2979

При этом плане перевозок общие затраты составляют:

S 60 2 80 2 70 4 601 50 4 60 3 100 2 1200

(тарифы перевозок берутся исходными).

Вопросы для повторения.

1.Линейное программирование. Математическая модель.

2.Общая задача линейного программирования. Управляющие переменные. Целевая функция. Решение задачи линейного программирования.

3.Основная (каноническая) задача линейного программирования. Допустимое решение. Область допустимых решений. Оптимальное решение задачи линейного программирования.

4.Графический метод решения задачи линейного программирования.

5.Симплекс-метод решения задачи линейного программирования, его геометрический смысл. Правила перехода к

171

канонической форме. Стандартная форма задачи линейного программирования. Опорный план задачи линейного программирования, признак его оптимальности. Вырожденный и невырожденный план.

6.Устройство симплекс-таблицы. Разрешающий элемент, разрешающие строка и столбец. Правила перехода к новой симплекс-таблице.

7.Правила построения двойственной задачи.

8.Запись двойственных задач в матричной форме.

9.Псевдоплан.

10.Теорема об оптимальности псевдоплана.

11.Теоремы двойственности.

12.Геометрическая интерпретация двойственных задач.

13.Постановка транспортной задачи.

14.Табличное представление транспортной задачи. Этапы решения транспортной задачи.

15.Открытые и закрытые транспортной задачи. Число уравнений и число переменных в транспортной задаче. Вырожденный и невырожденный планы транспортной задачи.

16.Классификация методов решения транспортной задачи. Устранение неоднозначности при условии одинаковых тарифов.

17.Метод северо-западного направления.

18.Метод минимального элемента.

19.Метод аппроксимации Фогеля.

20.Метод потенциалов.

21.Метод дифференциальных рент.

Задачи для самостоятельного решения.

1.Мебельная фабрика выпускает стулья двух типов. На изго-

товление одного стула 1-го типа, стоящего 8 денежных единиц расходуется 2м. досок стандартного сечения, 0,5м2 обивочной ткани и 2 человека – часа рабочего времени.

172

Аналогичные данные для стульев 2-го типа даются цифрами: 12 денежных единиц, 4м., 0,25 м2. и 2,5 человеко-часа. В наличии имеются: 440м. досок, 65м2. обивочной ткани, 320 человеко-часов рабочего времени. Какие стулья и в каком количестве нужно выпустить, чтобы стоимость продукции была максимальной? Решить задачу графическим методом.

2.При переработке некоторого лекарственного сырья возможно использование одной из двух технологий. При пе-

реработке сырья по 1-ой технологии выход полезного продукта составляет 150/0, на производство 1кг. продукта затрачивается 8 человеко-часов и 12 денежных единиц. При

переработке сырья по 2-ой технологии выход полезного продукта составляет 100/0, на производство 1кг. продукта затрачивается 14 человеко-часов и 9 денежных единиц. Фонд заработной платы не превышает 3960 денежных единиц, трудовые ресурсы 4480 человеко-часов. Масса лекарственного сырья 440кг. Какое количество сырья надо переработать, чтобы получит максимальный выход полезного продукта? Решить задачу графическим методом.

3.На звероферме могут выращиваться чёрно-бурые лисицы и песцы.

Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется 3 вида кормов. Количество корма каждого

173

вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указано общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца. Определить графическим методом, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

4.Решить задачу 1 симплекс-методом.

5.Решить задачу 2 симплекс-методом.

6.Предприятие рекламирует свою продукцию с использованием четырёх источников массовой информации: телевидения, радио, газет и расклейки объявлений. Анализ рекламной деятельности в прошлом показал, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 5, 7 и 4 у. е., в расчёте на 1 у. е., затраченную на рекламу. На рекламу выделено 50000 у. е. Администрация предприятия не намерена тратить на телевидение более 40 %, на радио и газеты – более 50 % от общей суммы выделенных средств. Как следует предприятию организовать рекламу, чтобы получить максимальную прибыль? Решить задачу симплекс-методом.

7.Решить задачу симплекс-методом. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприёмников, причём каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объём производства первой линии – 75 изделий. На радиоприёмник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, на радиоприёмник второй модели – 8 таких же элементов. Максимальный суточный запас используемых элементов равен 800 единицам. Прибыль от реализации одного радиоприёмника первой и второй модели равна 30 и 20 ден. ед. соответственно. Определите оптимальные су-

174

точные объёмы производства первой и второй моделей, чтобы прибыль была максимальной.

8. Для исходной задачи: F=2x1+7x2 → max

2x1 3x2 14x1 x2 8

x1, x2 ≥0

составить двойственную задачу и найти решение обеих задач графическим способом.

9. Для исходной задачи: F=-2x1 -3x2 →min

4x1 2x2 4x1 x2 6

x1, x2 ≥0

составить двойственную задачу и найти решение обеих задач графическим способом.

10.Для исходной задачи: F=3x1 +5x2 → max

2x1 4x2 83x1 9

x1, x2 ≥0

составить двойственную задачу и найти решение обеих задач графическим способом.

11. Для строительства четырёх объектов используется кирпич, изготовляемый на трёх заводах. Ежедневно каждый из заводов может изготовлять 100, 150 и 50 усл. ед. кирпича. Ежедневные потребности в кирпиче на каждом из строящихся объектов соответственно равны 75, 80, 60 и 85 усл. ед. Известны также тарифы перевозок 1 усл. ед. кирпича с каждого из заводов к каждому из строящихся объектов:

Составить такой план перевозок кирпича к строящимся объектам, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

12. На трёх хлебокомбинатах ежедневно производится 110, 190 и 00 т муки. Эта мука потребляется черырьмя хлебозаводами, ежедневные потребности которых равны соответственно 80, 60, 170 и 80 т. Тарифы перевозок 1 т муки с хлебокомбинатов к каждому из хлебозаводов задаются матрицей

Составить такой план доставки муки, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

13. В трёх хранилищах горючего ежедневно хранится 175, 125 и 140 т бензина. Этот бензин ежедневно получают четыре заправочные станции в количествах, равных соответственно 180, 110, 60 и 40 т. Тарифы перевозок 1 т бензина с хранилищ к заправочным станциям задаются матрицей

Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

176

ГЛАВА 6. БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ

Под балансовой моделью понимается система уравнений, которые удовлетворяют требованиям соответствия наличия ресурса и его использования.

1. Экономико-математическая модель (ЭММ) межотраслевого стоимостного баланса (модель

Леонтьева)

Предполагается, что для производства единицы продукции в j-ой отрасли требуется определённое количество затрат промежуточной продукции i-ой отрасли, равное aij. Ве-

личины aij называются коэффициентами прямых материаль-

ных затрат и рассчитываются следующим образом:

где xij – величины межотраслевых потоков продукции, i и j – номера соответственно отраслей производящих и потребляющих, Xj – валовой продукт j-ой отрасли. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции j-ой отрасли. Валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих её продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

j 1

Сучётом (1) систему уравнений баланса (2) можно переписать в виде

j 1

177

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов

то система уравнений (3) в матричной форме примет вид

X=AX+Y. (4) Cистема уравнений (3), или в матричной форме (4),

называется ЭММ межотраслевого баланса (моделью Леонтьева или моделью «затраты-выпуск»). С её помощью мож-

но выполнять три варианта расчётов:

задав в модели величины Xi валовой продукции каждой отрасли, можно определить объёмы конечной

задав величины Yi, можно определить величины Xi ва-

где B=(I-A)-1 – обратная матрица к матрице I-A;

для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных отраслей задав объёмы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объёмы валовой продукции вторых, в этом варианте расчёта удобней пользоваться

системой линейных уравнений (3).

Элементы матрицы B будем обозначать через bij, тогда из матричного уравнения (6) для любой i-ой отрасли можно получить соотношение:

178

j 1

Коэффициенты bij называются коэффициентами пол-

ных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства. Коэффициент bij полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объёмов конечной продукции всех отраслей:

j 1

где Xi и Yj – изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Основные свойства матрицы А коэффициентов прямых материальных затрат.

Заметим, что вектор Х валовой продукции состоит из неотрицательных компонент.

Определение. Неотрицательная матрица А называется продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X 0, что

Очевидно, что условие (9) означает существование положительного вектора конечной продукции Y>0 для модели межотраслевого баланса (4).

179

Теорема. Для того, чтобы матрица А коэффициентов прямых материальных затрат была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих условий:

1. матрица I-A неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (I-A)-10;

2. матричный ряд I+A+A2+A3+= Ak cходится, причём

k 0

его сумма равна обратной матрице (I-A)-1;

3.наибольшее по модулю собственное значение λ матрицы А, т.е. решение характеристического уравнения det(А- λI)=0, строго больше 1;

4.все главные миноры матрицы I-A, т.е. определители мат-

риц, образованных элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы, порядков от 1 до n, положительны.

Существует другое определение коэффициента полных материальных затрат.

Определение. Коэффициентом cij полных материаль-

ных затрат называется сумма прямых и косвенных затрат продукции i-ой отрасли для производства продукции j-ой отрасли через все промежуточные продукты на всех предшествующих стадиях производства.

Между двумя матрицами B и C коэффициентов полных материальных затрат существует следующая связь:

B=I+C,

или в поэлементной записи

Данная связь определяет экономический смысл различия между коэффициентами матриц B и C: в отличие от ко-

эффициентов матрицы C, учитывающих только затраты на производство продукции, коэффициенты матрицы B включа-

180