2788

41

Препроцессор содержит средства, позволяющие оценить качество сформированной сетки. В случае треугольных элементов, например, на экран может быть выведена цветовая карта, на которой каждый конечный элемент закрашивается определенным цветом в зависимости от величины отношения радиусов вписанной и описанной окружностей. Также пользователь может задать какоелибо предельное значение k0 из диапазона (0, 1/2), и при этом будут закрашены только те элементы, для которых k < k0.

3.3.2. Процессор

Процессор (решатель) осуществляет все конечноэлементные вычисления (формирование системы алгебраических уравнений и ее решение).

Входные данные – массивы, содержащие данные о конечноэлементной сетке и граничных условиях – NN1, X, Y, Z, POTENT. Указания по режиму вычислений, информация о типе и параметрах задачи содержится в файле taskinfo. На выходе процессор выдает значения искомых величин в каждом узле сетки – массив RHS. В связи с большой разреженностью матрица системы уравнений хранится в виде графа смежности. Нулевые элементы не хранятся.

Основные этапы вычислений:

1)формирование структуры хранения матрицы (создается список соседей каждого узла);

2)формирование глобальной системы алгебраических уравнений –

а) вычисление коэффициентов, матриц и функций, общих для всех конечных элементов;

б) вычисление дифференциальных параметров конечных элементов (произ-

в) численное и аналитическое интегрирование; г) вычисление локальных подматриц и подвекторов и добавление их в гло-

бальную матрицу и вектор правых частей конечноэлементной задачи; д) учет граничных и других дополнительных условий; 3) решение системы линейных алгебраических уравнений.

43

Основой численных методов интегрирования является замена интеграла

I f (x, y, z)dxdydz

конечной суммой (кубатурной формулой)

i1

вкоторой координаты xi , yi , zi и весовые коэффициенты wi определяются так, что выражение (74) будет точным для описания полинома максимально возможной степени. Вид полинома и число определяемых в области точек зависит от применяемого метода.

Ниже приведены часто используемые в СКМ кубатурные формулы для некоторых конечных элементов

1)Формула Гаусса

Эта формула точна, когда f(x) многочлен степени не выше 2p–1. xi - неравномерно расположенные внутри интервала [–1; 1] узлы; Wi – соответствующие этим узлам веса.

Обобщение для единичного квадрата и единичного куба выглядит так:

44

2) Кубатурные формулы для треугольника

3) Кубатурные формулы Радона ( точность o(h6))

45

5) Кубатурная формула для куба

в которой А регулярная разреженная матрица, частным видом которой является ленточная матрица (все элементы равны 0, если индексы i и j помещают этот член в матрице за пределами некоторой полосы, осью которой является главная диагональ). Такая особенность приводит на практике к работе в два этапа: построению системы линейных алгебраических уравнений и решению этой системы. Построение будет эффективным, если принять во внимание, что нет необходимости их размещать в памяти ЭВМ и тем более использовать при расчетах.

1) Прямые методы.

Из прямых методов решения систем линейных систем обычно используются факторизации Гаусса и Холесского. Эти методы эффективны, если используется только оперативная память для хранения всех массивов. При таком серьезном ограничении повышение порядка решаемых систем возможно лишь за счет максимальной эксплуатации их разреженности. Для систем общего вида обычно принимается компромисс между требованием численной устойчивости процесса и желанием по возможности сохранить разреженность матрицы. При этом использование разреженности основывается исключительно на структуре матричного графа, в то время как выбор по устойчивости зависит от числовых значений элементов. В симметричном положительно определенном случае численная устойчивость обеспечена при любом порядке исключения, что позволяет сосредоточиться на единственной цели наиболее полному использованию разреженности. Hесмотря на специальность этого класса задач, большинство линейных систем, возникающих в научных и инженерных расчетах, обладает этим свойством.

Основной алгоритм Гаусса состоит в следующем:

найти треугольную нижнюю матрицу L и треугольную верхнюю матрицу U с единицами на диагонали, такие что A=LU (факторизация A);

46

найти вектор y, такой что LY=b (решение обычно осуществляется параллельно с факторизацией);

найти вектор x, такой что Ux=y (x является решением системы Ax=b). Треугольные матрицы L и UT имеют одинаковую топологию (ненулевые

элементы расположены на тех же местах).

Метод Холесского является симметричным вариантом гауссова исключения, определенном только для симметричных положительно определенных матриц. В этом методе факторизация имеет вид A=LLT.

В данных методах в результате разложения происходит так называемое заполнение, т. е. появляются новые ненулевые элементы на местах, где раньше были нули. С помощью перестановки уравнений, что означает перенумерацию узлов конечно-элементной сетки, можно добиться сокращения заполнения. Таким образом, общий подход состоит в том, чтобы сначала найти перестановку, или упорядочение P данной задачи. Затем система записывается в виде

(PAPT)(Px) = Pb ,

и метод Холесского применяется к симметричной положительно определенной матрице PAPT, что приводит к треугольному разложению LLT, где L содержит меньше ненулевых элементов, чем в отсутствие упорядочения. Задача отыскания “ хорошего” упорядочения занимает центральное место при решении разреженных положительно определенных систем. Вычислительный процесс в целом может быть разделен на четыре этапа:

–упорядочение (найти P),

–распределение памяти, или символическое разложение (определить необходимую информацию о множителе Холесского L матрицы PAPT с тем, чтобы сформировать подходящую схему хранения),

–разложение (найти L численно),

–решение треугольных систем Ly=b и LТz=y. После этого положить x=PTz.

2) Итерационные методы.

В случае нехватки оперативной памяти используется один из итерационных методов, например метод сопряженных градиентов и его варианты. Основной идеей этих методов является построение ряда векторов

x(i+1) = x(i) + (i) v(i),

что дает решение уравнения (75) последовательным уменьшением величины некоторого функционала F(x). На каждом шаге направление спуска v(i) известно; скалярная величина (i) рассчитывается таким образом, чтобы величина F(x(i+1)) была минимальна.

а) Метод сопряженных градиентов

A симметричная положительно определенная матрица. На каждом шаге минимизируется функционал

F(x) = (Ax, x) 2(b, x).

47

Алгоритм итерации имеет вид s1 r0 ,

Процесс начинается с выбора начального вектора x(1) и направления v(0) = r(1). Он заканчивается, когда норма невязки r(i) = Ax(i) – b становится достаточно малой. Для хорошо обусловленной матрицы размером n этот процесс сходится за n итераций. На практике на скорость сходимости влияет обусловленность системы, степень разреженности матрицы и ошибки округления при вычислениях на ЭВМ.

б) Метод AA*-минимальных итераций

А произвольная матрица. На каждом шаге минимизируется квадрат евклидовой нормы самой ошибки.

в) Метод A*A-минимальных итераций

А произвольная матрица. На каждом шаге минимизируется квадрат евклидовой нормы вектора невязки.

48

г) Метод сопряженных градиентов с предообусловленностью посредством неполного разложения Холесского

Если Ax = b решаемая система, применим метод сопряженных градиентов к системе

(L-1AL-T)LTx = L-1b,

где L нижняя предообусловленая треугольная матрица, полученная, например при неполном разложении Холесского. Этот метод состоит в расчете по алгоритму Холесского только элементов L, находящихся на тех местах, где элементы матрицы A отличны от нуля. Необходимо, чтобы матрица L-1AL-T была положительно определенной.

3.3.3. Постпроцессор

Задачей постпроцессора является анализ и визуализация результатов решения задачи, вычисление интегральных и локальных характеристик. Имеется возможность построения линий равного потенциала, цветовых карт, матриц стрелок, что дает возможность качественного анализа картины поля. Кроме этого, могут быть построены графики и таблицы для функции u, ее производных и градиента между любыми двумя точками области, а также вдоль граничных линий, вдоль линий может быть также построен график изменения нормальной производной. Для нестационарных задач имеется возможность построения графика изменения функции и ее производных в одной точке области

взависимости от времени.

Всостав постпроцессора входят следующие основные блоки (рис. 21):

– блок визуализации исходных данных (данных препроцессора);

– блок визуализации поля;

– блок вычисления локальных характеристик;

– блок вычисления интегральных характеристик;

– блок построения графиков;

– блок вывода результатов анализа.

Блок визуализации исходных данных задачи предоставляет те же возможности, что и аналогичный блок препроцессора. Может меняться масштаб и ракурс изображения, разрешаться/запрещаться вывод тех или иных объектов и их номеров, и т.д.