2788

ВВЕДЕНИЕ

Для решения ряда фундаментальных задач гравиметрии и геодинамики, таких как поиск гравитационных волн, исследование собственных колебаний и тектонических движений поверхности Земли, регистрации предвестников землетрясений, повышение точности гравиметрической съемки и др., необходимы гравиинерциальные приборы (гравиметры, сейсмометры и акселерометры), обладающие сверхвысокой чувствительностью, долговременной стабильностью работы и большим динамическим диапазоном. Так, например, для регистрации вертикальных тектонических движений с амплитудой несколько сантиметров в год гравиметр должен иметь порог чувствительности 10–9 м с–2 и стабильность нуля не хуже 10–8 м с–2 в год [1]. А для гипотетической возможности детектирования гравитационных волн в области частот 10–1 – 10–2 Гц блоками земной ко-

ры размером 105 м необходимы сейсмометры с разрешающей способностью

10–13 м [2].

Наиболее совершенные гравиинерциальные приборы, работающие при комнатной температуре (T 300 K), к числу которых относится и приливной гравиметр фирмы La Coste–Romberg (США) с порогом чувствительности 10–8 м с–2 и стабильностью 10–7 м с–2 в сутки, по своим метрологическим параметрам приближаются к пределу, обусловленному уровнем тепловых шумов в преобразовательных цепях, а также такими недостатками конструкционных материалов, как неупругость, износ, старение, сильная температурная зависимость механических, тепловых, электрических и магнитных характеристик. При понижении рабочей температуры уровень тепловых шумов уменьшается пропорционально T, а термомеханическая стабильность конструкционных материалов улучшается, поэтому криогенные аналоги гравиинерциальных приборов “нормального” исполнения будут иметь более низкий порог чувствительности и более высокую стабильность работы. Однако, для достижения квантового порога чувствительности и долговременной стабильности работы перспективным оказалось создание принципиально новых криогенных гравиинерциальных приборов, основанных на использовании эффектов Мейсснера и Джозефсона в сверхпроводниках и работающих при температурах, близких к абсолютному нулю. Так, осуществление неконтактной подвески сверхпроводящего пробного тела в неоднородном магнитном поле сверхпроводящих короткозамкнутых катушек с незатухающими токами, использование сверхпроводящих магнитных экранов и преобразователей смещений пробного тела на основе сверхпроводящих магнитометров и СВЧ-резонаторов позволяет в принципе достигнуть порога чувствительности 10–11 – 10–12 м с–2 и стабильности работы 10–10 – 10–11 м с–2 в сутки. В настоящее время уже созданы сверхпроводящие виброакселерометры для регистрации сверхмалых колебаний ( 10–19 м) криогенных гравитационных антенн [3] и криогенные сверхпроводящие грависейсмометры с порогом чувствительности 10–10 м с–2 и стабильностью работы не хуже 10–10 м с–2 в сутки (см. обзор

[4]).

4

Всвязи с непрерывным повышением требований, предъявляемых к современным криогенным гравиинерциальным приборам, в первую очередь к стабильности работы и помехоустойчивости, невозможной становится их разработка без создания адекватных физико-математических моделей и эффективной системы компьютерного моделирования.

Впособии рассмотрены принципы построения криогенных гравиинерциальных датчиков на основе сверхпроводникового подвеса и проанализированы факторы, влияющие на чувствительность и стабильность их работы. Изложена конечноэлементная формулировка для трехмерного анализа процессов в сверхпроводниковом электромагнитном подвесе, основанная на использовании скалярного магнитного потенциала. Показано, что расчет магнитного поля в токонесущих сверхпроводниковых системах (в мейсснеровском состоянии) сводится к решению уравнения Лапласа в области со сложной геометрией с граничными условиями 1-го и 2-го рода и заданными скачками потенциала на поверхностях разреза. Получены соответствующие дискретные уравнения для решения конечноэлементной задачи с учетом граничных и других дополнительных условий.

Описан разработанный в виде интегрированной среды комплекс программ, предоставляющий средства полного конечноэлементного анализа процессов в СЭМП. Отличительными особенностями комплекса являются нацеленность на решение больших задач на доступных персональных компьютерах средней мощности; использование конечных элементов различной степени точности и формы; возможность задания разветвленных граничных условий 1- го, 2-го и 3-го рода и ряда дополнительных условий (скачков потенциала, постоянства потока, периодичности, симметричности и др.); эффективные и экономичные схемы хранения и обработки данных, дружественный интерфейс и проблемно-ориентированная база данных. Комплекс программ применен для расчета трехмерных магнитных полей и электромеханических характеристик цилиндрического сверхпроводникового подвеса пробного тела криогенного гравиинерциального датчика. Дано описание лабораторных работ, использующих данный комплекс программ.

5

1. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ КРИОГЕННЫХ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

1.1. С т р у к т у р а и м е т р о л о г и ч е с к и е п а р а м е т р ы к р и о г е н н ы х г р а в и и н е р ц и а л ь н ы х п р и б о р о в

Принципы, лежащие в основе гравиинерциальных измерений, следуют из законов движения и гравитационного взаимодействия тел, сформулированных в общей теории относительности Эйнштейна, основанной на четырехмерной геометрии Римана. Если скорости движения тел малы по сравнению со скоростью света и гравитационные поля слабые, то общая теория относительности переходит в динамику и теорию тяготения Ньютона. Вне зависимости от общих теорий, любые измерения основываются на евклидовой геометрии и сводятся, в конечном счете, к измерению расстояний и промежутков времени. В основе всех гравиинерциальных приборов лежит измерение положения или скорости пробного тела относительно корпуса прибора при воздействии на него гравиинерциального поля, представляющего собой суперпозицию гравитационного поля и сил инерции. Основным элементом, определяющим структуру и метрологические параметры любого гравиинерциального прибора, является датчик гравиинерционных сил. Он включает в себя пробное тело, систему подвеса пробного тела относительно корпуса датчика и преобразователя смещений пробного тела относительно положения равновесия в электромагнитный сигнал. В состав гравиинерциального прибора также входят термостат или криостат, поддерживающий требуемую рабочую температуру датчика с необходимой точностью, и электронный блок усиления, обработки и записи электромагнитного сигнала с датчика. Из большого числа метрологических параметров и характеристик рассмотрим здесь только порог чувствительности и стабильность нуля, необходимость существенного улучшения которых и привела к созданию криогенных приборов. Так, стабильность нуля характеризует величину случайного изменения равновесного положения пробного тела за некоторый выбранный отрезок времени (час, сутки и т.д.), а порог чувствительности определяет ограничения в области малых измеряемых величин, связанные с броуновским движением пробного тела, шумами преобразователя смещений и усилителя сигнала, и дается выражением [5]

где aмин – амплитуда минимально регистрируемого гравиинерциального поля, периодически изменяющегося с частотой fa ; m, T, f, Q – соответственно масса, температура, собственная частота и добротность системы подвеса пробного тела; Tn – эффективная шумовая температура на входе преобразователя смещений; – время усреднения сигнала с преобразователя смещений электронным блоком; – постоянная Больцмана.

Это выражение справедливо при условии f >> fa и наличии оптимальной связи между преобразователем смещений пробного тела и усилителем. Первый член в выражении (1) обусловлен броуновским движением пробного тела. Его

6

можно уменьшить путем понижения температуры и увеличения добротности. Второй член связан с шумами электронной схемы преобразователя смещений. Значительное уменьшение одного члена относительно другого нецелесообразно, так как окончательный результат определяется бóльшим из них. При гелиевых температурах (T 4 K) наименьшей шумовой температурой Tn ~ 3 10–8 K (на частотах, бóльших 10–2 Гц) обладают преобразователи смещений на основе сквидов [5, 6]. Для этой шумовой температуры, полагая m = 10–2 кг, f = 1 Гц, fa = 10–2 Гц и = 10 с, получим из выражения (1), что порог чувствительности датчика, связанный с шумами преобразователя смещений, имеет величину aмин > 10–13 м с–2. Вклад, вносимый броуновским движением пробного тела, будет иметь тот же порядок величины, если Q ~ 106.

Такое значение добротности системы подвеса пробного тела при гелиевых температурах вполне достижимо. Однако практически порог чувствительности измерителя будет определяться уровнем и спектром вибрационных шумов основания, на котором он установлен, и динамическим диапазоном датчика и усилителя. Особенно опасны вибрационные шумы со спектром частот, лежащим вблизи собственной частоты системы подвеса пробного тела датчика, приводящие к резонансной раскачке пробного тела с амплитудой, пропорциональной добротности. Если динамический диапазон датчика и усилителя ~106, то на фоне вибрационного шума ~10–6 м с–2 можно выделить путем частотной фильтрации измеряемый сигнал с амплитудой aмин ~ 10–12 м с–2 при условии, что их частотные спектры не перекрываются.

Величина дрейфа нуля датчика в значительной степени определяется гистерезисом и ползучестью в системе подвеса пробного тела, а также механическими напряжениями из-за неравных температурных коэффициентов линейного расширения используемых конструкционных материалов. Известно, что эффекты неупругости в кристаллических материалах связаны с движением дислокаций под действием поля внутренних напряжений [7]. Для перемещения дислокации необходимо преодолеть барьер Пайерлса–Набарро и локальные барьеры, создаваемые точечными дефектами. При малых напряжениях это достигается термоактивационным путем. Влияние термоактивируемых процессов при гелиевых температурах существенно снижается, что ведет к более высокой стабильности работы датчиков, но тем не менее при изготовлении упругих систем подвеса пробного тела предпочтительнее использовать материалы с высоким барьером Пайерлса–Набарро и с возможно малой плотностью дислокаций. К таким материалам относится монокристаллический сапфир. Он обладает также высокой температурой Дебая (TD = 1047 K), и поэтому уже при комнатных температурах его коэффициент температурного расширения и термоупругий коэффициент уменьшаются с понижением температуры пропорционально (T/TD)3 и достигают при гелиевых температурах пренебрежимо малых значений 2,5 10–12 и 3 10–10 K–1 соответственно. Это должно приводить к значительному уменьшению влияния эффектов неупругости и вариаций температуры на долговременную стабильность датчиков, упругий элемент которых изготовлен из монокристаллического сапфира.

э л е м е н т к р и о г е н н ы х г р а в и и н е р ц и а л ь н ы х п р и б о р о в

В ряде конструкций сверхпроводящих датчиков гравиинерционных сил бесконтактный подвес сверхпроводящего пробного тела осуществляется на основе эффекта Мейсснера в сверхпроводниках. Этот эффект заключается в том, что сверхпроводящий образец макроскопических размеров является практически идеальным диамагнетиком в магнитном поле, индукция которого B на поверхности сверхпроводника не превышает некоторого значения Bc1, характерного для каждого сверхпроводника. При этом на поверхность сверхпроводника действует магнитное давление, величина которого определяется выражением

Bc1 ~ 0,14 Тл, а соответствующее значение Fm ~ 8 103 Н м2. Поэтому ниобий применяется в качестве основного конструкционного материала сверхпроводящих электромагнитных подвесов.

В неоднородном магнитном поле на сверхпроводящее тело действует сила магнитного давления, стремящаяся вытолкнуть его в область меньших напряженностей магнитного поля. Это свойство и используется для создания различных типов сверхпроводящих подвесов пробных тел гравиинерциальных датчиков. Как правило, неоднородное магнитное поле создается системой короткозамкнутых сверхпроводящих катушек с током. В принципе, дрейф нуля таких датчиков должен определяться лишь степенью затухания тока в сверхпроводящих катушках. Эксперименты показывают, что при тщательном изготовлении замыкающих контактов относительное изменение тока в катушке из ниобиевой проволоки не превышает 2 10–7 за год. Это значение определялось пороговой чувствительностью использованного в экспериментах магнитометра. Физическое изменение тока в катушке может быть на несколько порядков меньше и обращаться в нуль при идеальном контакте.

Однако в реальных конструкциях датчиков дрейф нуля в основном связан с нестабильностью конструктивных элементов сверхпроводящего подвеса пробного тела при вариациях температуры окружающей среды. Современные системы стабилизации температуры позволяют поддерживать температуру в гелиевом объеме криостата с точностью до 10–5 K [6]. Это приводит к неопределенности нуля датчика ~10–10. При T ~ 4 K коэффициент температурного расширения ниобия очень мал (~10–10 K–1), поэтому вклад в неопределенность нуля датчика изменения размеров ниобиевых конструктивных элементов пренебрежим (~10–15). Вариации температуры, кроме того, приводят к изменению глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник, что соответствует

8

изменению эффективной площади витков сверхпроводящих катушек подвеса и зазоров сверхпроводящих магнитопроводов.

В замкнутых сверхпроводящих цепях магнитный поток сохраняется, это приводит к вариациям индукции магнитного поля, а следовательно, и к вариациям подъемной силы подвеса. Оценки, представленные в [6], показали, что для ниобиевого кольца диаметром 0,1 м изменение температуры на 10–5 K сопровождается относительным изменением индукции магнитного поля на величину ~10–13. Тот же порядок величины будет иметь и изменение подъемной силы в подвесе.

Таким образом, вклад вариации глубины проникновения магнитного поля

всверхпроводник в температурный дрейф нуля датчика также пренебрежимо мал по сравнению с экспериментально наблюдаемым. Поэтому основной вклад

вдрейф нуля датчика вносит, по-видимому, нестабильность геометрических размеров конструктивных элементов, связанная с релаксацией механических напряжений, возникающих при охлаждении датчика из-за технологических особенностей изготовления катушек подвеса.

На сверхпроводящие датчики гравиинерционных сил сильное влияние оказывают внешние магнитные поля, поэтому они должны тщательно экранироваться. При этом существенна неизменность пространственного распределения остаточного магнитного поля внутри экрана. Ферромагнитные экраны не удовлетворяют этому требованию, так как обладают высокими собственными магнитными шумами и временной нестабильностью остаточного магнитного поля внутри экрана. Поэтому решение проблемы экранирования возможно лишь при использовании сверхпроводящих экранов.

Замкнутые сверхпроводящие экраны вследствие эффекта Мейсснера обеспечивают идеальное экранирование от изменяющихся внешних магнитных полей. Однако переменное магнитное поле может стимулировать движение захваченного экраном магнитного потока, что приведет к пространственновременным вариациям остаточного поля. В связи с этим необходимы экраны с минимально возможным захватом магнитного потока. Так, на установках маг-

нитного вакуума с многослойными сверхпроводящими экранами удается получить остаточные магнитные поля с индукцией ~10–10 Тл. Учитывая, что среднее значение индукции магнитного поля в подвесе пробного тела датчика имеет ве-

личину ~0,1 Тл, получим, что неопределенность нуля датчика, связанная с вариациями остаточного магнитного поля, не превышает величины ~10–9.

9

2. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 2.1. С у щ н о с т ь м е т о д а к о н е ч н ы х э л е м е н т о в

При поиске количественного описания физических процессов обычно вводят в рассмотрение некоторую систему обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений в частных производных, справедливую в определенной области, и налагают на эту систему подходящие краевые и начальные условия. Здесь, однако, возникают определенные трудности, так как точному решению существующими аналитическими методами поддаются лишь уравнения самого простого вида внутри геометрически тривиальных границ. Для решения конкретных проблем, возникающих в науке и технике, невозможно обойтись без использования численных методов. Наиболее используемые из них – методы конечных разностей и конечных элементов.

Чтобы воспользоваться самым мощным средством вычислений – компьютером, – необходимо преобразовать задачу к чисто алгебраической форме, включающей только основные арифметические операции. Для достижения этой цели используются различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной дифференциальными уравнениями. При такой дискретизации бесконечное множество чисел, представляющих неизвестную функцию, заменяется конечным числом неизвестных параметров.

Одним из простейших видов дискретизации является процесс перехода к конечным разностям, который состоит в разбиении прямоугольной сеткой области, в которой решается уравнение, и замене дифференциального оператора разностным выражением с помощью формулы Тейлора. Решая линейную систему уравнений, находят приближенные значения в узлах сетки. Основные трудности связаны с учетом граничных условий, если граница области имеет сложную геометрическую форму.

Другой способ дискретизации основан на аппроксимации базисными функциями. Примером такой дискретизации служит метод конечных элементов (МКЭ) [8–12], в котором в качестве базисных функций используются функции с малым носителем, т. е. функции, отличные от нуля только в небольшой окрестности некоторого узла.

Метод конечных элементов впервые был применен в 50-е г. для решения задач сопротивления материалов. С тех пор этот метод стал эффективным средством решения краевых задач математической физики. Большим достоинством МКЭ является универсальность форм описания различных задач, нечувствительность к наличию подобластей с сильно различающимися свойствами и размерами и сложных граничных поверхностей. МКЭ часто сходится быстрее, чем метод конечных разностей, а иногда вообще обладает оптимальной скоростью сходимости. Сравнительно прост при программировании, допускает модульный принцип создания и расширения программного обеспечения. Основной недостаток МКЭ сводится к необходимости иметь быстродействующий компьютер с большим объемом оперативной памяти.

10

Одна из особенностей МКЭ состоит в том, что он базируется скорее на интегральной формулировке анализируемого явления, нежели на дифференциальной форме, которую представляют дифференциальные уравнения и граничные условия. Эта интегральная формулировка может быть вариационного или проекционного типа. Основной общий принцип двух интегральных представлений заключается в определении коэффициентов 1, 2, ... , M, обеспечивающих наилучшее приближение функции на базе функций N1, N2, ... , NM.

Идея МКЭ состоит в разбиении области задачи на ряд неперекрывающихся подобластей, или элементов e и построении затем аппроксимации неизвестной функции кусочным образом, т. е. отдельно на каждой подобласти. Если подобласти имеют сравнительно простую форму и базисные функции на этих подобластях определяются однотипно, то весьма просто построить аппроксимацию на всей области суммированием вклада по каждому элементу. На основе некоторого условия, определяемого используемой формулировкой (например, в вариационном представлении требуется обеспечить стационарное значение функционала), требования непрерывности функции и, возможно, других условий, получают систему алгебраических уравнений относительно параметров дискретизации.

Таким образом, типичная реализация МКЭ включает в себя следующие этапы:

1) дискретизацию (разбиение) области на конечные элементы e с границами Гe, такие, что e e = , e Гe – e Гe = Г. В качестве конечных элементов

наиболее часто используются треугольники, четырехугольники в двумерном случае, тетраэдры, гексаэдры – в трехмерном;

2)определение атрибутов задачи – задание граничных условий, характеристик среды, типа уравнений и других условий;

3)формирование и решение системы алгебраических уравнений;

4)восстановление решения во всех точках области на основе полученных дискретных значений.

ные свойства рассматриваемой среды определяются некоторой функцией (x, y, z). Величина не зависит от координат и может быть известной или определяться условиями задачи, а f(x, y, z) – заданная функция источника. На замкнутой поверхности Г, состоящей из частей Г1, Г2 и Г3, заданы граничные условия 1, 2 или 3 рода: