2706

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»

В.А. Юрьев В.В. Ожерельев

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРЕТИЧЕСКУЮ ФИЗИКУ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2016

УДК 530.1

Юрьев В.А. Введение в теоретическую физику: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (2,1 Мб) / В.А. Юрьев, В.В. Ожерельев. - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) : цв. – Систем. требования : ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; Windows XP; SVGA с разрешением 1024x768 ; Adobe Acrobat ; CD-ROM

дисковод ; мышь. – Загл. с экрана.

В учебном пособии рассматриваются основные вопросы квантовой теории, теории поля, теории относительности.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению 27.03.01 «Стандартизация и метрология» (профиль «Стандартизация и сертификация»), дисциплине «Теоретическая физика».

Табл. 2. Ил. 46. Библиогр.: 6 назв.

Рецензенты: кафедра материаловедения и индустрии наносистем Воронежского государственного университета (д-р физ.-мат. наук, проф. Б.М. Даринский); д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Е. Калинин

©Юрьев В.А., Ожерельев В.В., 2016

©Оформление. ФГБОУ ВО

«Воронежский государственный технический университет», 2016

ВВЕДЕНИЕ

В конце XIX века многие ученые считали, что развитие физики завершилось. Законы механики и теория всемирного тяготения были известны уже более 200 лет, была завершена максвеловская теория электромагнетизма и установлено, что вещества состоят из атомов. Благодаря развитию статического подхода к системам, состоящим из большого числа частиц, был подведен прочный фундамент под термодинамику. Были установлены великие законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, массы и электрического заряда.

Однако на рубеже XIX и XX веков возникли новые вопросы. Прежде всего, теория относительности Эйнштейна потребовала коренного пересмотра физических представлений о таких фундаментальных понятиях, как пространство и время. Но ещё до того, как ученые восприняли эту революционную ломку сложившихся представлений, возникла новая группа вопросов, касающихся физической природы излучения и вещества, их сходства и различия, вопросов, относящихся к внутреннему строению атомов и к происхождению радиоактивности. Попытка ответить на эти вопросы завершилась со-

зданием современной квантовой теории, теории поля и теории относительности.

3

1. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 1.1. Электроны

В конце 80-х годов XIX века многие экспериментаторы наблюдали электрический разряд, который возникал в вакуумированной трубке, если в ней помещались электроды, соединенные с источником высокого напряжения. Сейчас это явление широко используется в световой рекламе. Природа этого явления была непонятна. В 1897 году английский физик Джозеф Джон Томпсон (1856-1940), исследуя свойства частиц, принимающих участие в электрическом разряде, окончательно установил атомистический характер отрицательного электричества.

С помощью разрядной трубки особого типа, изображенной на рис. 1.1, Томсон измерил скорость и отношение заряда к массе частиц катодных лучей, позднее названных электронами. Электроны вылетали из катода под действием высоковольтного разряда в трубке. Через диафрагмы D и E проходили только те из них, что летели вдоль оси трубки.

Рис.1.1. Схема разрядной трубки Томсона

В нормальном режиме эти электроны попадали в центр люминесцентного экрана. (Трубка Томсона была первой

4

"электронно-лучевой трубкой" с экраном, предшественницей телевизионного кинескопа.) В трубке находилась также пара пластин электрического конденсатора, которые, если на них подавалось напряжение, могли отклонять электроны. Электрическая сила FE, действующая на заряд e со стороны электрического поля E, дается выражением FE = eE. Кроме того, в той же области трубки с помощью пары катушек с током могло создаваться магнитное поле, способное отклонять электроны в противоположном направлении. Сила FH, действующая со стороны магнитного поля H, пропорциональна напряженности поля, скорости частицы v и ее заряду e: FH = evH. Томсон отрегулировал электрическое и магнитное поля так, чтобы полное отклонение электронов было равно нулю, т.е. электронный пучок вернулся в первоначальное положение. Поскольку в этом случае обе силы FE и FH равны, скорость электронов дается выражением v = E/H. Томсон установил, что эта скорость зависит от напряжения на трубке U и что кинетическая энергия электронов mv2/2 прямо пропорциональна этому напряжению, т.е. mv2/2 = eU. (Отсюда термин "электрон-вольт" для энергии, приобретаемой частицей с зарядом, равным заряду электрона при ускорении разностью потенциалов 1 В.) Комбинируя это уравнение с выражением для скорости электрона, он нашел отношение заряда к массе: 2,233 1011Кл/кг. Этот результат недалек от принятого теперь значения e/m=1,758 1011Кл/кг.

Томсон нашел, что отношение e/m не зависит от состава газа в разрядной трубке и от материала катода. Он сделал вывод, что катодные лучи представляют поток малых частиц, отличающихся от атомов вещества, и совершенно одинаковых независимо от своего происхождения. Этими частицами явля-

ются электроны.

Исследования электрического разряда в трубках показали, что помимо катодных лучей возникают и анодные лучи, представляющие собой поток заряженных частиц, идущих в сторону противоположную катодным лучам.

5

Свойства электрона

Природа анодных лучей зависит от состава газа, присутствующего в разрядной трубке. Оказалось, что они состоят из положительно заряженных атомов (или молекул) этого газа. Измерение отношения e/m для анодных лучей в водороде дало значение примерно в 1000 раз меньшее, чем для электронов. Теперь известно, что для иона водорода, т.е. протона, отношение e/m в 1836 раз меньше, чем для электрона.

Сведения о свойствах анодных лучей наряду с результатами экспериментов Томсона над катодными лучами привели к важным выводам. Катодные лучи суть электроны, возникающие внутри вещества, иными словами, они возникают из атомов, но электроны не могут служить характеристикой атома, из которого они появляются. С другой стороны, анодные лучи суть сами атомы. Когда электроны в составе катодных лучей сталкиваются с атомами газа в разрядной трубке, они выбивают из атомов электроны, сообщая при этом атомам положительный заряд. Эти заряженные атомы называются ионами. Простейшим из них является ион водорода – протон.

Томсон высказал соображения по поводу размеров электрона. К тому времени уже было известно, что молекулярные ионы (анодные лучи) могут проходить в воздухе лишь незначительное расстояние; электроны же до полной потери кинетической энергии могут пролететь гораздо большие расстояния. Длина пробега ионов и электронов в любом веществе зависит только от частоты их столкновений с молекулами веще-

6

ства. Отсюда Томсон заключил, что электроны должны иметь гораздо меньшие размеры, чем молекулярные ионы, и, следовательно, гораздо реже испытывать столкновения с молекулами. Поскольку электроны на единице пути испытывают меньше столкновений, тормозящих их движение, они должны иметь больший пробег в веществе, чем ионы.

1.2. Излучение абсолютно черного тела

Крупной вехой в разработке квантовой теории явилось решение вопроса распределения энергии в спектре излучения, испускаемого раскаленными твердыми телами. При нагревании твердого тела оно раскаляется и начинает испускать излучение в непрерывной области спектра. Часть этого излучения соответствует видимой области электромагнитных волн, благодаря чему мы и можем наблюдать свечение разогретого вещества. Доля видимой невооруженным глазом части излучения зависти от температуры тела; остальное излучение приходится на области более коротких и более длинных волн по сравнению с видимым излучением.

Рассмотрим полость внутри тела, в которой проделано маленькое отверстие во внешнее пространство (рис.1.2).

T*

Выходящее

излучение

Рис.1.2. Абсолютно черное тело

Приведем это тело в тепловое равновесие при некоторой температуре T* . В идеальном случае излучение будет покидать тело через отверстие. Поэтому можно сказать, что, за исключением отверстия, тело в таком случае будет черным. Подобное тело называется абсолютно черным телом.

Если определить длины волн излучения, выходящего через отверстие в абсолютно черном теле при некоторой равновесной температуре, то они образуют непрерывный спектр, т.е. в спектре излучения присутствуют все длины волн и существует определенная вероятность излучения каждой из этих длин волн спектра. На рис.1.3 показана форма спектра излучения для нескольких равновесных температур.

область

Рис.1.3. Спектры излучения абсолютно черного тела при различных температурах

Видно, что каждая из кривых имеет максимум при длине волны m , уменьшающийся при повышении температуры.

Таким образом, тело, испускающее яркий желтый свет, горячее тусклого красного тела. Полное количество излучения растет с повышением температуры.

Экспериментально было установлено, что значение m

меняется в зависимости от T* согласно соотношению

Многие нагретые тела сильно отличаются от абсолютно черного тела, однако, несмотря на это, они излучают практически как абсолютно черные тела.

Было сделано много попыток объяснить форму спектра излучения абсолютно черного тела в рамках классической электромагнитной теории. Две из таких попыток принадлежат Максу Карлу Вину (1866 – 1933) и лорду Релею (1842 - 1919). Сравнение предсказаний разработанных ими теорий с экспериментальным спектром представлено на рис.1.4.

Рис.1.4.Сравнение полученного в эксперименте спектра абсолютно черного тела (1) с результатами теории Вина (2) и

Релея-Джинса (3).

Видно, что ни одна из теоретических кривых не позволяет удовлетворительно описать экспериментальные данные. Та-

9

ким образом, классические теории оказались не в состоянии объяснить форму спектра излучения абсолютно черного тела.

В 1900 г. немецкий физик Макс Планк (1858 - 1947) получил единую формулу, которая правильно воспроизводила весь спектр, но она не имела никакого теоретического обоснования. Пытаясь обосновать эту формулу, Планк сделал совершенно необычное предложение о том, что обмен энергией между излучением и веществом, в котором проделана полость, не может происходить непрерывным образом, а происходит дискретными порциями, квантами.

При этом количество энергии, сопоставляемое кванту с частотой , равно некоторой постоянной, умноженной на , т.е.

где h - коэффициент пропорциональности, известный ныне под названием постоянной Планка. Эта постоянная чрезвычайно мала h=6,62510-27 эрг с, поэтому в каждом кванте заключено крайне малое количество энергии. Вот почему в большихколичествах энергии её дискретная природа незаметна.

В 1900 году еще придерживались мнения, что все физические процессы протекают непрерывно, и даже сам Планк не шел столь далеко, чтобы предложить квантовую природу всего электромагнитного излучения: он полагал, что квантовая гипотеза имеет отношение лишь к обмену энергией между излучением и полостью. В результате великая идея Планка пребывала в забвении несколько лет пока ей не воспользовался Эйнштейн (1879 - 1955) для объяснения фотоэлектрического эффекта. Эйнштейн развил эту гипотезу и постулировал, что все электромагнитное излучение состоит из квантов излучения –

фотонов.

Постоянная Планка завершает перечень фундаменталь-

Вследствие огромной величины c и столь же существенной малости me,e, и h связанные с этими постоянными

физические явления остаются совершенно незаметными в нашей обыденной жизни.

1.3. Фотоэлектрический эффект

В 1887 г. Генрих Герц (1857 - 1894) обнаружил, что яркость электрической искры, проскакивающей между двумя высоковольтными электродами, увеличивается, если электроды освещать ультрафиолетовым светом. А при освещении ультрафиолетом чистая цинковая пластина приобретает положительный электрический заряд. Объяснить эти эффекты можно, предполагая, что под действием падающего света из вещества вылетают электроны. Это явление получило название фото-

электрического эффекта или фотоэффекта. Представление о том, что электромагнитные волны могут передавать энергию электронам в металле и что при наборе электроном достаточной энергии он может вылетать за пределы металла, вполне соответствовало классической теории. Однако дальнейшие исследования фотоэффекта обнаружили, что некоторые стороны этого явления расходятся с предсказаниями классической электромагнитной теории.

Оказалось, что некоторые вещества, например, литий, натрий и калий испускают фотоэлектроны при облучении видимым синим светом, однако в большинстве других веществ фотоэффект происходит только при облучении ультрафиолетовым излучением более высокой частоты.

Количественные сведения о фотоэффекте можно получить с помощью установки, изображенной на рис.1.5.

11

Рис.1.5. Установка для изучения фотоэффекта

Внутри откачанной трубки расположены две пластины A и B, присоединенные к источнику напряжения, в ту же цепь включается прибор для измерения тока. Пластина A представляет собой фотоэмиссионную поверхность. При облучении ультрафиолетовым светом из нее вылетают электроны. Пластина B служит для собирания этих электронов.

Один из важных экспериментов при исследовании фотоэффекта состоит в измерении потенциала, который тормозит даже самые быстрые фотоэлектроны, вылетающие из пластины A. Подавая на пластину B отрицательный потенциал относительно пластины A, можно затормозить движение электронов от A к B так, что то ни один электрон не сможет достичь пластины B и амперметр в цепи покажет нуль.

Таким образом, можно определить потенциал V0 , необ-

ходимый для полного запирания тока. Оказалось, что значение V0 возрастает прямо пропорционально частоте, падающего на

пластину A ультрафиолетового света. Частота, ниже которой фотоэлектроны не появляются, какой бы ни была интенсив-

12

ность падающего излучения, называется граничной частотой0 . При любой частоте выше 0 число выбитых фотоэлектро-

нов прямо пропорционально интенсивности ультрафиолетового излучения.

Зависимость V0 от частоты ультрафиолетового излучения иллюстрирует рис.1.6.

Соотношение между V0 и можно записать в виде

где a – постоянная равная наклону прямой.

Рис.1.6. Зависимость тормозящего потенциала от частоты ультрафиолетового излучения

Для различных материалов получается зависимость в виде прямых с одинаковым наклоном, но с различными значениями граничной частоты 0 , характерной для каждого материала.

Если электрон останавливается при разности потенциалов между пластинами V0 , то его кинетическая энергия

Eкин eV0 ; т.е. V0 - максимальная кинетическая энергия выле-

тевших электронов Таким образом, необходимо было объяснить следующие

факты:

1.Число вылетевших электронов зависит от интенсивности падающего ультрафиолетового луча, но не зависит от тормозящего напряжения.

2.Максимальная энергия фотоэлектронов определяется только частотой ультрафиолетового излучения.

3.Для каждого вещества существует определенная граничная частота ультрафиолетового излучения, меньше которой фотоэлектроны не выбиваются при любой интенсивности уль-

трафиолетового излучения. Однако если частота 0 , то да-

же слабое ультрафиолетовое излучение выбивает фотоэлектроны. При этом между моментом включения источника излучения и вылетом фотоэлектронов нет задержки во времени.

В 1905 году Эйнштейн предложил теорию, дающую объяснение этим фактам. Он взял за основу идею Планка о квантовании и предположил, что любое электромагнитное излучение существует в форме сгустков электромагнитной энергии, названных квантами или фотонами. Затем он принял, что при взаимодействии с веществом фотон ведет себя подобно частице и передает свою энергию не веществу в целом, а только отдельным электронам. Существование граничной энергии фотоэффекта обусловлено тем, что для освобождения электрона из вещества ему надо передать некоторое количество энергии. Для разных веществ это количество разное.

Согласно Эйнштейну, кинетическая энергия фотоэлектрона Eкин должна быть равна разности между энергией фото-

на падающего ультрафиолетового излучения h и минималь-

ной энергией, необходимой для освобождения электрона из вещества , называемой работой выхода этого вещества:

В качестве механической аналогии этого объяснения можно рассмотреть шарик массы m , покоящийся в ямке

(рис.1.7).

Рис.1.7. Механическая аналогия фотоэффекта

Если шарику сообщить достаточную энергию, он выскочит из ямки высотой H и еще покатится по горизонтальной поверхности со скоростью V.

Уравнение энергии такого процесса имеет вид

вэтом выражении mgH - работа выхода шарика из ямки,

аE аналогично энергии фотона.

Электроны, выбитые с фотоэмиссионной поверхности при облучении ультрафиолетовым светом, в действительности имеют различные кинетические энергии, поскольку электроны, освобожденные в толще материала, до выхода с поверхности теряют энергию при столкновениях с атомами. Поэтому

15

тормозящий потенциал V0 , снижающий ток электронов до ну-

ля, соответствует кинетической энергии самых быстрых электронов. Эта кинетическая энергия Eкин eV0 , так что формулу

(1.4) можно привести к виду

Сравнивая последнее выражение с формулой (3), видно, что коэффициент пропорциональности a, согласно теории Эйнштейна, должен быть равен частному от деления постоянной Планка на заряд электрона: a he.

Измерения фотоэффекта, выполненные американским физиком Робертом Милликеном (1868 - 1953), показали, что наклон прямой, характеризующей зависимость V0 от , в са-

мом деле, равен a he .

1.4. Корпускулярно-волновой дуализм

В начале XIX века рядом экспериментов по дифракции и интерференции было доказано, что свет имеет волновую, а не корпускулярную природу. Теория фотоэффекта Эйнштейна снова вызвала к жизни представление о свете как о потоке частиц – по крайне мере при взаимодействии света с атомными электронами. Волны или частицы? Или же это специфическая особенность света, проявляющего то волновые, то корпускулярные свойства? Если это так, то как узнать, когда должны проявляться те и другие свойства?

Эти вопросы возникли в связи с предположением о квантовой природе электромагнитного излучения. В равной степени важен вопрос о свойствах частиц: если свет играет двойственную роль (то частиц, то волн), то, может быть, и элек-

16

трон, который до сих пор всегда считался частицей, ведет себя подобно волне?

Ответы на эти вопросы были получены в 20-х годах XX века в серии экспериментов, которые показали, что и свет, и электроны могут обнаруживать свойства как волн, так и частиц. Этот корпускулярно-волновой дуализм затем был введен в качестве основополагающего факта в создаваемую в те годы волновую механику или в квантовую теорию.

Первый из экспериментов, касающийся корпускулярного поведения излучения, был выполнен в 1924 году американским физиком Артуром Комптоном (1892 - 1962). Комптон исследовал рассеяние жесткого рентгеновского излучения на образцах, состоящих из легких атомов (парафин, графит и т.д.). Он обнаружил, что в рассеянном рентгеновском излучении, наряду с исходной длиной волны , появляется смещенная линия с длиной волны ′ > (рис. 1.8). Этот факт получил назва-

ние комптоновского смещения, а само явление – эффекта Комптона.

Если эйнштейновское истолкование фотоэлектрического эффекта правильно и если для выбивания электрона необходимо, чтобы фотон взаимодействовал только с этим электроном, то должен наблюдаться процесс рассеяния, в котором фотон и электрон взаимодействуют подобно двум сталкивающимся шарам. Для простоты предположим, что электроны свободны, хотя известно, что они связаны в веществе, причем энергия связи составляет несколько электронвольт. В своем эксперименте Комптон использовал фотоны рентгеновских лучей с энергией 17,5 кэВ, что значительно превышает энергию связи электронов и поэтому не будет заметной ошибки в предположении свободных электронов.

Пусть фотон с энергией h падает на покоящийся электрон (рис.1.9). Рассмотрим задачу строго классически. Запишем три уравнения, которые выражают следующие утверждения:

17

шего отдачу электрона должны быть равны по величине и противоположно направлены.

h

Рис.1.9. Схема Комптоновского рассеяния фотона с энергией h на электроне

Выписав все эти уравнения и осуществив необходимые математические действия, можно получить соотношение, связывающее частоту рассеянного фотона с частотой падающего электрона и углом рассеяния :

или переходя от частот к длинам волн согласно соотношению cv,

mec

ской длиной волны электрона. Это длина волны фотона с энергией, равной mec2 - собственной энергии электрона.

Комптон измерил величину в зависимости от для нескольких различных длин волн падающих фотонов и получил результат, согласующийся с (1.9). Тем самым он продемонстрировал, что фотоны ведут себя подобно частицам не только в фотоэффекте, но и в процессе рассеяния.

В 1924 году французский физик Л.В. де Бройль (1892) выдвинул предположение, что наряду с корпускулярным поведением волн должно обнаруживаться и волновое поведение частиц. Импульс фотона p связан с его длиной волны со-

Волна, обладающая такой длинной, получила название

волны де Бройля.

В 1927 году Дэвис и Джермер в США и Томсон в Англии обнаружили дифракцию электронов, что подтверждает их волновую природу. Но еще раньше в 1912 году немецкий физик Макс фон Лауэ обнаружил дифракцию рентгеновских лучей. В качестве дифракционной решетки он использовал атомную кристаллическую решетку кальцита. Расстояния между атомными плоскостями в кристалле можно вычислить, зная свойства кристалла. Промер полученных дифракционных картин показал, что длины волн рентгеновских лучей имеют порядок 10 нм, т.е. много короче длин волн ультрафиолетовых лучей.