2706

2. ТЕОРИЯ ПОЛЯ

Большинство сил, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни, представляют собой силы контактного типа, возникающие при соприкосновении. Мы тянем или толкаем тела, либо же один предмет сталкивается с другими. В древности казалось невероятным, что Солнце с реальной силой притягивает Землю, поскольку между ними нет контакта.

Создание Ньютоном теории всемирного тяготения привело к возникновению совершенно новых представлений. Согласно этой теории, все планеты действуют друг на друга определенными силами, несмотря на то, что они не соприкасаются и между ними нет материальной среды, которая могла бы передавать действие сил. Для описания гравитационного взаимодействия Ньютону пришлось ввести понятие «действие на расстоянии», поскольку нельзя было представить передачу гравитационной силы через пустое пространство. Но Ньютон и не пытался объяснить, почему действие гравитационной силы передается через пустоту. Он поставил своей целью дать правильное математическое описание наблюдаемых явлений, не отвечая на вопрос «почему?».

Для решения проблемы сил, действующих на расстоянии, позднее было введено понятие эфир. Это была одна из самых известных гипотез в физике. Эфир обладал единственным свойством – предавал силу на расстояние. Его представляли в виде невидимого и невесомого желе: толкните его в одном месте и этот толчок вызовет возмущение, которое побежит в другие точки. Придуманный для объяснения действия сил на расстоянии, эфир был нематериальным и в нем не было никаких контактных сил. Тем не менее, строились сложные теории напряжений, деформаций и вихревых движений в эфире. Эфир рассматривался так же как среда, в которой распространяется свет; поэтому его называли светоносным эфиром.

В теории эфира для объяснения все новых фактов приходилось вводить так много произвольных допущений, что она

61

рухнула под тяжестью собственного веса. Окончательно представление об эфире было развенчано теорией относительности Эйнштейна. Ее место в истолковании всех сил, действующих на расстоянии, заняла теория поля.

2.1. Скалярные и векторные поля

Любую физическую величину, которая имеет вполне определенное значение в каждой точке пространства, можно рассматривать как величину, характеризующую данное физическое поле. Основной характеристикой поля является то, что изменение величины поля от одной точки пространства к другой должно быть плавным. Другими словами, не должно быть скачков в значениях физических величин – скажем, от -20 до+30 – в двух соседних точках, находящихся на сколь угодно малом расстоянии друг от друга. Изменение должно происходить постепенно. В таком плавном изменении от точки к точке пространства и заключается главная особенность поля.

Примером поля может служить карта погоды (метеорологическая карта), на которой отмечаются температура и давление некоторой территории, т.е. графически изображается поле температур и поле давлений. Такие карты составляют, измеряя значение атмосферного давления в большом числе пунктов, находящихся на какой-либо территории, и проводя через точки с одинаковым давлением кривые, называемыми изобарами. На таких картах видны медленные изменения давления. Давление в данной точке задается единственным числом. Давление есть скалярная величина, а поле давлений –

скалярное поле.

В случае температуры на картах проводятся линии равных температур (изотермы), которые соединяют точки с равными значениями температуры. Температура – скалярная величина, а поле температур является скалярным.

Другой пример, скорость потока воды в реках и морях обычно неодинакова в разных точках. Изменения скорости те-

62

чения зависят от конфигурации дна и берегов и могут создавать как области стоячей воды, так и зоны вихревого движения и даже водовороты. Поскольку скорость плавно меняется от одной точки потока к другой, можно описать течение потока с помощью поля скоростей. Поле скоростей существенно отличается от поля давлений и температур тем, что для указания скорости требуется задать не только ее абсолютное значение, но и направление. Поле скоростей есть векторное поле.

Любую физическую величину, имеющую в каждой точке пространства определенное численное значение и направление, можно рассматривать как величину, характеризующую векторное поле. Большинство представляющих для физики полей являются векторными; к ним относятся гравитационное, магнитное, электрическое и другие поля.

Впринципе соответствующая величина должна изменяться в пространстве непрерывно в математическом смысле, если мы хотим сопоставить ей некое поле. Именно таким образом меняются некоторые физические величины, например, вектор гравитационной силы, и их описание путем введения поля вполне оправдано. Однако те же температура и давление

вдействительности меняются вовсе не непрерывно. Понятия температура и давление имеют физический смысл лишь для большого числа молекул. Обе эти величины – макроскопические характеристики многочисленных микроскопических эффектов. Нет ни малейшего смысла говорить о температуре и давлении одной или даже десятка молекул. Однако объем, занимаемый даже миллионом молекул, с точки зрения обычных масштабов чрезвычайно мал. Поэтому для всех практических задач изменение давления и температуры от одной группы из миллиона молекул к другой такой же группе можно считать непрерывным.

Вкаждом отдельном случае следует выяснить, обнаруживает соответствующая физическая величина такие свойства, чтобы описание ее с помощью поля оказалось полезным.

63

2.2. Гравитационное поле

Согласно закону всемирного тяготения, величина гравитационной силы, действующей на массу m2 со стороны мас-

сыm1 на расстоянии r от нее:

Мы знаем, что Fгр - векторная величина и что сила, дей-

ствующая на m2 , направлена к m1 (рис.2.1).

Эту ситуацию удобно описать иным способом. Массаm1 создает определенные условия в пространстве, на которые реагирует масса m2 и в результате испытывает направленную к m1 силу. Эти условия и есть гравитационное поле, создавае-

мое массой m1 . Конечно масса m1 тоже испытывает силу,

направленную к m2 , благодаря действию поля, созданного массой m2 , но мы будем рассматривать эффекты, обусловлен-

ные только полем массы m1 .

Fгр,21 m2

m1

Рис.2.1.Схема взаимодействия двух материальных тел

64

Назовем m1 источником поля, а величину m1 - массой источника. Любое тело, внесенное в это поле, будет испытывать в любой его точке действие силы, которая зависит от гравитационного поля, создаваемого в этой точке массой m1 .

Вместо того, чтобы каждый раз писать уравнение силы, зависящей от конкретного значения массы m2 , поделим обе части уравнения (2.1) на m2

Правая часть этого соотношения теперь зависит только от расстояния между m2 и m1 и не зависит от массы m2 . Иначе говоря, она задает гравитационное поле на данном расстоянии от источника безотносительно к тому, есть ли там масса m2 или нет. Соотношение (2.2) можно переписать так, чтобы определяющее значение в нем имела масса источника поля. Новую величину, которая определяется правой частью соотношения (2.2) и характеризует гравитационное поле массы m1 , обозначим через g :

где массу источника m1 обозначили через M . Размерность g есть сила, деленная на массу, т.е. ускорение.

Поскольку сила есть вектор, то и ускорение g есть тоже вектор. Величина g дает полное описание гравитационного поля, создаваемого источником массы M в любой точке P

(рис. 2.2).

Величина g называется вектором напряженности гра-

витационного поля. Он определяет силу, действующую на

65

единицу массы (т.е. ускорение) тела, внесенного в гравитационное поле, создаваемое источником массы M . Гравитационная сила, действующая на массу m:

P

M

Рис.2.2. Схема гравитационного поля, создаваемого массой M

Одно из обстоятельств, которое делает введение поля ценным, состоит в том, что векторы напряженности и силы гравитационного поля подчиняются принципу суперпозиции. Это означает, что для вычисления гравитационной силы, действующей на тело со стороны многих других тел (рис.2.3), достаточно векторно сложить все отдельные силы, причем каждую из этих сил можно вычислять так, словно других тел нет.

Тогда равнодействующая

Поскольку вектор напряженности гравитационного поля есть вектор гравитационной силы для единичной массы, то отсюда вытекает, что g удовлетворяет аналогичному правилу суммирования

66

Рис. 2.3. Схема гравитационных сил, действующих со стороны

отдельных масс M1,M2,M3 и M4

Утверждение, что гравитационная сила, действующая на тело, есть векторная сумма отдельных действующих на него гравитационных сил, причем каждую из них можно вычислять так, словно других нет, вовсе не является тривиальным. Например, рассмотрим силу, действующую на массу m со стороны двух масс M1 и M2 (рис.2.4).

M2

M1

r2

r1

Рис.2.4. Схема к формуле (2.7)

Согласно принципу суперпозиции

То, что M2 находится между M1 и m , не влияет на рас-

чет, действующий со стороны силы M1 . Другими словами, M2

не «затеняет» силу, действующую со стороны M1 на m , эта сила не меняется от того, присутствует M2 или нет. Отсюда следует, что явление «гравитационного экранирования» невозможно.

Диаграмма векторного поля, например, гравитационного, создаваемого точечным источником, выглядит более сложно, чем диаграмма поля скалярной величины, поскольку на ней нужно показать не только абсолютные значения, но и направления вектора.

Рассмотрим пример построения гравитационного поля точечной массы M на основе измерения поля с помощью малой пробной массы, под которой понимают идеализированное тело с очень малой массой. Считают , что пробная масса не вносит возмущений в гравитационное поле основной массы, а ее размеры столь малы, что поле основной массы практически постоянно в объеме, занимаемом пробным телом. Результаты таких измерений можно представить в виде ряда стрелок, как это показано на рис. 2.5. Длина каждой стрелки пропорциональна величине гравитационной силы в точке, соответствующей основанию стрелки, а направление стрелки определяет направление силы в этой точке.

Можно сделать иначе: провести около источника поля ряд непрерывных линий, называемых силовыми, так, чтобы в каждой точке направление силы задавалось направлением силовой линии, проходящей через эту точку.

M

Рис. 2.5. Картина гравитационного поля массы M

Величина силы в любой точке такой диаграммы будет пропорциональна плотности силовых линий в окрестности этой точки. Так, на расстоянии r от точечной массы M плотность силовых линий должна быть пропорциональна 1r2 , как этого требует зависимость гравитационной силы от расстояния. Поэтому простое рассмотрение картины силовых линий сразу показывает, где сила больше (там силовые линии сгущаются), а где меньше (там силовые линии разрежены).

В случае сферической массы силовые линии представляют собой расходящиеся по радиусам прямые (рис.2.6).

M

Рис.2.6.Силовые линии сферического поля

69

Однако для тел более сложной формы или нескольких тел силовые линии оказываются искривленными. Рассмотрим случай двух одинаковых, расположенных вблизи друг друга сферических тел (рис.2.7).

Силовые линии в этом случае можно найти, измеряя силы, действующие на пробную массу, в большом числе точек поля или вычисляя в каждой точке векторную сумму двух гравитационных сил.

2.3. Гравитационный потенциал

Гравитационная потенциальная энергия пробной массы m, находящейся в покое на расстоянии r от источника поля массой M , определяется как

M M

0

Рис.2.7. Силовые линии поля двух одинаковых близко расположенных тел массой M

70

Если разделить гравитационную потенциальную энергию на m , то получится величина, характеризующая поле источника массой M и не зависящая от величины пробной массы m . Эта новая величина называется гравитационным потенци-

алом гр

Гравитационный потенциал есть потенциальная энергия, приходящаяся на единицу массы.

Гравитационный потенциал есть величина скалярная, и для него справедлив принцип суперпозиции:

каждой точке пространства и удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к понятию поля. Поэтому можно сказать, что

гр представляет скалярное поле гравитационного потенциа-

ла, тогда как g представляет векторное поле гравитационной силы.

Согласно соотношению (2.10), гравитационный потенциал поля однородного тела сферической формы зависит только от радиального расстояния до этого тела. Этот потенциал одинаков для любой точки сферы, центром которой является источник поля. Поверхность такой сферы называется эквипотенциальной. Таким образом, для источника в виде однородной сферической массы эквипотенциальные поверхности представляют собой ряд сфер (рис.2.8)

Ранее мы говорили, что силовые линии сферического источника есть прямые линии, направленные от него по радиусам. Следовательно, эти силовые линии пересекаются с эквипотенциальными поверхностями под прямым углом, причем

71

это утверждение имеет совершенно общий характер, т.е. для любых источников поля или группы таких источников силовые линии и эквипотенциальные поверхности всегда взаимно перпендикулярны.

A

B

3

1гр 2гр гр

M

Рис.2.8. Эквипотенциальные поверхности и силовые линии сферического источника

Это утверждение можно доказать следующим образом. Известно, что для перемещения тела с постоянной скоростью перпендикулярно направлению действующей на него силы не требует совершения работы в отсутствии сил трения. Кроме того, направление, перпендикулярное силе, является единственным, для которого это справедливо. Если работа не совершается ни над телом, ни самим телом, значит, не изменяется и потенциальная энергия тела. Следовательно, при движении тела с постоянной скоростью вдоль эквипотенциальной поверхности (из какой-либо точки A в точку B на рис. 2.8) не требуется совершения работы, поскольку при таком движении не происходит изменения потенциальной энергии. Но если при движении по эквипотенциальной поверхности не совершается

72

работа, значит, эта поверхность везде должна быть перпендикулярна силовым линиям.

Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности двух одинаковых масс, находящихся на некотором расстоянии друг от друга? Гравитационный потенциал двух масс равен

где гр - потенциал в точке, находящейся на расстояниях r1 и r2 соответственно от первой и второй масс (рис. 2.9).

r1 r2

MM

Рис. 2.9. Эквипотенциальные поверхности поля двух одинаковых сферических масс

Одна из эквипотенциальных поверхностей определяется всевозможными комбинациями значений r1 и r2 , при которых

гр имеет одинаковое значение. Различные комбинации рас-

стояний дадут другие поверхности с иными, но тоже постоянными по поверхности значениями гр . Несколько таких по-

верхностей в разрезе показано на рис.2.9 в трехмерном пространстве эти поверхности получаются при вращении разреза вокруг прямой, соединяющей обе массы.

2.4. Электрическое поле

Понятия электрического поля аналогичны понятиям гравитационного поля. Если поместить пробный заряд q2 на рас-

стоянии r от источника поля – заряда q1, то действующая на q2 со стороны q1 сила будет равна

Эта новая величина, равная силе, действующей на еди-

ничный заряд, называется напряженностью электрического поля , создаваемого источником q1. Обозначим q1 через Q. Тогда напряженность электрического поля однородного сферического заряда Q на расстоянии от него r

Разумеется, величина, характеризующая электрическое поле, является вектором. Направление условно выбирается вдоль направления силы, которая действует в поле на положительный пробный заряд. Поэтому вектор напряженности поля, созданного положительным зарядом, направлен от источника поля, а поля, созданного отрицательным зарядом, – к источни-

ку (рис.2.10).

Рис.2.10. Вектор напряженности электрического поля положительного заряда (а) и отрицательного заряда (б)

Размерность равна [ ]=ед. СГСЭ заряда/см2=

=ед. СГСЭ потенциала/см= =дин/ед. СГСЭ заряда .

Если ввести в это электрическое поле пробный заряд q, то на него будет действовать сила

Вектор напряженности электрического поля подчиняется принципу суперпозиции: полный вектор

где 1, 2, 3,... - векторы напряженности полей отдель-

ных зарядов в данной точке, вычисленные независимо для каждого из зарядов. Гравитационное и электрическое поля независимы друг от друга. Эти поля могут сосуществовать в данной точке пространства, и одно из полей ни в коей мере не влияет на другое. Суммарная сила, действующая на пробную частицу, обладающую и массой и зарядом, есть векторная сумма двух сил Fгр и Fэл , но не имеет смысла суммировать

75

векторы g и , поскольку они имеют разную размерность, т.е. несоизмеримы. Измеримы, а потому и имеют физический смысл лишь силы.

Потенциальная энергия заряда q, находящегося на расстоянии r от другого заряда (назовем его источником поля) Q равна

Разделим это выражение на q и назовем новую величину

электрическим потенциалом эл :

эл есть потенциальная энергия единицы заряда и имеет размерность

[ эл ]=ед. СГСЭ заряда/см= =ед. СГСЭ потенциала =эрг/ ед. СГСЭ заряда .

Электрический потенциал удовлетворяет принципу суперпозиции: полный потенциал

Из классической теории известно, что работа по перемещению заряда из одной точки в другую в электростатическом поле равна разности потенциальных энергий Eпотэл в этих двух

точках. Соответствующая работа, необходимая для перемещения между этими точками единичного заряда, равна изменению потенциала эл .

76

где V есть разность потенциалов или напряжение между двумя точками.

Единицы измерения различных электрических величин представлены в таблице.

Единицы измерения электрических величин

Полученные выше выражения для напряженностей, сил и потенциалов как гравитационного, так и электрического полей справедливы в случаях, когда массы или заряды источников этих полей распределены по сфере либо являются точечными, т.е. имеют бесконечно малые размеры.

Однако реальные физические тела не имеют правильной сферической формы и не являются точечными. Поэтому полученные выше соотношения для них не подходят. Однако благодаря принципу суперпозиции полей любое протяженное тело можно рассматривать как совокупность большого числа «точечных» тел и вычислять поля суммированием вкладов от всех них.

Пробная масса в гравитационном поле всегда испытывает силу притяжения к источнику этого поля, потому силовые линии поля тяготения всегда направлены к источнику. Элек-

77

трический пробный заряд может либо отталкиваться, либо притягиваться к заряду – источнику поля в зависимости от знаков обоих зарядов. Условились выбирать направление силовых линий электрического поля таким, чтобы оно совпадало

снаправлением силы, действующей при любом знаке заряда источника на положительный пробный заряд. Силовые линии в случае положительно заряженного источника поля направлены по радиусам от него, а в случае отрицательно заряженного источника – по радиусам к нему. Это соглашение совпадает

стем, что принято для вектора напряженности электрического поля.

Куда тянутся силовые линии? Если бы мы располагали изолированным зарядом, то силовые линии в виде прямых уходили бы в бесконечность. Но существование изолированного заряда физически невозможно. Вся Вселенная в целом состоит из одинакового числа положительных и отрицательных зарядов и поэтому электрически нейтральна. Отдельные тела могут быть заряжены, но это достигается пространственным разделением положительных и отрицательных зарядов в первоначально нейтральных телах.

Рассмотрим случай двух тел с равными и разноименными зарядами. Как обычно, можно построить картину силовых линий, измерив или вычислив величину и направление силы, действующей на положительно заряженное пробное тело. Силовые линии при этом исходят из тела с положительным зарядом и по плавным кривым входят в отрицательно заряженное тело. Следовательно, электрические силовые линии начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах. В этом заключается один из важнейших результатов теоретической электростатики. Он отличается от случая гравитационного поля, где нет определенных точек, где силовые линии начинались бы, и вместе с тем они простираются до бесконечности.

Форму силовых линий для различных геометрических конфигураций можно определить различными способами, да-

78

ющими наглядные изображения полей. Например, в масле взвешивают пыльцу растений, а затем эту взвесь заливают вокруг изучаемой системы зарядов. Электрическое поле вызывает разделение зарядов на частичках. Один конец частички становится отрицательно, а другой – положительно заряженным, но в целом частичка остается электрически нейтральной. Такое явление называется электрической поляризацией. Поляризованные частички пыльцы ориентируются вдоль силовых линий, делая тем самым видимой их форму. Ряд конфигураций, полученных таким способом, показан на рис.2.11.

При изучении рис. 2.11,а видно, что картина силовых линий поля двух одинаково заряженных тел такая же, как для случая двух одинаковых масс (рис.2.7). Рис.2.11 иллюстрирует два общих результата.

1. Электрическое поле внутри сплошного или полого проводника, по которому не течет ток, равно нулю (рис.2.11,в и г). Рассмотрим вначале сплошной проводник.

Если внутрь такого проводника внести некоторый заряд и если заряды могут свободно перемешаться, то вследствие взаимного отталкивания они разбегутся к поверхности. Если этот поверхностный заряд создаст поле внутри проводника, то оно заставит двигаться электроны проводимости и тогда появится электрический ток. Но это находится в противоречии со сделанным допущением, что в проводнике нет тока.

Теперь рассмотрим полый проводник в виде шара. Если шар зарядить, то заряд равномерно распределится по его поверхности. На пробный заряд, помещенный в центре шара, сила действовать не будет. В этой точке результирующая сила и напряженность поля равны нулю. Однако, что можно сказать о поле в других точках полости? Рассмотрим случай, представленный рис. 2.12.

Определим результирующую силу, действующую на пробный заряд в точке P .

Рис.2.11. Силовые линии электрического поля различных заряженных тел: а – два одноименных заряда; б – два разноименных заряда; в – заряженное кольцо; г – заряженный проводник произвольной формы; д – заряженная пластина; е – пара разноименно заряженных пластин