2979

i 1

Лемма 1. Если X – некоторый опорный план исходной задачи (9)-(11), а Y – произвольный план двойственной задачи (12)-(13), то значение целевой функции исходной задачи на плане X всегда не превосходит значения целевой функции на плане Y, т.е.

F(X ) F * (Y ).

Лемма 2. Если F(X *) F * (Y*) для некоторых планов

X* и Y* задач (9)-(11), то X* - оптимальный план исходной задачи, а Y* - оптимальный план двойственной задачи.

Теоремы двойственности.

Теорема 1. Если одна из пары двойственных задач (9)- (11) или (12)-(13) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т.е. Fmax F *min .

Если же целевая функция одной из пары двойственных задач не ограничена (для исходной задачи (9)-(11) – сверху, для двойственной (12)-(13) – снизу), то другая задача вообще не имеет планов.

ными планами этих задач тогда и только тогда, когда j 1, n выполняется равенство

Геометрическая интерпретация двойственных за-

дач.

Если число переменных в прямой и двойственной задачах, образующих данную пару, равно двум, то, используя геометрическую интерпретацию ЗЛП, можно легко найти

141

решение данной пары задач. При этом имеет место один из следующих трёх взаимно исключающих друг друга случаев:

1)обе задачи имеют планы;

2)планы имеет только одна задача;

3)для каждой задачи двойственной пары множество планов пусто.

Пример.

Для задачи: F 2x1 7x2 max

x1 , x2 0

составить двойственную задачу и найти решение обеих задач.

Решение.

Двойственная задача имеет вид:

y1 , y2 0

Как в исходной, так и в двойственной задаче, число неизвестных равно двум. Следовательно, их решение можно найти, используя геометрическую интерпретацию ЗЛП.

Как видно из представленных ниже рисунков, максимальное значение целевая функция исходной задачи принимает в точке В(2;6). Следовательно, X*=(2;6) является оптимальным планом, при котором Fmax 2 2 7 6 46 .

Минимальное значение целевая функция двойственной задачи принимает в точке D(1;4). Значит, Y*=(1;4) является оптимальным планом двойственной задачи, при котором

Fmin* 14 1 8 4 46.

142

ходит 46, а значение целевой функции двойственной задачи при любом её плане не меньше 46.

Таким образом, при любом плане исходной задачи значение целевой функции не превосходит значения целевой функции двойственной задачи при её произвольном плане.

Соответствие между первоначальными переменными одной из двойственных задач и дополнительными переменными другой задачи.

С помощью теорем двойственности можно, решив симплекс-методом исходную задачу, найти оптимум целевой функции и оптимальное решение двойственной задачи.

Если среди векторов P1 , P2 , ..., Pn , составленных из ко-

эффициентов при неизвестных в системе уравнений (10), имеется m единичных, то компоненты оптимального плана двойственной задачи совпадают с соответствующими элементами (m+1)-ой строки столбцов единичных векторов в последней симплекс-таблице, если данный коэффициент c j 0 ,

и равны сумме соответствующего элемента этой строки и c j , если c j 0 .

Переменные исходной задачи

Дополнительные Первоначальные

Переменные двойственной задачи

Если пара двойственных задач симметричная, т.е. система ограничений исходной задачи содержит неравенства

144

вида ≤, то компоненты оптимального плана двойственной задачи совпадают с соответствующими числами (m+1)-ой строки последней симплекс-таблицы решения исходной задачи.

Указанные числа стоят в столбцах векторов, соответствующих дополнительным переменным.

Пример. Для ЗЛП:

F x1 x2 max

x1 , x2 0

составить двойственную задачу и найти решения обеих задач симплекс-методом.

Решение.

Запишем исходную ЗЛП в каноническом виде.

Двойственная ЗЛП:

F* 2y1 2y2 5y3 min

Решим исходную ЗЛП симплекс-методом.

145

план двойственной задачи, установим соответствие между основными и дополнительными (базисными) переменными прямой и двойственной задач.

таблицы в столбце векторов P3 , P4 , P5 , образующих единичный базис исходной ЗЛП.

Y*= (0, 2/3, 1/3); F *min 2 0 2 23 5 13 3 Fmax .

146

5. Транспортная задача (ТЗ)

Имеются m пунктов отправления (поставщиков) грузов А1, А2 , ..., Аm , на которых сосредоточены запасы какого-

возможные размеры поставок груза с пунктов отправления.

m

Суммарный запас груза у поставщиков составляет ai .

i 1

Кроме того, имеется n пунктов назначения B1 , B2 , ..., Bn , которые подали заявки на грузы соответственно

n

b1 , b2 , ..., bn . Суммарная величина заявок составляет bj .

j 1

Стоимость перевозки одной единицы груза от поставщика Ai к потребителю B j обозначим через сij (транспорт-

ный тариф), через xij – количество единиц груза, перевозимого от поставщика Ai к потребителю B j .

Необходимо составить оптимальный план, т.е. найти такие значения объёмов перевозок грузов xij , i 1, m ,

j 1, n , от поставщиков Ai к потребителям B j , чтобы вывез-

ти все грузы от поставщиков, удовлетворить заявки каждого потребителя, обеспечить минимальные транспортные расходы на перевозку груза.

Все исходные данные ТЗ можно записать в виде таблицы, которая называется транспортной.

147

Методы определения опорного плана ТЗ.

Метод северо-западного направления (северозападного угла).

На каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначения. Заполнение клеток условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного x11 (северо-западный угол) и

заканчивается для неизвестного xmn , т.е. идёт как бы по диагонали таблицы с северо-запада на юго-восток.

Пример. На 3 базы A1, A2 , A3 поступил однородный

груз в количествах, соответственно равных 140, 180, 160 единиц. Этот груз требуется перевезти в 5 пунктов назначения B1, B2 , B3 , B4 , B5 соответственно в количествах 60, 70, 120,

130 и 100 единиц. Тарифы перевозок единицы груза с каждого из пунктов отправления в соответствующие пункты назначения указаны в таблице.

Найти план перевозок ТЗ методом северо-западного направления.

Решение.

Здесь число пунктов отправления m=3, а число пунктов назначения n=5. Следовательно, опорный план задачи

150