3365

Эти результаты могут быть проверены путем использования условий равновесия фермы:

Ryi 683 866 183 0.

i1

4.2.Дискретное моделирование разъемного соединения секций трубопровода с вакуумной изоляцией

для транспортировки криогенных продуктов

Длительно работающие трубопроводы для жидкого кислорода снабжают вакуумными видами изоляции. Трубопроводы с вакуумной изоляцией изготавливают в виде отдельных секций со своими вакуумными камерами. Для соединения секций трубопровода в конструкциях, где при разъеме возможно осевое перемещение, широко используется разъемное соединение, изображенное на рис. 4.4. Оно позволяет свести к минимуму приток тепла по металлу на концах секции, поддерживая уплотнение при температуре окружающей среды.

Проблема заключается в необходимости детального исследования напряженно-деформированного состояния конструкции соединения, обеспечивающей достаточную герметичность стыка. Использование аналитических методов не представляется возможным из-за сложности расчетной модели и характера нагружения конструкции.

Проектирование конструкции на современном уровне предусматривает использование численных методов исследования, среди которых наиболее развит метод конечных элементов.

Постановка задачи предусматривает исследование на- пряженно-деформированного состояния пространственной ли- нейно-упругой конструкции разъемного соединения секций трубопровода, статически нагруженной силами внешнего атмосферного давления, силами от давления транспортируемого

83

продукта и силами, возникающими от затяжки болтов фланцевого соединения.

Рис. 4.4. Конструктивная схема соединения

При построении конечно-элементной модели использованы объемные элементы в форме призмы с треугольным основанием, пластинчатые элементы треугольной и четырехугольной формы с узлами в вершинах. Узел объемного элемента имеет 3 степени свободы: линейные перемещения вдоль осей глобальной системы координат. Каждый узел пластинчатого элемента имеет 3 линейные степени свободы вдоль трех осей локальной системы отсчета и трех угловых степеней, соответствующих поворотам вокруг этих осей. Пластинчатый элемент испытывает суперпозицию плоского напряженного состояния и изгиба.

84

4.2.1. Конечные элементы, используемые для моделирования конструкции разъемного соединения трубопровода

4.2.1.1. Объемный элемент в форме прямой треугольной призмы (пентаэдр)

Рассматриваемый элемент (рис. 4.5) представляет собой прямую треугольную призму. Целесообразность применения такого рода элементов связана с тем, что:

многие детали имеют призматическую (цилиндрическую) форму или частично состоят из призматических подобластей;

при аппроксимации пентаэдрами подобных трехмерных областей существенно упрощается проблема автоматизи-

рованной подготовки данных, возникающая, в частности, в

случае использования тетраэдров.

Рис. 4.5. Объемный элемент в форме прямой треугольной призмы:

а– геометрия, узлы и узловые перемещения;

б– расположение точек численного интегрирования

Простейший, первого порядка, пентаэдр (рис. 4.5) имеет узлы i, j, k, l, m, n, расположенные только в вершинах. Особенностью описываемого пентаэдра является то, что его нижнее и верхнее

основания параллельны плоскости xOy, а боковые ребра – оси z.

Принятый порядок локальной нумерации узлов указан на рис. 4.5: последовательность обхода узлов i, j, k нижнего треугольного основания принимается против хода часовой стрелки,

85

если смотреть со стороны верхнего основания, а узлы l, m, n располагаются соответственно над узлами i, j, k.

Функции форм прямого пентаэдра образуются путем умножения функции, интерполирующей перемещения точек в плоскости треугольного основания, на функцию, интерполирующую по третьей координате. Перемещения точек основания в его плоскости описываются с помощью L-координат, а для третьей координаты z применяется линейная интерполяция с применением функций

в которых индекс i обозначает номер узла, а безразмерная координата ( z zc ) / h отсчитывается от точки C, в данном случае – от центра тяжести объема пентаэдра.

В рассматриваемом случае L-координаты имеют вид

и остальные коэффициенты в (4.29) получаются циклической перестановкой индексов.

Функции форм прямого пентаэдра определяются как произведения функций (4.28) и (4.29):

Интегрирование, предусмотренное для вычисления компонентов матрицы жесткости, может быть выполнено точно, однако с учетом общего численного характера конечноэлементного моделирования используется более простое и целесообразное в данном случае численное интегрирование.

86

Применяются квадратурные формулы типа Гаусса при расположении точек интегрирования в значениях весовых коэффициентов. Соответственно принятым функциям форм прямого пентаэдра интегрирование выполняется при расположении трех точек в каждом из двух сечений (рис. 4.5).

4.2.2. Пластинчатый элемент треугольной формы

Рассматриваемый элемент (рис. 4.6) применяется для моделирования тонких упругих пластин, находящихся в состоянии суперпозиции изгибного и плоского напряженного (мембранного) состояний. В последнем варианте такого рода элементы эффективно применяются для аппроксимации оболочек как совокупности плоских элементов.

Рис. 4.6 Пластинчатый элемент в форме произвольного треугольника:

нумерация узлов и обозначения узловых перемещений

вмембранном (а), изгибном (б) состояниях

ипри их суперпозиции (в)

Узлы элемента i, j, k располагаются только в углах и нумеруются против хода часовой стрелки, если смотреть на пластинку с «лицевой» стороны.

Локальная матрица жесткости такого элемента при суперпозиции мембранного и изгибного состояний имеет блочную структуру из подматриц.

Изгибное состояние элемента описывается путем аппроксимации функции прогибов полиномом в L-координатах с девятью неопределенными коэффициентами 1, , 9 , число ко-

87

торых соответствует числу степеней свободы изгибаемого треугольного элемента. С учетом выбранного положительного направления узловых перемещений (рис. 4.6, б) функции формы, соответствующие первому узлу, имеют вид:

Функции форм для остальных узлов получаются циклической перестановкой индексов i j k.

На основе исходных зависимостей технической теории изгиба тонких упругих пластин для компонентов относительных деформаций

Матрица жесткости в изгибном состоянии вычисляется с помощью численного интегрирования по формуле, дающей точный результат:

Матрица упругости DИизгибаемой пластины выражается через матрицу [D] в мембранном состоянии формулой