2979

С каждой точкой M(x,y) комплексной плоскости связан ради- ус-вектор этой точки OM , длина которого

x2 y2 называется модулем комплексного числа z.

Угол φ, образованный радиус-вектором OM с положительным направлением оси абсцисс, называется аргументом ком-

плексного числа z.

Arg z arctg xy

(определён неоднозначно с точностью до 2 k, k Z ).

Если z=0 , то z 0 , но угол φ не определён. Если дополни-

тельно сделать ограничение 0 2 , то угол φ определяется однозначно и обозначается символом arg z.

Число z x iy называется комплексно-сопряжённым ком-

плексному числу z=x+iy . Заметим, что произведение

z z = 2 (действительное число) (см. задачу ниже). Множество всех комплексных чисел обозначается C.

Связь между числовыми множествами:

N Z Q R C.

Арифметические операции над комплексными числами.

Пусть даны комплексные числа z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2. Тогда их сумма (разность) определяется как

z1± z2 x1 x2 i y1 y2 .

Произведение определяется следующим образом:

z1 z2 x1x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 .

Действительно,

z1 z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 i x1y2 x2 y1 i2 y1y2.

Так как i2 1, получаем искомую формулу.

11

3. Показательная (экспоненциальная) z ei .

Связь между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями выражается с помощью формул Эйлера:

ei cos i sin , e i cos i sin

Возведение комплексного числа в натуральную степень n.

zn ei n

мула Муавра).

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа.

Корень n-ой степени из не равного нулю комплексного числа имеет n различных значений, которые геометрически являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в

окружность с центром в нуле и радиусом nz .

Запишем число –i в тригонометрической форме:

По формуле извлечения корня из комплексного числа, имеем:

13

2. Алгебра многочленов

Определение. Многочленом степени n с действительными коэффициентами ai R, i 0, n, a0 0, называется выражение вида:

n

akxn k a0xn a1xn 1 an 1x an . k 0

Два многочлена равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях x.

Число x= называется корнем многочлена Pn(x), если Pn( )=0.

Теорема. Пусть An(x) и Bm(x) – многочлены от x, n, m N, n>m. Тогда существуют такие многочлены Qn-m(x) и Rk(x),

что

An(x)= Bm(x) Qn-m(x) + Rk(x),

причём k<m. При этом под многочленом нулевой степени R0(x) понимается действительное число.

Многочлены Qn-m(x) и Rk(x), обладающие этими свойствами, называются соответственно неполным частным (или частным, если Rk(x)=0) и остатком при делении An(x) на

Bm(x).

Пример. Разделим многочлен A4(x)=2x4-3x3+2x-8 на многочлен B1(x)=x-2 уголком (см. рис. 5.)

Рис.5. Деление многочлена на многочлен уголком

15

Получили частное Q3(x)= 2x3+x2+2x+6 и остаток R0(x)=4. Таким образом, получили разложение

2x4-3x3+2x-8=(x-2)(2x3+x2+2x+6)+4.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Pn(x) на двучлен x- равен Pn( ).

Следствие. Число является корнем многочлена Pn(x) тогда

и только тогда, когда Pn(x) делится без остатка на x-.

Для нашего примера A4(2)=2 16-3 8+2 2-8=4=R0(x) –

остаток.

Теорема. Если многочлен с целыми коэффициентами

ется делителем свободного члена an, а q является делителем коэффициента при старшем члене a0.

Определение. Если многочлен Pn(z) степени n N с действительными коэффициентами ai R, i 0, n, a0 0,

делится на (z-z0)k, k N , и не делится на (z-z0)k+1, то число k называется кратностью корня z0 многочлена Pn(z).

Теорема. Если комплексное число z0 является корнем кратности k многочлена Pn(z) с действительными коэффициента-

ми, то и сопряжённое ему число z0 также является корнем

кратности k этого многочлена.

Основная теорема алгебры. Каждый многочлен степени n N имеет в точности n корней, вообще говоря, комплексных, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Вопросы для повторения.

1.Множество, его элементы. Конечное и бесконечное множества. Примеры множеств. Пустое множество.

2.Подмножества и их свойства.

16

3.Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Венна. Упорядоченное множество.

4.Числовые множества. Построение действительных чисел.

5.Подмножества множества действительных чисел. Свойство Архимеда и следствие из него.

6.Числовые промежутки. Кванторы. Ограниченность множеств.

7.Комплексные числа. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Множество комплексных чисел. Связь между числовыми множествами.

8.Арифметические операции на множестве комплексных чисел. Формы представления комплексных чисел. Ком- плексно-сопряжённые числа. Формулы Эйлера и Муавра. Извлечение арифметического корня из комплексного числа.

9.Многочлен, его корни. Равенство многочленов.

10.Деление многочленов. Теорема Безу и следствие из неё. Теорема о рациональном корне многочлена с целыми коэффициентами. Кратность корня многочлена. Основная теорема алгебры.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Множество А состоит из юношей данной группы, а В – из девушек той же группы. Найти А В, А В, А\В. Рассмотреть также случаи, когда А или В – пустые множества.

2.Пусть А={2n}, B={2n+1}. Найти А В, А В, А\В (nN).

3.Даны множества А=[2,5], B=(3,6). Найти А В, А В, А\В.

4.Пусть Q – множество рациональных чисел, а I - множество иррациональных чисел. Найти Q I, Q I, Q\I.

5.Вычислите:

17

8.Представьте в тригонометрической форме следующие

числа: 1; -1; 1+i; 1-i; 1 3i; 3 i; 2+7i; -cos +isin ; sin-icos ; tg-I, R.

9.Представьте в алгебраической форме числа z, такие, что:

а) z3=-i; б) z6=-i; в) z3=-2-2i; г) z4=-1- i 3.

18

ченная совокупность элементов a1n, a2,n-1, , an1 – побочной диагональю. Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы A называется следом (шпуром) матрицы A:

n

trA SpA aii .

i 1

Верхняя треугольная матрица – матрица, у которой элемен-

ты aij=0 при i>j, i, j 1, n.

Нижняя треугольная матрица – матрица, у которой элемен-

ты aij=0 при i<j, i, j 1, n.

Диагональная матрица - матрица, элементы которой удовлетворяют условию: