2788

11

При наличии сред с различными физическими свойствами на границах их раздела (внутренние границы Г4) ставятся условия сопряжения – непрерывность решения и скачок его нормальных производных:

Кроме того, в задачах магнитостатики может задаваться условие скачка потенциала на некоторой внутренней границе Г5:

и/или условие сохранения магнитного потока:

5

(здесь I и Ф0 – некоторые постоянные величины).

Решение задачи (3)-(9) считаем единственным и обладающим достаточной гладкостью (т.е. требуем ограниченность производных до тех порядков, которые необходимы для обеспечения аппроксимационных свойств базисных функций).

Приведенная постановка задачи является довольно формальной. Однако она может быть использована для решения на ЭВМ целого ряда различных физических задач. Важными частными случаями уравнения (3) являются:

1) уравнение Лапласа

div() = 0;

2) уравнение Пуассона

div() = –f ;

3) уравнение Гельмгольца

+ 2 = –f .

2.3. В а р и а ц и о н н ы е м е т о д ы д и с к р е т и з а ц и и

При исследовании многих физических систем требуется найти функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения, которое описывает поведение рассматриваемой системы. В ряде случаев для исследуемой задачи можно установить естественную вариационную формулировку. Тогда для по-

Краевое условие (16b) на Г2 теперь является естественным краевым усло-

вием, так как оно автоматически выполняется для функции , доставляющей функционалу F стационарное значение. Множество допустимых функций теперь расширилось, так как требуется только, чтобы любая функция из этого множества удовлетворяла главному краевому условию на Г1.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу 2-го рода

границы Г2, принимает стационарное значение для функции (x, y, z), являющейся решением краевой задачи (17) при условии, что допустимые функции удовлетворяют краевому условию (17b) на Г1 (главное краевое условие). Условие на Г2 является естественным.

14

Итак, функция , являющаяся решением уравнения Пуассона и удовлетворяющая условию Неймана на границе 2, одновременно доставляет минимум функционалу (18). Заметим, что такая функция не обязана удовлетворять главному краевому условию на 1, поэтому для выполнения последнего требуется предусмотреть дополнительные ограничения на выбор .

Для получения приближенного решения вариационной задачи обычно используется метод Релея-Ритца, согласно которому неизвестная функция на всей области определения заменяется суммой

точнее приближать неизвестную функцию .

Подставляя (12) в (9), заметим, что функционал F теперь является функци-

2

Решив систему, искомую функцию ~ найдем с помощью (21). Матрица (25) – симметричная и положительно определенная.

Среди других формулировок для МКЭ можно использовать смешанные вариационные формулировки с множителями Лагранжа, сопряженные вариационные принципы, метод штрафных функций и метод наименьших квадратов

[8].

15

2.4. П р о е к ц и о н н ы е м е т о д ы д и с к р е т и з а ц и и

Основной принцип методов проекций базируется на теореме для гильбертовых пространств, определяющей пространство, в котором только нулевой вектор ортогонален всем векторам пространства. В пространстве L2, в котором

можно расположить большинство физических задач, ортогональность двух функций f и g определяется в виде скалярного произведения:

( f , g) f g d 0 .

Рассмотрим для определенности краевую задачу (17). Метод взвешенных невязок состоит в проекции функций, называемых невязками в области и на границе Г2 соответственно –

на семейства независимых функций {Wm} и {Wm} с помощью скалярных произведений

Можно также потребовать равенство нулю невязки на 1, однако на практике условие Дирихле (17b) проще точнее учитывается путем соответствующей модификации системы уравнений (см. разд. 2.5).

Множество функций {Wm} образует пространство, в котором, для того чтобы R = 0, невязка в должна быть ортогональна всем базисным векторам.

Аналогичное утверждение справедливо в отношении функций Wm.

можно достичь эквивалентности между задачей в частных производных и ее интегральным представлением при условии, что удовлетворяет главному краевому условию (17c). Однако при практическом применении функции Wm образуют конечномерное пространство, т.к. при использовании аппроксимации (21) имеем конечное число параметров 1,..., M (степеней свободы), которые определяют число функций Wm в соответствии с числом уравнений.

Подставив выражение для (21) в (29), получим систему уравнений для

16

для исключения особенностей в которых необходимо, чтобы базисные функции {Ni} принадлежали классу гладкости С1, т.е. были непрерывны вместе со своими первыми производными. Такое ограничение наряду с несимметричностью матрицы системы уравнений крайне нежелательно при использовании вычислительных процедур, в частности МКЭ. Поэтому преобразуем первый интеграл в (29) по формуле Грина:

Теперь базисные функции {Ni} и {Wi} должны принадлежать классу гладкости С0 (быть только непрерывными). Подобное преобразование, обеспечивающее понижение степени гладкости допустимых функций, является ключевым для конечноэлементной формулировки задачи. Ограничив выбор базисных функций требованием

Если положить Wj = Nj, что соответствует методу Галеркина, получим те же итоговые выражения (24-26), что и при использовании вариационного метода Релея-Ритца. Преимущество проекционных методов заключается в том, что не требуется знания естественного вариационного принципа, соответствующего рассматриваемой краевой задаче. Однако, если известно вариационное представление задачи, то его использовать предпочтительнее, так как, во-первых, это гарантирует симметричную форму уравнений, обеспечивает нужный класс гладкости базисных функций, во-вторых, функционал часто представляет конкретную физическую величину, например, энергию поля. Если минимизация такого функционала ведет к точному решению, то приближенное значение функционала дает оценку сверху для минимального его значения.

2.5. К о н е ч н о - э л е м е н т н а я а п п р о к с и м а ц и я

Конечным элементом внутри рассматриваемой области называют некоторую подобласть e, геометрические размеры которой очень малы по сравнению с размерами области , но при этом остаются конечными. Элемент харак-

18

Согласно методу Ритца, параметры { i}, доставляющие минимальное значение

2

Рассмотрим МКЭ-процедуру формирования матрицы системы уравнений и вектора правых частей для задачи (17) на примере треугольника Лагранжа (двумерный случай). Такой конечный элемент обеспечивает на границах элементов непрерывность только функции, но не ее производных.

Пусть имеется треугольный элемент с вершинами (xi, yi), i=1, 2, 3. Введем произвольную точку Р с координатами (x, y). Определим ее положение с помощью симплексных координат по правилу

где А – площадь треугольника, Аi – площадь треугольника, образованного точкой Р и двумя вершинами исходного треугольника. Очевидно, что

где коэффициенты ai, bi, ci выражаются через координаты узлов конечного элемента.

Формулы (28) преобразуют треугольный элемент произвольной формы, размера и ориентации в стандартный элемент (0, 1), (1, 0), (0, 0) (рис. 1). Положим для простоты в (8) = const = 1, q = 0, а для возьмем аппроксимацию:

20

Приведенный способ объединения элементов обобщается на случай любого числа элементов. Нетрудно заметить, что полученная матрица будет симметричной, положительно определенной и сильно разреженной (т.е. содержащей много нулей вне главной диагонали). При определенной нумерации можно добиться ленточного вида матрицы, при котором все ненулевые элементы группируются возле главной диагонали. Такой способ нумерации может иметь большое значение для компактного хранения матрицы. Симметричность и положительная определенность выгодны в вычислительном плане.

Можно показать, что сформированная в виде (44) и (48) система уравнений не будет иметь решения, поскольку ее определитель равен нулю. Необходимо модифицировать систему, чтобы учесть главное краевое условие (условие Дирихле) на Г1. Пусть в узлах 1 и 2 функция принимает фиксированные зна-

чения 1 и 2 соответственно. Тогда первое и второе уравнения в (48), соответствующие этим узлам, заменяются уравнениями

2.6. У ч е т г р а н и ч н ы х у с л о в и й в М К Э

1) Граничные условия 1, 2 и 3 рода В вариационной формулировке условия Дирихле выполняют роль глав-

ного краевого условия и обычно учитываются выбором пробных функций, изначально удовлетворяющих этому условию. В случае узлового МКЭ значения параметров аппроксимации, соответствующие граничным узлам, фиксируются и исключаются из процедуры вариации функционала. Число степеней свободы, или параметров аппроксимации, тем самым, понижается.

При таком подходе граничные условия в общем случае не удовлетворяются точно, а с той же степенью приближения, что и решение в варьируемых узлах.