Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3702

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

11.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Подалгебра определяется с помощью операторных матриц. Например, в качестве может выступать алгебра операторов, имеющих суммируемые или суммируемые с субмультипликативным весом диагонали. К первой алгебре относятся операторы, для которых конечна величина

sup

< ∞.

Ко второй алгебре – операторы, для которых выполнимо условие

( ) < ∞,

где

– субмультипликативный

вес,

т. е.

для всех

и ( + ) ≤ (

) ( )

отличная от нормы в

: →

. В

вводится своя норма,

( ) ≥ 1

обозначаемая

. В качестве

возможны и другие алгебры. Другие при-

меры весовых

операторных алгебр можно найти в [1-4].

‖ ‖

−

Рассмотрим возмущенный оператор

. В рабо-

те показано, что спектральные проекторы

возмущенного оператора

( ) →

также принадлежат той же подалгебре, что и возмущение .

Соответствующий

−

результат сформулирован в теореме 3, и там же приведены уточняющие оценки

на матричные элементы проекторов

Методом исследования

спектральных проекторов возмущенного операто-

ра

является метод подобных операторов, развиваемый в работах Баска-

А.Г. [5-8] и используемый в спектральном анализе дифференциальных [9-

кова −

13] и разностных [14-16] операторов и смежных вопросах [17-19].

Мы будем придерживаться в изложении метода работы [8].

Определение 1

[8]. Два линейных оператора

называются подобными, если существует такой непрерывно: (

обратимый опера-

)

→

= 1,2

тор

( )

= ( )

для

( )

, что

Зная спектральные свойства одного из подобных операторов, легко мож-

но определить и спектральные свойства другого. В частности, если

- спек-

тральный проектор для оператора

, то

есть спектральный проек-

тор для оператора .

Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании

подобия возмущенного оператора

в оператор, имеющий матрицу (опера-

торную,

относительно введенной

системы проекторов) блочно-диагональной

−

структуры. Тогда спектральные свойства невозмущенного оператора

и пре-

образованного оператора будут близкими.

вий.

Такое преобразование возможно только в случае выполнения ряда усло-

Определение 2 [8]. Пусть

– линейные операторы.

Тройку

назовем допустимой: →для

невозмущенного оператора

, а –

: →

пространством( , , допустимых)

возмущений, если:

140

1) и – непрерывные операторы, при этом

−

;

(

)

(для)

−

;

> 0

‖

‖ ≤4)

max{‖

‖

, ‖

‖

} ≤

‖

( )

что

‖

(

Для любого

и любого

> 0

существует число

, такое,

−

)

‖ <

Зафиксируем теперь допустимую для оператора

тройку

. Будем искать оператор преобразования

возмущенного

оператора

(

) →

,в оператор)

в виде

−

Имеет место

следующая теорема (см. [5-14]).

−

Теорема 1. Пусть выполнено условие

(1)

Тогда оператор

подобен оператору

где

есть реше-

‖

< 1

ние рассматриваемого в− нелинейного

операторного уравнения

−

(2)

найдено методом итераций, используя в качестве ну-

Это решение может быть =

−

(

) +

левого приближения нулевой оператор. Оператором преобразования оператора

−

в оператор

−

является оператор

Введем

проектор

( ) = ∑| |

Используя

стандартную схему доказательства метода подобных операто-

ров (например, из [9]) можно доказать следующую теорему.

Теорема 2. Существует такое число

≥ 0

, что оператор

−

подобен

оператору

− ( )

(

) −

где

– решение нелинейного уравнения| |

(2).

( ),

Отметим, что в рассматриваемом случае

)

(

где число определим чуть позже| | .

≠

Оператор

→

определяется на операторных блоках

, ,

следующим образом. В качестве

возьмем такой оператор ,

что верно равенство

−, и

в , ≠

,max{ ,

} > .

для всех

(3)

= 0

Так

≠ 0

остальных случаях, и выполнены усло-

∩

вия

как

при

то уравнения (3)

разрешимы,=

, и

, при|

≠

≤ с

141,

≠

max{ , } >

Из асимптотики собственных значений невозмущенного оператора следует, что

≤,

где величина

min

{ , }

имеет порядок

. Следовательно

‖

≤

‖ ‖

Поэтому условие (1) теоремы 1 выполняется при достаточно

большом

и подобие операторов

имеет место.

оценке спектральных проекторов. Из подо-

Перейдем непосредственно к −

−

бия следует, что при

= (

)

(

)

Последнюю

формулу удобно переписать в виде

(4)

алгебра,

( +

)

= ∑

(−1,)то(

правая)

Так как

–

(

−

)(

)

следова-

−

тельно

часть равенства

(4) есть(элемент−

следовательно, и

)

−

. Более того,

)

(

−

(5)

Теорема 3.

Для спектральных проекторов

‖

оператора( )

−

≤ с

‖

≤ с

‖

−

имеет место формула (4) и оценка (5).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 16-01-00197.

Литература

1.Баскаков А.Г. Оценки элементов обратных матриц и спектральный анализ линейных операторов // Изв. РАН. Сер. Матем. 1997. Т. 61, № 6. С. 3-26.

2.Baskakov A.G., Kridhtal I.A. Memory estimation of inverse operators // J. Funct. Anal. 2014. T. 267. P. 2551-2605.

3.Ускова Н.Б. К одному результату Р. Терпера // Матем. заметки 2004. Т. 76, № 6. С.

905-917.

4.Ускова Н.Б. Об оценках спектральных проекторов возмущенных самосопряженных операторов // Сиб. матем. журн. 2000. Т. 41, № 3. С. 712-721.

5.Баскаков А.Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 21, № 1. С. 21-39.

6.Баскаков А.Г. Теорема о расщеплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1986. Т. 50, № 3. С. 135157.

7.Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитических и спектральных операторов // Изв. РАН. Сер. Матем. 1991. Т. 51, № 1. С. 3-32.

8.Баскаков А.Г., Дербушев А.В., Щербаков А.О. Метод подобных операторов в векторном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Сер. Матем. 2014. Т. 75, № 3. С. 3-28.

9.Ускова Н.Б. О спектральных свойствах оператора штурма-лиувилля с матричным потенциалом // Уфимский матем. журн. 2015. Т. 7, № 3. С. 88-99.

10.Ускова Н.Б. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора второго порядка с матричным потенциалом // Дифф. Уравнения. 2016. Т. 52, № 5. С. 579-581.

142

11.Ускова Н.Б. О спектре некоторых классов дифференциальных операторов // Дифф. Уравнения, 1994. Т. 30, № 2. С. 350-352.

12.Ускова Н.Б. Об оценках спектральных разложений собственных векторов некоторых классов дифференциальных операторов // Дифф. Уравнения. 1997. Т. 33, № 4. С. 564566.

13.Поляков Д.М. Спектральные свойства одномерного оператора Шредингера // Вестник ВГУ. Серия: Физика-математика. 2016, № 2. С. 146-152.

14.Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. Спектральный анализ разностных операторов второго порядка с растущим потенциалом // Таврический вестн. информат. и матем. 2015, № 3(28). С. 40-48.

15.Гаркавенко Г.В., Ускова Н.Б. О спектральных свойствах разностного оператора с растущим четным потенциалом // В сборнике: Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. Сборник трудов Международной научно-технической конференции, посвященной 70-летию Победы в Великой Отечественной войне. 2015. С. 14-16.

16.Ускова Н.Б., Гаркавенко Г.В. О собственных значениях одного разностного оператора // В сборнике: Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2015). Сборник трудов VIII международной конференции. 2015. С. 369-371.

17.Гаркавенко Г.В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов // Изв. ВУЗов. Математика. 1994, № 11. С. 14-19.

18.Ускова Н.Б. К одной проблеме Пирси и Шилдса // Изв. Высших учеб. завед. Математика. 1997. № 10. С. 79-81.

19.Шелковой А.Н. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора с нелокальными краевыми условиями // Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. 2016, Вып. 43, № 13. С. 72-80.

ABOUT THE SPECTRAL PROJECTION OF THE OPERATORS WITH PERTURBATIONS WEIGHTING ALGEBRAS

N.B. Uskova, A.N. Shelkovoy

Voronezh State Technical University

The closed selfajoint operator with the perturbation in the subalgebras of algebras bounded operators is considered. It is shown, that spectral projections belong to the same subalgebra

Keywords: linear operator, spectral projections, similar operator method

143

УДК 004.94:519.63

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОТОКА В МЕЗОСКОПИЧЕСКИЕ СВЕРХПРОВОДНИКИ С ПОМОЩЬЮ COMSOL MULTIPHYSICS

А.А. Кудряш, Г.Е. Шунин

Воронежский государственный технический университет vmfmm@mail.ru

В статье приводится способ записи нестационарных уравнений ГинзбургаЛандау в COMSOL Multiphysics в 2D и 3D геометрии. Задача решается для тонкого сверхпроводящего диска, помещённого во внешнее однородное магнитное поле. Приводятся результаты моделирования для 2D геометрии. Приблизительно определено критическое значение модуля вектора магнитной индукции внешнего магнитного поля, при котором наблюдается проникновение поля внутрь диска в виде вихрей

Ключевые слова: сверхпроводимость, конечно-элементный анализ, уравнения Гинзбурга-Ландау

Проблема изучения мезоскопических сверхпроводников в настоящее время получила достаточно широкое распространение, ей посвящено множество статей. Некоторые из них для изучения магнитного поля внутри сверхпроводников используют систему COMSOL Multiphysics. Так, в [1] при помощи COMSOL Multiphysics исследуется проникновение вихрей в сверхпроводник, помещённый во внешнее однородное магнитное поле, с течением времени через границу, а также зарождение на дефектах границы супервихрей – областей нормальной проводимости, и их распространение вглубь сверхпроводника. В [2] продолжается изучение этой проблемы для случая большого значения параметра Гинзбурга-Ландау ( = 50), когда решение задачи с помощью подхода, приведённого в [1], становится проблематичным. Нововведение заключается в использовании периодической шестиугольной единичной ячейки переменного размера, содержащей один квант магнитного потока. В этих статьях задача решалась в двумерной постановке.

В данной статье рассмотрен способ записи нестационарных уравнений Гинзбурга-Ландау в COMSOL Multiphysics в 2D и 3D геометрии с использованием AC/DC интерфейса, а также приводятся результаты решения двумерной задачи при помощи подхода, описанного в [1].

Система уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводника II рода, по-

мещённого во внешнее магнитное поле с индукцией

имеет следующий вид:

− | | ,

−

= −2

+ =

(

− ) −

| |

−

× ×

с граничными условиями2

144

∙ = 0,

(1)

(2)

на поверхности сверхпроводника,

где переменными являются векторный маг-

∙

= 0

(3)

нитный потенциал

и параметр порядка

– комплекснознач-

ная скалярная

волновая функция, физический смысл которой заключается в

том, что величина

обозначает концентрацию сверхпроводящих электронов

в теле. В этих уравнениях| |

ћ – постоянная Планка, делённая на ,

= 2

– соответственно масса и заряд куперовской пары

электронов, – фе-

= 2

номенологический коэффициент диффузии,

– феноменологические коэф-

фициенты, – проводимость материала в нормальном состоянии,

– магнит-

ная проницаемость вакуума,

– мнимая единица,

– электростатический по-

тенциал. Поскольку решение данной системы обладает инвариантностью к ка-

либровочным преобразованиям вида

+ ,

может,

−

где

– параметр Гинзбурга-Ландау, то функция

быть выбрана

таким образом, что

. Обозначая действительную часть

как

а мни-

мую – как

разделяя первое уравнение системы на действительную и

, а также = 0

∂

мнимую части, будем иметь:

∂

+ћ

−

(

),(4)

∂

−

∂

− 2

−ћ

−

(

),(5)

(

−

) −

( +

) −

× × .

(6)

Граничное условие (3) после калибровки путём интегрирования может

быть записано в виде:

∙

= 0.

(7)

Подставляя его граничное условие (1) и разделяя его на действительную и мнимую части, будем иметь:

145

∙ = 0,

(8)

∙ = 0.

При решении этой системы в COMSOL Multiphysics необходимо использовать интерфейс Magnetic Fields в модуле AC/DC для задания системы уравнений (6), а также интерфейс PDE, General Form для записи уравнений (4), (5).

Основное уравнение в интерфейсе Magnetic Fields – закон Ампера – имеет следующий вид:

где	– относительная			магнитная проницаемость материала,			– плотность
				+ ×	×	= ,
внешнего тока.
	Таким образом, для записи (6) в интерфейсе Magnetic Fields надо поло-
жить	= 1, =	ћ	(	− ) −	(	+ ). Граничное условие (2) в

данном интерфейсе задаётся при помощи условия Magnetic Field, имеющего вид:

где надо положить

Система

дифференциальных уравнений в частных производных в ин-

терфейсе PDE, General Form имеет следующий вид:

где

(

) и

(

) –

матрицы из коэффициентов при нестационарных

×(

+ ∙

членах,

) –

векторная функция-решение,

– тензор второго ранга – ка-

– правая часть

ждая из

его компонент представляет собой вектор (

×1

области используется ус-

(вектор (

)). По умолчанию на границе расчётной

3×1

ловие

Неймана:

×1

где

– вектор-функция

размерности (

−

∙

будет

В данной задаче размерность

смысл введения переменной

×1(

объяснён позже), матрица

– нулевая=, у3

матрицы

два ненулевых элемента –

2ћ

= −

,−

, = −

,−

−

(

146

−2

−

+ +

−

При таких

можно+

добиться+ +удовлетворения− ( +условий).

(8), положив

== 0. Для выполнения условия (7) используется приём [1], заключаю-

щийся во

введении

дополнительной

переменной

, которой соответствует

уравнение:

∙ =

, ,

будет

так, что

. В этом случае условие (7)

удовлетворяться, если положить

такой вид уравнений не применяется

В ходе численного моделирования = 0

ввиду больших различий (на несколько порядков) величин параметра порядка и векторного потенциала, что приводит к плохой сходимости задачи. Во избежание этих трудностей перед началом моделирования система уравнений Гинз- бурга-Ландау приводится к безразмерному виду. Существует два основных

способа перехода к безразмерным пространственным координатам:

ля=в

, =

, где

– Лондоновская глубина проникновения

магнитного по-

сверхпроводник, и

, где

– длина когерентности. В

данной работе

используется первый подход. Формулы перехода для остальных

переменных, участвующих в уравнениях, имеют вид:

, =

Подставляя формулы перехода в уравнения (4) – (6) и для простоты опуская штрихи при безразмерных переменных, будем иметь:

∂

−

∂

−

(

−

(

−

(

) − ( + ) − × × .

147

Коэффициенты в уравнениях в интерфейсе PDE, General Form запишутся следующим образом:

== 1,

= −

,−

= −

,−

(

−

= −

−

(

−

)

В уравнениях интерфейса Magnetic Fields надо положить:

=	1	, = 1, =		1	( − ) − ( + ) .

Вид граничных условий при подобных преобразованиях не меняется. При решении двумерной задачи становится возможным обойтись без ис-

пользования интерфейса Magnetic Fields, поскольку граничное условие (2) при условии, что внешнее поле направлено перпендикулярно плоскости сверхпроводника, можно реализовать, модифицируя компоненты тензора , соответствующие компонентам векторного потенциала, как это было сделано в [1].

Полная система уравнений Гинзбурга-Ландау в двумерном случае будет иметь следующий вид:

∂

−

+ − ( + ),

∂

−

+ − ( + ),

= 1( − ) − ( + ) − × × ,

где = , , а также граничные условия (2), (7), (8).

148

Для удовлетворения условия равенства нулю нормальной компоненты магнитного потенциала, как и прежде, вводится дополнительная переменная , которой соответствует уравнение:

∙

+ .

Коэффициенты в интерфейсе PDE, General Form примут следующий вид:

= 1,

= −

,−

= −

,−

= 0,

−

= −

+ ,0 ,

= ,

−

(

= −

−

(

−

(

−

(

+ .

Таким

образом,

граничное условие интерфейса PDE, General Form,

− ∙

= 0, описывает

все

граничные условия, приведённые выше: условия

= 0

в точности повторяют условия (8), (7); а

− ∙

= 0,− ∙

из условий

−

∙

= 0,− ∙

= 0

непосредственно получается условие (2).

Приводятся результаты моделирования параметра порядка внутри круга радиуса 5. Как было показано в [1], при определённом значении модуля вектора магнитной индукции происходит изменение характера проникновения магнитного поля в сверхпроводник – при значении 0.8 поле проникает только через дефект границы, тогда как при значении 0.9 проникновение осуществляется уже через всю границу. Как показывают результаты, для случая, когда на границе нет дефектов, ситуация повторяется. Когда значение модуля вектора магнитной индукции составляет 0.8, поле внутрь не проникает, тогда как при значении 0.9 можно наблюдать проникновение поля в круг в виде вихрей (рис. 1, 2).

149

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1615 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202210.74 Mб03688.pdf
#
15.11.202210.75 Mб13689.pdf
#
15.11.202210.98 Mб03693.pdf
#
15.11.202211.2 Mб03699.pdf
#
15.11.202211.28 Mб03701.pdf
#
15.11.202211.31 Mб03702.pdf
#
15.11.202211.37 Mб93703.pdf
#
15.11.202211.39 Mб203705.pdf
#
15.11.202211.64 Mб33707.pdf
#
15.11.202211.65 Mб03708.pdf
#
15.11.202211.65 Mб13709.pdf