3.8.1. Скорость направлена по касательной к траектории

Так как , то направление вектора совпадает с предельным направлением вектора . На рис. а), б), в) показаны этапы предельного перехода для плоского движения (для простоты иллюстрации):

а)

     При приближении к , по направлению приближается к касательной.

б)

Как известно из геометрии, касательная есть предельное положение секущей.

в)

Значит, скорость направлена по касательной к траектории .

3.8.2. Компоненты скорости

На следующем рисунке изображен вектор скорости материальной точки M, движущейся по плоскости x, y:

v_x, v_y - компоненты скорости, т.е. проекции вектора на координатные оси.

Так как .

С другой стороны: ,

откуда ,       так же и       ,

т.е. компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

3.8.3. Модуль скорости - производная пути по времени.

.

По теореме Пифагора:       .

3.9. Вычисление пройденного пути

Для равномерного движения ,      - весь путь,       - весь отрезок времени,       - const.

Для произвольного движения:

.

v₁ в течение отрезка Δt_i приблизительно постоянны, если Δt достаточно мало. В пределе:

,

т.е. путь - это определенный интеграл от модуля скорости по времени.

3.10. Ускорение - это производная скорости по времени.

      или      

Учитывая (3.8), получим:

Ускорение - вторая производная радиуса-вектора по времени. Производную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины. Ускорение - это скорость изменения скорости.

3.10.1. Нормальное и тангенциальное ускорение

Направим единичный вектор     вдоль вектора скорости:

Тогда

(по правилу нахождения производной от произведения).

Первый член, нормальное ускорение,

показывает быстроту изменения направления скорости.

Второй, тангенциальное ускорение,

направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.

Направление и величину нормального ускорения найдем для частного случая равномерного движения материальной точки по окружности:

Направлен , при , по вектору :

.

.

Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль:

.

Для движения по произвольной кривой R - радиус кривизны траектории - не будет величиной постоянной.

.

.

6. Кинематика вращательного движения

6.1. Поступательное и вращательное движение

В данном примере траектория центра масс - окружность, остальные точки тела также движутся по окружностям , но центры этих окружностей не лежат на одной прямой.

а) поступательное движение. Любая линия, проведенная в твердом теле, при движении остается параллельной самой себе.

Здесь, как и в предыдущем примере а), центр масс тела движется по той же окружности.

б) вращательное движение, центр масс движется по окружности того же радиуса. Каждая точка твердого тела движется по своей окружности; центры всех окружностей лежат на прямой, называемой осью вращения.