Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

y1 y y2

y2 y y3 y3 y y4

yn y( n ) f1( y( i ) , fs( j ) ,u),

где функцию f1 получаем, разрешив исходное дифференциальное уравнение n-го порядка относительно старшей производной.

Пусть необходимо задать движение объекта, что представляет основ-

ную цель управления. В этом случае, очевидно, надо задавать в каждый мо-

мент времени для определенных значений фазовых координат скорости их изменения. Но задавать в каждый момент времени можно только высшую производную регулируемой величины, поскольку только она явно зависит от управления u. Задаваемое же значение высшей производной должно при этом обязательно соответствовать требуемому движению, т.е. требуемой за-

висимости высшей производной от фазовых координат объекта. Эта зависи-

мость определяется из требуемого дифференциального уравнения, опреде-

ляющего желаемое поведение объекта

где Сi – параметры настройки.

Следует отметить, что задание требуемого дифференциального уравне-

ния возможно и форме, при которой сохраняется зависимость регулируемой величины от возмущений, т.е.

U( y( i ) ,g( r )C , f ( j ) ) 0;

i s (5.78) j 0,1,2, ,S

Таким образом, для требуемого движения системы в каждый момент времени должно соблюдаться условие

где yd(n)(t) – требуемое по условиям реализации (5.77) значение высшей про491

изводной.

Значение yd(n)(t) определяется из (5.77), которое рассматривается относительно y(n)(t) как конечное

Из условия (5.79) вовсе не следует, что должно выполняться равенство

y(n)(t)=yd(n)(t). Задание формируется не как функция времени yd=yd(t), а как со-

отношение между регулируемой величиной и ее производными, т.е. в форме уравненият (5.77).

Чтобы движение системы соответствовало заданному, требуемый закон управления должен иметь, например, вид дифференциального уравнения объекта, в которое вместо высшей производной регулируемой величины под-

ставлено ее требуемое значение

Равенство функций определяет равенство аргументов только тогда, ко-

гда функция, обратная заданной, является однозначной. Только в этом случае заданное условие (5.79) выполняется. В частности, если уравнение объекта учитывает на входе звено с насыщением, то требуемое управление будет со-

держать обратную функцию, которая существует не при всех значениях сиг-

нала на входе этого звена.

Кроме того, левая часть требуемого уравнения движения (5.77) (функ-

ция U) должна быть такой, чтобы решение этого уравнения y(t) удовлетворя-

ло необходимым показателям качества регулирования. Порядок требуемого дифференциального уравнения синтезируемой системы должен быть равен

492

порядку объекта, т.е. n1=n.

Правило синтеза требуемого управления объектом состоит в следую-

щем. Для нахождения управления объектом, необходимого для реализации заданного движения системы, в уравнение объекта следует подставить вме-

сто высшей производной регулируемой величины ее значение, определенное из требуемого дифференциального уравнения системы.

Пример 5.5. Для иллюстрации изложенного метода, рассмотрим систему управле-

ния частотой вращения асинхронного двигателя путем введения противо-ЭДС в цепь вы-

пряменного тока ротора (ЦВТР) при переменной частоте напряжения на статоре /94/.

Математическая модель асинхронного электродвигателя при таком способе управ-

ления может быть представлена в виде

где Lэ – эквивалентная индуктвность электродвигателя, Ld – индуктивность дросселя, Rэ = Rr+Rs( )s – эквивалентное сопротивление ЦВТР, Ed0 – ЭДС неподвижного ротора, Edi –

противо–ЭДС, (1- ) – управляющее воздействие, Id – выпрямленный ток ротора, М – мо-

мент развиваемый электродвигателем, k – оператор, определяющий связь между током и моментом асинхронного электродвигателя, – отностиельная частота напряжения на ста-

торной обмотке, 0 – частота вращения идеального холостого хода при =1, J – момент инерции, s – скольжение (выходная координата), Мс – момент сопротивления.

Потребуем, чтобы переходной процесс в замкнутой системе удовлетворял уравне-

нию первого порядка

где s0 – рассматривается как заданное скольжение; b2 и C – параметры настройки.

Решая (5.84) относительно старшей производной при b = 0, получим

При отработке заданного движения выходной координаты электропривод должен преодолеть момент сопротивления, который, в общем случае, не является постоянной ве-

493

личиной. Это приводит к необходимости задания требуемого закона изменения момента

(тока) электродвигателя. Естественно, что заданное изменение момента двигателя должно соответствовать изменению момента сопротивления

Решая последнее уравнение относительно старшей производной, получим

Подставляя (5.85) в третье уравнение (5.83) получим, что условие (5.84) выполнимо лишь при изменении скольжения по закону

Разложение функции двух переменных f(Id,s)=RэId = (Rr+Rs( )s)Id в ряд Тейлора в окрестности точки (s0 Id0) позволяет представить первое уравнение системы (5.83) в виде

Подставляя выражения (5.86) и (5.87) в (5.88) получим уравнение, решение которо-

го относительно управляющего воздействия определяет структуру системы управления

Полученное уравнение позволяет составить структурную схему системы автомати-

ческого регулирования частотно-каскадного электропривода, которая приведена на рис. 5.23, где обозначено L = (Lэ+Ld) – суммарная индуктивность ЦВТР, F1( , ,s) и F2 – нели-

нейные операторы.

Очевидно, что реализация ал-

горитма (5.89), определяющего опе-

ратор управляющего устройства УУ

(рис. 5.22), позволила детализиро-

вать структуру самого управляюще-

го устройства, т.е. обеспечить струк-

Рис. 5.23. Структурная схема управления494 асинхронным электродвигателем

турный синтез системы.

495

5.3.2. Синтез систем с переменной структурой

Основной идеей синтеза систем с переменной структурой является це-

ленаправленное использование свойств скользящего режима, который может возникать в системе с разрывным управлением. Одним из важнейших таких свойств несомненно является свойство независимости движения системы в скользящем режиме от параметров ее неизменяемой части и, в частности, от параметров объекта. Вполне естественной, поэтому является мысль исполь-

зовать это свойство для управления объектами с переменными параметрами.

Обычно на практике для получения высокого качества процессов управления объектами с переменными во времени параметрами в систему управления вводят различные корректирующие устройства, которые изменяют закон управления тем или иным образом. Это часто приводит к значительному ус-

ложнению системы.

Использование свойства независимости скользящих режимов в систе-

мах с переменной структурой (СПС) от параметров объекта позволяет по-

строить систему, в которой один и тот же закон управления обеспечивает требуемый характер управляемого процесса при существенном изменении характеристик объекта. Конечно в системах с переменной структурой, пред-

назначенных для управления объектами с переменными параметрами, возни-

кают свои особенности, которые не могут не учитываться при проектирова-

нии системы. Одна из таких особенностей состоит в невозможности исполь-

зования вырожденных движений, присущих той или иной структуре, так как такие движения являются «негрубыми» по отношению к параметрам системы

/75/. С этой точки зрения искусственные вырожденные движения — сколь-

зящие режимы представляют больший интерес при решении задач управле-

ния нестационарными объектами. Однако изменение параметров объекта может привести к тому, что скользящий режим в системе прекратится или даже не возникнет вовсе. Если при постоянных параметрах гиперплоскость

496

переключения являлась гиперплоскостью скольжения, то при изменении па-

раметров на ней могут возникнуть области, в которых скользящий режим не-

возможен. При попадании изображающей точки в эту область скользящий режим или не возникнет, или сорвется, и желаемый характер движения на-

рушится. Избежать этого можно, по крайней мере, двумя способами. Можно по мере изменения параметров изменять положение гиперплоскости пере-

ключения в фазовом пространстве таким образом, чтобы сохранить скользя-

щий режим и обеспечить требуемый характер движения в скользящем режи-

ме, и тем самым скомпенсировать влияние переменных параметров. Однако такой способ потребовал бы непрерывного измерения параметров объекта,

что далеко не всегда возможно.

Более приемлемым оказывается иной способ. Как правило, параметры объекта меняются в некотором ограниченном диапазоне.

Естественно, поставить вопрос: нельзя ли выбрать параметры законов управления таким образом, чтобы условия существования гиперплоскости скольжения не нарушались при изменении параметров объекта в этом огра-

ниченном, заранее известном диапазоне.

Если это возможно, то такой способ не потребует никаких дополни-

тельных измерений и корректировок во время переходного процесса. Конеч-

но, система должна быть построена таким образом, чтобы скользящий режим мог в ней возникнуть.

Методика синтеза законов управления при этом, в основном сохраняет-

ся, и центральными вопросами остаются: вопрос об условиях существования гиперплоскости скольжения и вопрос о попадании изображающей точки на эту гиперплоскость из любого начального положения ее в фазовом простран-

стве.

Рассмотрим вопрос о существовании гиперплоскостей скольжения и об устойчивости свободных и вынужденных движений на примере системы второго порядка. Примеры управления в системах более высокого порядка

497

любом характере изменения этих коэффициентов в пределах этого диапазо-

на.

Рассмотрим поведение системы на плоскости координат x1, x2. На этой плоскости изображающая точка движется по непрерывным нестационарным фазовым траекториям. Будем характеризовать направление вектора мгновен-

ной фазовой скорости системы величиной ζ, равной тангенсу угла между ка-

сательной к траектории и осью x1. Как известно, величина ζ определяется со-

отношением

Каждой точке плоскости (x1,x2) соответствует множество возможных значений ζ, определяемых различными значениями коэффициентов a1(t), a2(t), b(t) в различные моменты времени. Так как все эти величины изменя-

ются в конечных пределах, то, очевидно, каждой точке плоскости (x1,x2), за исключением оси x1 соответствуют некоторое минимальное и максимальное значения ζ.

Пусть в начальный момент t0 система находится в точке с координата-

ми x10, x20 (рис. 5.24). Построим две траектории, исходящие из этой точки, та-

ким образом, чтобы первой траектории соответствовало минимально воз-

можное значение ζ, а второй - максимально возможное значение ζ. Эти зна-

чения ζ определяются соответственно выражениями

Очевидно, что для траектории, соответствую-

щей ζmin, величина a2= a2max, для траектории, соответ-

Рис. 5.24. Формирование

траекторий скользящего ствующей ζmax – величина a2= a2inx, а коэффициенты a

режима

500