2979
.pdf
|
a11 |
a12 |
a1 j |
a1n |
|
a11 |
a12 |
a1 j |
a1n |
|
a21 |
a22 |
a2 j |
a2n |
|
a21 |
a22 |
a2 j |
a2n |
|
a' |
a' |
a' |
a' |
|
a" |
a" |
a" |
a" |
|
|
||||||||
|
i1 |
i2 |
ij |
in |
|
i1 |
i2 |
ij |
in |
|
an1 |
an2 |
anj |
ann |
|
an1 |
an2 |
anj |
ann |
или
a11 a12
a21 a22
ai1 ai2
an1 an2
a11 a12
a21 a22
ai1 ai2
an1 an2
a1' j a1" j a2' j a2" j
aij' aij"
anj' anj"
a1' j a1n a2' j a2n
aij' ain
anj' ann
|
|
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ain |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a" |
a |
|
||||
|
|
||||||||
|
11 |
12 |
1 j |
|
1n |
|
|||
|
a |
21 |
a |
22 |
a" |
a |
2n |
|
|
|
|
|
|
2 j |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a" |
|
|
, |
|
a |
a |
a |
|
|||||
|
|
i1 |
|
|
i2 |
ij |
|
in |
|
|
a |
n1 |
a |
n2 |
a" |
a |
|
||
|
|
|
|
nj |
|
nn |
|
7.Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число
8.detA= detAТ.
31
9. Определители треугольных и диагональной матриц равны произведению элементов главной диагонали.
Теорема Лапласа и использование свойств определителя лежат в основе так называемого метода накопления нулей вычисления определителя.
Пример. Вычислим определитель
|
3 |
5 |
7 |
2 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
. |
|
2 |
3 |
3 |
2 |
|
|
1 |
3 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Для этого из первой строки вычтем вторую, умноженную на 3 и запишем результат на место первой строки. К третьей строке прибавим вторую, умноженную на два и запишем вместо третьей строки. Из четвертой строки вычтем вторую и результат пишем на месте четвёртой строки:
|
1 |
2 |
10 |
|
|
1 |
2 |
10 |
|
1 |
2 |
10 |
|
1 |
2 |
1 |
|
||
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 1 2 1 |
|
1 |
9 |
10 |
|
1 |
9 |
10 |
10 |
1 |
9 |
1 |
. |
||||||
0 |
1 |
9 |
10 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
0 |
|
1 |
2 |
0 |
|
1 |
2 |
0 |
|
|||||
0 |
1 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последнем определителе из второго столбца вычтем первый, умноженный на два и запишем результат на месте второго.
10 |
1 |
0 |
1 |
70 |
1 |
0 |
1 |
70 1 1 |
3 1 |
|
|
0 |
1 |
|
70 |
1 2 |
1 70. |
|
|
||||||||||||||||
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
1 1 |
||||||||||||
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
3.Действия над матрицами
3.1.Линейные операции над матрицами
Произведением матрицы Am×n на число λ называется матрица
Bm×n=λA, элементы которой bij=λaij, i 1, m, j 1, n.
1 |
2 |
1 3 |
2 3 |
3 |
6 |
||||
Пример. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
4 |
5 |
|
|
4 |
3 |
5 3 |
12 15 |
Матрица λI называется скалярной матрицей.
Суммой двух матриц A и B одинакового размера m×n называется матрица Cm×n=A+B, элементы которой cij=aij+bij,
i 1, m, j 1, n.
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
3 |
4 |
|
0 |
6 |
7 |
|
2 0 |
3 6 |
4 7 |
|
||||
|
5 |
8 |
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
1 9 |
5 5 |
8 2 |
|
|
1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
9 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разность двух матриц одинакового размера m×n определяется через предыдущие операции: A-B= A+(-1)B.
Пример.
3 |
2 |
1 |
3 |
3 |
2 |
1 |
3 |
2 |
1 |
||||||||
|
5 |
4 |
|
|
9 |
|
|
5 |
4 |
|
|
9 |
|
|
4 |
4 |
. |
|
|
|
8 |
|
|
|
8 |
|
|
Свойства операций сложения матриц и произведения матрицы на число.
Пусть A, B и C – матрицы, имеющие одинаковые размеры,, R. Тогда:
1.A+B=B+A;
2.(A+B)+С=A+(B+С);
3.(A+B)= A+ B;
4.(+)A= A+ A;
33
5.( )A= ( A)= ( A);
6.A+ =A;
7.det( A)=ndetA, A – матрица размера n×n, R.
Свойства операции транспонирования матриц.
1.(AТ)Т=A;
2.(A+B)Т=AТ+BТ;
3.( A)Т= AТ, R.
3.2. Умножение матриц
Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов матрицы A равно числу строк B (условие сцепления). В этом случае матрица A называется согласованной с матрицей B.
Произведением матриц A размера m×n и B размера n×k
называется матрица C, элементы которой cij равны скалярным
произведениям векторов-строк ai матрицы A на векторы-
столбцы b j матрицы B:
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
C AB |
cij |
, cij |
ai |
|
b j |
aiscsj, i |
1, m, j 1, k. |
|||
|
|
|
|
|
|
s 1 |
Матрица C имеет размер m×k.
|
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. A |
0 |
2 |
3 ; B |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
A3×3B3×2=C3×2= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 |
3 |
||||||||||
|
0 0 2 1 3 2 |
|
0 1 2 1 3 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
8 |
|||||||
|
1 0 4 1 1 2 |
|
1 1 4 1 1 |
2 |
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
4
4 .
3
34
|
|
|
|
Свойства произведения матриц. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Произведение вектора-строки A1 n |
a1 j |
, |
j 1, n, на |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
матрицу Bn m |
bjk |
|
, j 1, n, k 1, m, есть вектор-строка |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||
C1 m |
c1k |
, где c1k |
a1sbsk , k |
1, m |
. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
3 |
5 |
1 2 2 3 1 3 2 4 1 5 2 0 |
|||||||||||||
1 2 1 2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
3 |
4 |
0 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 11 |
|
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Произведение матрицы Am n aij , i 1, m, j 1, n, на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
вектор-столбец Bn 1 |
|
|
bj1 |
|
, j 1, n, |
есть вектор- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
столбец Cm 1 |
|
ci1 |
|
, |
где ci1 aisbs1, i |
1, m |
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
||
2 |
3 |
7 |
|
|
2 7 38 |
|
|
38 |
|||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
4 |
5 2 2 |
|
8 |
2 1 |
|
4 7 5 8 |
|
68 |
3.Произведение вектора-столбца Am 1 ai1 , i 1, m, на вектор-строку B1 n b1 j , j 1, n, есть матрица
35
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
a21 |
b b |
|
b |
|
|
||||||||
|
|
|
|
m n |
|
|
|
11 |
12 |
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a11b11 |
a11b12 |
|
a11b1n |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
b |
a |
b |
|
a b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
21 |
11 |
|
21 12 |
|
21 1n |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am1b12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
am1b11 |
|
am1b1n |
|
|
|
|
|||||||
Пример. Вычислим произведение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 0 |
2 5 |
2 4 |
|
0 10 |
8 |
|||||||
|
1 |
|
0 5 |
4 |
|
|
1 0 1 5 |
1 4 |
|
|
|
0 5 |
4 |
. |
|||
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 0 |
3 5 |
3 4 |
|
|
|
0 15 |
12 |
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Произведение вектора- |
строки A1 n |
|
|
a1 j |
|
, j 1, n, на |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вектор-столбец |
|
Bn 1 |
|
bj1 |
|
, j 1, n, есть |
число (или |
||||||||||
матрица размера 1×1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ci1 a1sbs1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. 1 2 1 2 |
3 |
|
1 |
2 2 |
3 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Пусть A, B, θ, I, C – матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены). Тогда:
а) (AB)C=A(BC); |
д) AI=A; |
б) (A+B)C=AB+BC; |
е) IA=A; |
в) A(B+C)=AB+AC; |
ж) θA=θ; |
г) α(AB)= (αA)B; |
з) Aθ=θ. |
6.Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. AB BA . Для квадратных матриц A и B одного по-
36
рядка матрица [A,B]= AB -BA называется коммутато-
ром матриц A и B.
7.Существуют делители нулевой матрицы, т.е. из AB=θ и
A B и из AB=θ и B A .
8.В общем случае из того, что AB=AC и A , I B C.
9.Транспонирование произведения. Пусть
Am n aij , i 1, m, j 1, n; Bn k bjl , j 1, n, l 1, k. То-
гда (AB)Т= BТAТ; AТ , BТ - условие сцепления выполня-
n m k n
ется только для BТAТ.
10. Определитель произведения квадратных матриц одного порядка
det AB det A det B.
Возведение матриц в натуральную степень.
Натуральной степенью An , n N, квадратной матрицы A
называется произведение n матриц, равных A, то есть
A A A |
A. |
n раз |
|
Свойства операции возведения в натуральную степень. 1. Am Ak Am k ; 2. Am k Amk , k, m N.
Матрица A называется нильпотентной, если Am для некоторого m N. Наименьшее из чисел m, для которых имеет место это равенство, называется индексом нильпотентности. Матрица A называется идемпотентной, если A2=A. Матрица A называется инволютивной, если A2=I.
3.3. Многочлены от матриц
Пусть даны квадратная матрица Am m и многочлен
f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, ai R, i 0, n, a0 0.
Значением многочлена f(x) при x=A или многочленом f(A) от матрицы A называется матрица
f(A)= a0An+a1An-1+…+an-1A+anI,
37
где I – единичная матрица порядка m. Порядок матрицы f(A) совпадает с порядком матрицы A.
Если f(A)=θ, то многочлен f(x) называется аннулирую-
щим многочленом матрицы A, а сама матрица A – корнем многочлена f(x).
Пример. |
|
1 |
2 |
|
; |
f x x2 2x 3. |
A |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
f A |
1 |
|
|
2 2 |
|
|
1 2 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 1 |
|
|
|
0 |
|
|
||||
|
1 |
2 1 2 |
|
|
2 4 |
|
|
3 |
0 |
|
||||||||
|
1 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
2 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
1 |
4 |
|
|
1 |
4 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
A – корень f(x), f(x) – аннулирующий многочлен для матрицы A.
3.4. Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица A называется вырожден-
ной (невырожденной), если det A 0 det A 0 .
Определение. Матрица Bn n Cn n называется правой (ле-
вой) обратной матрице An n , если AB=I (CA=I).
Теорема. Если для матрицы An n существуют левая обрат-
ная матрица C и правая обратная матрица B, то C=B.
Доказательство.
C=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B, ч.т.д.
Определение. Матрица A-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении матрицы A-1 на данную матрицу A как справа, так и слева, получается единичная матрица: A-1A=AA-1=I.
38
Понятие о необходимом и достаточном условиях.
Любую теорему можно записать в виде: A B, где A
– условие теоремы, а B – её заключение. Высказывание B называется необходимым условием для A, а высказывание A –
достаточным условием для B.
Если высказывания A и B таковы, что A B и
B A (каждое следует из другого), то говорят, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным усло-
вием другого и пишут A B.
Необходимое и достаточное условие существования и единственности обратной матрицы.
Теорема. Обратная матрица A-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.
Пример. Вычислить для матрицы A матрицу A-1, пользуясь определением обратной матрицы.
3 |
5 |
|
|
A |
4 |
6 |
. |
|
|
Решение. detA=18-20=-2 A 1. Пусть
A 1 |
x |
11 |
|
x |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Тогда, по определению обратной матри- |
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x21 |
|
22 |
|
|
|
|
|||
цы, AA-1=I. |
|
3 |
5 |
x |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
11 |
12 |
|
||||
|
|
|
|
4 |
6 |
x21 |
x22 |
|
|
3x11 5x21 |
3x12 5x22 |
|
1 |
0 |
||||||
|
4x |
6x |
4x 6x |
|
|
|
0 |
1 |
. |
|
|
22 |
|
|
|
||||||
11 |
21 |
12 |
|
|
Следовательно,
39
3x11 5x21 |
1 |
|
4 |
3x12 |
5x22 |
0 |
|
|
4 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4x |
6x |
|
0 |
|
3 |
4x |
6x |
|
1 |
|
3 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
11 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x21 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x22 3 |
|
|||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
12 |
3 |
|
|
|
|
|
x |
15 |
|
|
5 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
11 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
6 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получили, что |
A 1 |
|
|
|
2 |
|
. Проверим выполнение усло- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вия A-1A=I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
0 |
I. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
6 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||
Итак, A-1A=AA-1=I A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства обратной матрицы.
Если det A 0 , то:
1.(A-1)-1=A;
2.(A-1)T=(AT)-1;
3.(AB)-1=B-1A-1;
4. |
det A 1 |
|
1 |
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|||||
|
|
|
|
det A |
||
|
1 |
A 1 |
n |
|||
5. |
An |
, n N; |
40