Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

4.3.4. Особенности фазовых портретов систем с переменной структурой

Анализ движений неустойчивых линейных систем (рис. 4.14) свиде-

тельствует о наличии некоторой совокупности устойчивых фазовых траекто-

рий (прямая S на рис. 4.14, б), задаваемых уравнением вида

следующим из (4.30), (4.31) при A1=0.

Прямая S в данном случае образует гиперплоскость в фазовом про-

странстве системы второго порядка с одним положительным корнем. Если в начальный момент времени изображающая точка находится на прямой S, то она будет асимптотически приближаться к началу координат. В то же время необходимо отметить, что любые сколь угодно малые возмущения, всегда существующие в системе, «выбивают» точку с прямой S и в системе возника-

ет неустойчивое движение. В дальнейшем движения изображающей точки,

происходящие по траекториям, принадлежащим гиперплоскости, будем на-

зывать вырожденными. Эта особенность фазового пространства линейных систем позволяет целенаправленно формировать движения в системах авто-

матического управления исходя из требований быстродействия, качества процессов управления и т.д. с учетом имеющихся ограничений на координа-

ты системы. Подобное формирование движений, осуществляемое чаще всего логическими управляющими устройствами с релейной характеристикой, по-

родило класс систем автоматического управления – систем с переменной

372

структурой. В настоящем разделе приводятся лишь основные сведения о спо-

собе организации управления.

Предположим, что в нашем распоряжении имеются две, пусть даже не-

устойчивые, линейные структуры, но в фазовом пространстве одной из них существует гиперплоскость с устойчивыми вырожденными движениями. То-

гда следует выбрать такую последовательность изменения этих структур,

чтобы, во-первых, любая траектория в пространстве Х пересекала эту гипер-

плоскость и, во-вторых, в момент попадания изображающей точки на эту ги-

перплоскость структура системы совпадала со структурой с устойчивым вы-

рожденным движением. Построенная таким образом система будет устойчи-

вой для любых начальных условий. Рассмотрим, например, систему, которая может иметь две фиксированные неустойчивые структуры. Пусть первой структуре соответствует фазовый портрет рис. 4.11, а, а второй – рис. 4.14, б.

Возникает задача: выбрать такую последовательность изменения структур,

чтобы любое движение системы было устойчиво. Решим эту задачу методом

фазовой плоскости. Разобьем фазовую плоскость ( x,x) на две области, грани-

цами которых являются прямая S и ось x (рис. 4.26). Если состояние системы таково, что изображающая точка находится в области I, то ее движение должно происходить по раскручивающимся спиралям (система должна иметь первую структуру). В области II изображающая точка должна двигаться по кривым гиперболического типа (система должна иметь вторую структуру).

Из рис. 4.26 видно, что изображающая точка всегда попадает на прямую S,

которая является устойчивой траекторией для второй структуры. Поэтому для любых начальных условий, начиная с некоторого момента времени (мо-

мента попадания на S) возникает устойчивое движение. Очевидно, что если управляющее устройство осуществляет изменение структуры на прямой S и

оси x, то в системе будет обеспечена апериодическая устойчивость движе-

ния. Такой подход позволяет построить устойчивую систему и отказаться от

373

требования устойчивости для каждой из имеющихся структур.

Другой способ, который может быть положен в основу построения систем с пере-

менной структурой, целесообразно использо-

вать в случае, если фазовое пространство для каждой из фиксированных неустойчивых структур не содержит гиперплоскостей с ус-

тойчивыми вырожденными движениями. За счет «сшивания» в определенной последова-

тельности участков неустойчивых траекторий удается в итоге получить устойчивое движе-

ние для любых начальных условий. В качест-

ве примера рассмотрим случай, когда в нашем распоряжении имеются две линейные структуры, находящиеся на границе устойчивости.

Соответствующие им фазовые портреты представлены на рис. 4.27, а,

б. Пусть в первом и третьем квадрантах плоскости ( x,x) фазовыми траекто-

риями изображающей точки являются траектории, рис. 4.27 а, а во втором и

Рис. 4.26. Обеспечение апериодической устойчивости в системе с консервативными звеньями

четвертом квадрантах - фазовые траектории рис. 4.27, б. Очевидно, что если изменение структуры происходит на координатных осях и фазовый портрет

374

системы имеет вид, представленный на рис. 4.27, в, то любых начальных ус-

ловиях движение в системе будет устойчивым.

Плодотворной идеей синтеза систем управления релейного типа оказа-

лась идея создания искусственных вырожденных движений.

Сущность этого подхода заключается в следующем: в фазовом про-

странстве Х задается некоторая гиперплоскость S движение в которой обла-

дает желаемыми свойствами, причем траектории, лежащие в S, не принадле-

жат ни одной из имеющихся структур. Последовательность изменения структур должна быть выбрана такой, чтобы изображающая точка всегда по-

падала на эту гиперплоскость, а затем двигалась по ней. Тогда с момента по-

падания в системе будет существовать искусственное вырожденное движе-

ние, которое можно наделить рядом полезных свойств, не присущих ни од-

ной из фиксированных структур. Идея создания искусственных вырожден-

ных движений может быть проиллюстрирована на следующем примере.

Пусть по-прежнему в предусмотрена возможность использования двух фиксированных линейных структур, которым соответствуют фазовые порт-

реты рис. 4.13 и рис. 4.14, в.

Предположим далее, что изменение

структуры системы осуществляется на оси x

и на прямой S* которая не является фазовой траекторией ни для одной из имеющихся

структур (рис. 4.28). Ось x и прямая S* раз-

бивают фазовую плоскость на две области,

причем в области I изображающая точка движется по эллиптическим кривым, а в об-

ласти II - по гиперболическим кривым. Оче-

видно, что из любого начального положения изображающая точка попадает на границу S*. Если угловой коэффициент прямой S* больше углового коэф-

375

фициента прямой S, то в окрестности S* фазовые траектории будут направ-

лены встречно (рис. 4.28). Тогда, попав на S* изображающая точка в даль-

нейшем ее не покинет, т. е. прямая S* является фазовой траекторией, по ко-

торой изображающая точка «скользит» в начало координат.

Таким образом, удается обеспечить существование искусственных вы-

рожденных движений.

4.4.Метод гармонической линеаризации

Сущность метода гармонической линеаризации заключается в замене нелинейного элемента системы эквивалентным линейным, который одинако-

во с нелинейным элементом преобразует гармоническое колебание и харак-

теризуется эквивалентным комплексным коэффициентом передачи. Такая замена позволяет исследовать нелинейные системы частотными методами, в

частности, исследовать их устойчивость, выявить наличие автоколебаний и определить их амплитуду и частоту, а также решать задачи коррекции нели-

нейной системы.

Основы метода гармонической линеаризации (метода гармонического баланса) разработаны академиками Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым.

Применительно к теории автоматического управления этот метод развит Л.

С. Гольдфарбом и Е. П. Поповым. В иностранной литературе метод гармони-

ческой линеаризации называется методом описывающей функции.

4.4.1. Гармоническая линеаризация статических характеристик

нелинейных элементов. Эквивалентный комплексный коэффициент

передачи (усиления) нелинейного элемента

Начнем рассмотрение /84/ со случаев, когда имеется одна нелиней-

ность, содержащая одну переменную (и, возможно, ее производную) под зна-

ком нелинейности, т. е.

376

где p D s Re s 0 .

Линейная часть может иметь любую структуру.

При определении периодических колебаний будем считать, что линей-

ная часть обладает свойством фильтра, т.е. способна ослаблять высшие гар-

моники до пренебрежимо малых значений. Тогда при сколь угодно сложной периодической кривой y(t) на выходе нелинейного звена, содержащей неко-

торую основную частоту и высшие гармоники 2 , З ,..., последние прохо-

дят через линейную часть системы со значительно меньшими усилениями амплитуды, чем основная частота . Поэтому, несмотря на немалые высшие гармоники переменной y, они будут малы для переменной x (рис. 4.29),

вследствие чего приближенно можно записать

в то время как x A1 sin( t ) высшие гармоники .

В результате синусоидальная форма (4.56) пере-

менной x под знаком нелинейной функции (4.55) будет хорошим первым приближением решения для перио-

дического процесса в системе даже при любом сущест-

венном (не малом) отличии нелинейной функции

F(x,px) от линейной (k1+k2p)x, когда другие перемен-

ные в этой же системе, например y, могут значительно отличаться от синусоиды. Такова чисто физическая картина, математическое обоснование которой базируется на возможности замены нелинейной функ-

ции F(x,px) линеаризованным выражением

что определяет суть гармонической линеаризации нелинейности. Коэффици-

енты a и b выражения (4.57) зависят в общем случае от амплитуды А и часто-

ты искомого решения (4.55). Они определяются через коэффициенты пер-

377

вой гармоники ряда Фурье (см. 2.4.1) при sin и cos ( = t) с заменой со-

ответственно

Высшие гармоники разложения F(x,px) отброшены в выражении (4.57)

не потому, что они малы, а потому, что прохождение их через линейную часть системы мало повлияет на переменную x. Поэтому замена выражением

(4.57) годится только для отыскания решения относительно переменной x

(что и будет делаться в дальнейшем). Для определения же переменной y сле-

дует пользоваться непосредственно самим нелинейным выражением (4.55) с

подстановкой x A sin t после того, как она будет найдена.

В выражении (4.57) отсутствует нулевой член ряда Фурье (постоянная составляющая), так как в данном случае предполагается наличие нечетной симметрии нелинейной функции, когда

2

F(Asin , A cos )d 0.

0

Ниже будет рассмотрен случай и с постоянной составляющей.

Коэффициенты гармонической линеаризации a и b, определяемые формулами (4.58), могут быть заранее вычислены для всех часто встречаю-

щихся (типовых) нелинейностей и представлены либо в виде числовых таб-

лиц, либо в виде графиков (их можно найти в литературе и в расчетных по-

собиях). В общем случае они зависят от амплитуды А и частоты . Однако во многих случаях они являются функциями только амплитуды а(А), b(A), что справедливо, например, для нелинейностей вида F(x) для которых

378

В более редких случаях встречаются нелинейности, для которых коэф-

фициенты гармонической линеаризации не зависят от амплитуды, а только от частоты a( ), b( ).

В случае однозначных нелинейностей F(x) имеем a(A), b=0.

Для петлевых нелинейностей F(x) с гистерезисом a(A)>0, b(A)<0, а для опережающей петли b(A)>0.

В результате нелинейное опережение, или запаздывание, зависящие в той или иной форме от координат и скоростей (x и px), при гармонической линеаризации преобразуются в эквивалентное линейное опережение, или за-

паздывание по фазе в виде слагаемого с производной px [см. формулу (4.57)]

соответственно с положительным или отрицательным коэффициентом. Не-

линейная специфика отражена при этом зависимостью указанного коэффи-

циента от амплитуды и частоты колебаний.

Гармоническая линеаризация нелинейностей усложняется, когда под знак нелинейности входят две различные переменные в нелинейной комби-

нации друг с другом (т. е. не в виде суммы или разности), например

где Az Wz,x ( j ) A, argWz,x ( j ), после чего можно воспользоваться прежни-

ми формулами (4.57) и (4.58) для гармонической линеаризации нелинейности от двух переменных (4.59) с подстановкой выражения (4.60).

Допустим теперь, что в системе имеется две или несколько нелинейно-

стей.

379

Если несколько нелинейностей от одной переменной складываются,

например y F1(x) F2 (x, px) F3(px), или связаны другими операциями, напри-

мер y F1(x)F2 (px), то все сводится к прежнему. При этом в первом случае ко-

эффициенты гармонической линеаризации a и b равны их суммам для каж-

дой отдельной нелинейности. Во втором же случае должна производиться гармоническая линеаризация обязательно всего нелинейного выражения в целом.

Если несколько нелинейностей, например,

y1 F1(x1, px1), y2 F2(x2, px2), y3 F3(x3), ,

расположены в разных местах контура управления, то возможны два случая.

Первый случай — когда промежуточные части системы между нели-

нейностями обладают свойством фильтра. Каждая из нелинейностей подвер-

гается гармонической линеаризации по формулам (4.58) при

x1 A1 sin t, x2 A2 sin( t 2),

Тогда получаем

После этого должны быть записаны соотношения, между искомыми амплитудами через передаточные функции, связывающие переменные x2 и x1, x3 и x1 и т. д. Это даст выражения

что сведет задачу снова к двум неизвестным A1 и .

Второй случай — когда промежуточная часть системы между двумя

(или несколькими) нелинейностями не обладает свойством фильтра. В этом случае обе (или несколько) нелинейности вместе с промежуточной частью нужно объединить в одно нелинейное эквивалентное звено и найти точное выражение кривой колебаний (в пределах одного периода) на выходе этого звена

380