. Выразим δ через Δ (18.1.2.2), а Δ из треугольника ABC:
Подставив Aщ, полученную в (19.3.2.3), получим зависимость амплитуды результирующего колебания, создаваемого решеткой для угла φ:
.
Для интенсивности (16.5.4) получим:
.
Здесь I0 - интенсивность, создаваемая одной щелью при φ = 0, первая дробь учитывает зависимость от интенсивности от φ одной щели, а вторая учитывает результат многолучевой интерференции N щелей.
При выполнении условия главного максимума d·Sinφ = mλ вторая дробь после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя дает N2. Таким образом, интенсивность в максимуме, как и было показано в (19.4.1), в N2 раз больше интенсивности, создаваемой одной щелью.
19.4.2.1. Минимумы интенсивности дифракционной картины решетки
Формально получить условия на φ при которых будут наблюдаться минимумы можно, если проанализировать на минимум только что полученное выражение I(φ). Анализ дает следующие результаты:
а)
-
это условие минимума для щели (19.3.2.2);
б)
-
это условие главного минимума для
решетки. При выполнении этого условия
колебания от соседних щелей приходят
в точку P
в противофазе и попарно гасят друг
друга;
в)
-
целое число не кратное N.
Это условие добавочных минимумов. При k' кратном N получим условие максимума.
При выполнении условия добавочных минимумов векторная диаграмма сложения колебаний от N щелей замыкается: конец N-го вектора попадает в начало 1-го и результирующая амплитуда равна нулю. На рисунке ниже изображена эта ситуация для N = 6 (рис. а), k' = 1 и k' = 2 (рис. б). При k' = 2 векторы A1 и A4, A2 и A5, A3 и A6 расположены в одном месте.
19.4.2.2. Добавочные минимумы, ближайшие к главным максимумам
Если в условии добавочных минимумов (19.4.2.1,в) положить k' = 1, N ±1, 2N ±1,┘, т.е. k' = mN ±1, m = 0, 1, 2, ┘, то получим условие для добавочных минимумов, ближайших к главным максимумам порядка m:
При разности хода d·Sinφ равной ±mλ наблюдается главный максимум порядка m. Добавка к разности хода величины λ/N дает условие минимума, ближайшего к главному максимуму. Эта добавка тем меньше, чем больше N - число щелей решетки, принимающих участие в образовании интерференционной картины. У хороших решеток d ≈ 10-6 м и при длине решетки lр = 1 см число щелей N = lр/d = 10000, что дает очень узкие главные максимумы, необходимые в спектральных приборах.
19.4.3. График интенсивности Ip(Sinφ )
Для наглядности графика возьмем решетку с очень малым числом щелей, N = 4. Пусть, для определенности, постоянная решетки d в четыре раза больше ширины щели b, т.е. d = 4b, а длина волны λ = b/2. Найдем значения Sinφ , при которых будут наблюдаться максимумы и минимумы от нашей решетки:
Минимумы для щели (19.4.2.1,а):
Главные максимумы решетки (19.4.1):
Главные минимумы решетки:
Добавочные минимумы решетки:
Зависимость интенсивности дифракционной картины от Sinφ изображена на рисунке (расположенном ниже) сплошной линией. Бледная линия - огибающая дифракционной картины - это интенсивность дифракционной картины от одной щели, помноженная на N2 = 42 = 16.
