2788

22

Последние два интеграла в левой части уравнения можно опустить, поскольку если S1 и/или S2 является частью границы Неймана, то они уничтожа-

ются путем добавления соответствующей невязки. Если же S1 , S2 – границы с

соседними элементами с теми же самыми свойствами среды, то вследствие равенства нормальных производных эти интегралы также исчезают. В итоге, вы-

брав базисные функции W = W , получим

m m

что соответствует стандартным конечноэлементным выражениям с поправкой на неоднородную среду.

3)Скачок потенциала на поверхности разреза Решение задач для сверхпроводниковых многосвязных систем требует

учета условия скачкообразного изменения потенциала на некоторой поверхности разреза (8). Рассмотрим соответствующую модификацию системы линейных алгебраических уравнений МКЭ для задачи Лапласа.

Пусть два смежных конечных элемента (треугольника) имеют общую сторону, лежащую на линии S (рис. 5). Выпишем отдельно линейную систему уравнений для обоих элементов:

25

тенциала внутри элементов 1 и 3 в качестве узлового значения узла 2 следует брать 2 , а внутри элементов 2 и 4 – величину ( 2 – I ).

Плоская формулировка легко переносится на трехмерную геометрию использованием объемных конечных элементов и поверхностей разреза, проведенных по тем же правилам, что и линии разреза.

При проведении разрезов следует учитывать следующее:

1)при обходе любого замкнутого контура суммарный скачок потенциала должен быть равен полному току внутри этого контура. Важно при использовании метода конечных элементов согласовывать знаки скачков. Так, токи считаются одного знака, если при обходе контуров, охватывающих каждый ток, в одном направлении, например против часовой стрелки, совпадают знаки полного изменения потенциала на разрезах;

2)форма поверхностей (линий) разреза может быть любой, но нельзя допускать их пересечения и прерывистости;

3)существует множество способов задания разрезов, но наиболее универсальными являются: а) в двумерном варианте разрез соединяет либо сверхпроводник с другим сверхпроводником, либо сверхпроводник с внешней границей.

Впервом случае считается, что в обоих сверхпроводниках текут одинаковые по величине, но разные по направлению токи; б) в трехмерном варианте поверхность разреза со скачком, равным току, закрывает отверстие каждого сверхпроводникового контура, либо проводится от контура до внешних границ.

26

3. СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНЫХ ДАТЧИКОВ

3.1. О с н о в н ы е ф и з и к о - м а т е м а т и ч е с к и е м о д е л и с в е р х п р о - в о д я щ е г о п о д в е с а

Проведенный анализ литературы показывает, что используемые аналитические расчеты СЭМП мало пригодны для расчета реальных схем подвесов. Это связано с трудностями интегрирования уравнений магнитостатики для тел сколько-нибудь сложной формы. Поэтому приобретают актуальность методы расчета характеристик подвесов на основе численного анализа полей.

В обобщенном виде модель СЭМП представляет собой замкнутую электромеханическую систему, состоящую из подвижного пробного тела, сверхпроводниковых катушек, каркаса, сверхпроводникового экрана и металлических несверхпроводящих колец (деталей корпуса) для демпфирования колебаний.

Рассмотрены математические модели для описания процессов в конструктивных элементах СЭМП, которые можно обобщить системой дифференциальных уравнений

которых точках области (условия скачка, сдвига и др.), или в виде интегральных соотношений.

Остановимся подробнее на формулировке задачи расчета магнитного поля для сверхпроводникового подвеса. Будем рассматривать только СЭМП, работающие в мейсснеровском режиме. В общем случае требуется найти распре-

деление напряженности магнитного поля H в пространстве вне сверхпроводников (т.к. поле внутрь мейсснеровского сверхпроводника проникает лишь на

очень малую глубину), если сверхпроводниковая система находится в постоян-

ном внешнем магнитном поле H e , а в сверхпроводниковых элементах протекают полные замкнутые токи Ii .

29

(56-59), а также способы учета граничных условий на границе раздела сред, неоднородных условий Дирихле, Неймана и других дополнительных условий.

Решение задачи, определяемой уравнениями (60-62), для односвязной сверхпроводниковой магнитной системы во внешнем однородном поле методом конечных элементов сводится к системе

i

где матричные элементы Hij вычисляются по формуле

Hij Hij(e) , Hij(e) Ni(e) N (je)d , (73)

а компоненты вектора правых частей Gi определяются из учета граничных условий Дирихле и Неймана и условий скачка.

Задача усложняется в случае необходимости выполнения условия сохранения потока Фi0 через отверстие каждого двусвязного сверхпроводника (уравнения (64)). Теперь токи Ii как неизвестные величины должны быть включены в левую часть системы (72). Для этого при учете условия скачка члены, содержащие Ii , оставляем в левой части уравнений. В итоге получим систему вида

Sij i Dm I m Gi , m = 1, ... , n 1

i

(Dm – некоторые коэффициенты из {Sij}), включающую M уравнений при M+n–1 неизвестных (M – число узловых переменных, n – степень связности области). Недостающие уравнения получим путем дискретизации (64):

Коэффициент 1/2 здесь определяется тем, что берутся элементы по обе стороны от Sm .Очевидно, полученная система уравнений не является симметричной, а матрица этой системы в общем случае не положительно определенная. Данное обстоятельство создает повышенные требования к устойчивости вычислительного процесса.

30

3.3. Описание программного комплекса системы компьютерного моделирования

На основе описанных выше математических моделей создана система компьютерного моделирования (СКМ) процессов в криогенных гравиинерциальных приборах, основанная на методе конечных элементов (МКЭ). Система включает в себя несколько относительно самостоятельных блоков, согласованных по типу и структуре данных, которые в интерактивном режиме реализуют основные этапы решения конечноэлементной задачи (рис. 7):

*препроцессор – описание геометрии объекта и его свойств, генерация се-

ти;

*процессор (решатель) – формирование и решение системы дискретных уравнений;

*постпроцессор – визуализация и обработка результатов; получение производных характеристик.

Всистему также входит база данных предметной области, библиотеки характеристик и свойств объектов, типичных геометрических конфигураций, типов конечных элементов и др. Управление системой осуществляется из общего меню, основные программы реализованы в виде интегрированной среды и обеспечивают высокую степень визуализации данных и результатов. Примерная последовательность действий при решении конечноэлементной задачи показана на рис. 8.