2706

ты, позволяет определять скорости разбегания удаленных галактик.

Так в чем же заключается различие между световыми волнами и волнами в материальных средах? Снова рассмотрим две системы отсчета K и K , движущиеся относительно друг друга со скоростью v. Примем, что в системе K имеется неподвижный пруд. В тот момент, когда начала отсчета систем K и K совпадают, в пруд бросают камень и из точки O начинают разбегаться круговые волны. Разумеется, наблюдатель в системе K видит, что волны разбегаются из точки, лежащей в начале отсчета его системы. Но что видит наблюдатель в системе K ? Поскольку вода является материальной средой наблюдатель в системе K тоже увидит, что волны разбегаются из точки O, но не из начала отсчета O своей собственной системы.

Повторим этот эксперимент, взяв световые волны вместо волн на воде рис.3.5. В начальный момент времени начала O и O совпадают (рис.3.5,а). Поскольку источник света в системе K покоится, наблюдатель в этой системе увидит сферическую световую волну, распространяющуюся из точки O. Наблюдателю в системе K будет казаться, что источник света приближается к нему со скоростью v и что вспышка света была испущена в момент, когда источник находился в точке O .

Поскольку скорость света не зависит от скорости источника, картина, наблюдаемая в системе K , будет точно такой, как если бы неподвижный источник света находился в начале отсчета O этой системы. Иными словами, наблюдатель в K тоже увидит сферическую световую волну, распространяющуюся из начала отсчета своей системы, т.е. из точки O , а не из O (рис.3.5,б).

141

Рис.3.5. Схема распространения светового импульса в двух движущихся системах отсчета

Таким образом, оба наблюдателя увидят в точности одно и то же – сферическую световую волну, распространяющуюся из начала отсчета своей системы со скоростью c равномерно по всем направлениям.

В чем же состоит основное различие между волнами на воде и световыми волнами? В случае опыта с волнами на воде мы имеем дело с покоящейся относительно системы K материальной, осязаемой средой (водой). Волна на воде распространяется благодаря перемещениям молекул. Эти частички вещества «принадлежат» системе K , и оба наблюдателя признают этот факт. В эксперименте с волнами света нет никакой материальной среды. Свет распространяется в пустоте. Поскольку теперь нет того, что можно было бы отнести к той или другой системе отсчета, каждый из наблюдателей соотносит световую волну со своей собственной системой отсчета и поэтому видит излучение сферических световых волн.

Наш повседневный опыт приучил нас к тому, что все события во времени происходят упорядоченно и регулярно: существует прошлое, настоящее и будущее, и мы всегда можем установить, предшествовало ли одно событие другому, или следовало за ним, или же оба события произошли одновременно. Однако Эйнштейн показал, что в теории относительности не существует четкого разграничения прошлого и будуще-

142

го. События, происходящие в определенной последовательности с точки зрения одного наблюдателя, могут совершаться в иной последовательности с точки зрения другого наблюдателя, движущегося относительно первого. Этот результат непосредственно следует из постоянства скорости света.

Чтобы продемонстрировать относительность понятия времени, рассмотрим пример, придуманный Эйнштейном. Наблюдатель K видит два удара молний в концы движущегося железнодорожного вагона в тот момент, когда с ним поравнялась середина вагона. Поскольку концы вагона находятся на равных расстояниях от него, вспышки молнии доходят до него одновременно. Пусть в середине вагона стоит другой наблюдатель K . Наблюдатель K знает, что его коллега K движется к точке B и удаляется от точки A (рис.3.6). Поэтому наблюдатель K приходит к выводу, что вспышку из точки B наблюдатель K увидит раньше, чем вспышку из точки A.

стеме отсчета - железнодорожном вагоне – и знает, что свет от обеих вспышек в его системе отсчета распространяется со скоростью c. Поскольку наблюдатель K находится на одинаковом расстоянии от обоих концов вагона, а вспышка из точки B пришла к нему первой (рис.3.6,б), он приходит к заключению,

143

что вспышка в B должна произойти раньше, чем в A. В результате два события, которые выглядят одновременно в системе отсчета K , кажутся неодновременными в системе отсчета K из-за относительного движения обеих систем.

Несмотря на то, что последовательность событий во времени с точки зрения различных наблюдателей зависит от их относительной скорости, в теории относительности сохраняется причинность, т.е. соотношение причины и следствия. Ни один из наблюдателей не сможет увидеть события в таком порядке, при котором причина (электрический разряд) была бы после следствия (световой вспышки).

3.2. Преобразования Лоренца

Эйнштейн показал, что все кажущиеся противоречия между механикой и электродинамикой систем можно устранить, если построить теорию на основе двух постулатов:

1.Все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

2.Скорость света (в пустоте) одинакова с точки зрения всех наблюдателей независимо от движения источника света относительно наблюдателя.

Основанная на этих постулатах теория, применяемая ко всем системам, движущимся без ускорения, была названа специальной теорией относительности.

Из этих двух постулатов Эйнштейна можно вывести уравнения, которые связывают значения пространственных координат и времени в двух системах, движущихся равномерно друг относительно друга. Эти уравнения сходны с уравнениями преобразования Галилея, но приводят к существенно иным результатам, когда скорость относительного движения становится сравнимой со скоростью света.

Указанные преобразования впервые были получены Лоренцом и поэтому называются преобразованиями Лоренца. Если относительное движение двух систем отсчета происходит в

144

направлении их осей x (как на рис.3.1), то значения пространственных координат и времени в обеих системах связаны соотношениями

где использовано общепринятое обозначение vc. Для того, чтобы можно было использовать эти уравне-

ния, наблюдатели в системе K и K должны иметь одинаковые инструменты для измерения времени и линейных размеров пространства. Наблюдатели должны запустить часы одновременно в тот момент, когда начала обеих систем отсчета совпадают.

Соотношения (3.7) означают, что когда наблюдатель в системе K , измеряя координаты и время какого-либо события, приписывает им значения x, y,z и t, наблюдатель в системе K , проведя точно те же измерения, получает в своей системе отсчета результаты x , y ,z и t . Отметим, что пространственные координаты в направлениях поперек относительно движения обеих систем отсчета остаются одними и теми же в обеих системах.

Когда относительная скорость v мала по сравнению с c,

так что 0, множитель 1 2 практически равен единице,

а член ( c)x становится пренебрежимо малым. Иначе говоря, при v<<c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Рассмотрим два наиболее важных следствия теории от-

носительности – сокращение длины и замедление течения времени.

145

Пусть стержень длинной l , расположенный вдоль оси x системы отсчета K так, что один его конец «упирается в начало O этой системы (рис.3.7).

Чему равна длина этого стержня по измерениям наблюдателя в системе K ? Наблюдатель в системе K производит это измерение, определяя время, за которое начало его системы O проходит вдоль стержня. Этот интервал времени отсчитывается им от момента, когда начала обеих систем O и O совпадают.

K K

двигаясь со скоростью v, достигает конца стержня, часы в системе K показывают t2 , а в системе K время соответственно

поскольку t1 0 и x2 l. Подставив сюда вместо t2 его величину lv, получим

Таким образом, наблюдатель, движущийся относительно стержня, увидит его более коротким (так называемое Лоренцово сокращение длины) по сравнению с тем, что видит наблюдатель покоящийся относительно стержня. Аналогично, наблюдатель в системе K видит сокращение такого же стержня, неподвижного в системе K .

Движущийся и неподвижный наблюдатели получат не только разные значения длин, измеряемых ими тел, но и не смогут прийти к согласию относительно скорости хода часов в обеих системах отсчета.

Изготовим «эталонные часы». Для этого на расстоянии L от начала отсчета вдоль оси y расположим зеркало M , как показано на рис.3.8,а.

В начале системы отсчета поместим источник и приемник света. В качестве стандартной единицы времени примем промежуток времени, необходимый свету для распространения от источника к зеркалу и возвращения к приемнику света. Наблюдатель в системе K , включив лампу в момент t 0, обнаружит, что свет вернется в начало системы отсчета в момент

c

147

б

Рис.3.8. Схема замедления течения времени

Точно такие же часы установим в системе отсчета K так, чтобы наблюдатель в K видел, как они «идут». Система K движется относительно системы K вдоль оси x со скоростью v. Зеркало установлено по оси y с той целью, чтобы избежать лоренцова сокращения длины. В момент, когда начала O и O обеих систем совпадают (t 0 ), срабатывает лампавспышка в часах системы K . Поскольку система K движется относительно системы K , наблюдатель в K отмечает, что свет от вспышки должен пройти из O в M по пути, который длиннее пути проходимого в системе K . Когда этот свет достигает зеркала M , проходит время, равное половине стандартного интервала для часов K , т.е. 12t (3.8,б). Этот стандартный интервал завершается, когда свет вновь достигнет точки O , пройдя путь OPO (рис.3.8,в), за это время начало O сместилось на расстояние vt от O.

Чтобы сопоставить интервалы времени t и t , используем теорему Пифагора для треугольника OM O (рис.3.8,б) или для треугольника OPP (рис.3.8,в), мы получим

или, подставляя значение L из (3.12),

148

Стандартный интервал времени t , отсчитанный по часам

всистеме K , оказывается с точки зрения наблюдателя в системе K продолжительнее интервала t, отсчитанного по его собственным часам, поскольку он видит, что свет от вспышки

всистеме K проходит больший путь, чем свет в его собственной системе. С точки зрения наблюдателя K , часы в системе K идут медленнее, чем в его собственной. Разумеется, ситуация вновь совершенно симметрична относительно обоих наблюдателей. Наблюдатель в системе K , следя за часами в системе K , заключает, что они тоже идут медленнее его часов. Отсюда можно прийти к выводу, что для любого наблюдателя движущиеся относительно него часы идут медленнее таких же часов, но покоящихся в его системе отсчета.

Изменится ли что-нибудь, если использовать часы другого типа, скажем обычные механические? Все останется по– прежнему. Предположим, что это не так, и часы, двигаясь относительно нашей системы отсчета, не отстают. Тогда можно было бы синхронизировать эти часы с «нашими эталонными часами», а затем взять эти часы с собой на все инерциальные системы отсчета с тем, чтобы синхронизировать там все часы

149

по «эталонным часам». Используя эту систему часов, синхронизированных друг с другом, можно было бы однозначно определить последовательность во времени событий с точки зрения любой из систем отсчета. Однако, как мы уже знаем, конечная скорость света препятствует установлению абсолютной последовательности событий во времени в движущихся системах. Следовательно, подобные «идеальные» часы создать невозможно.

Лоренцово сокращение длины и замедление течения времени находятся в определенной связи друг с другом. Правильное представление этой взаимосвязи облегчает понимание обоих эффектов. Для иллюстрации рассмотрим движение короткоживущих элементарных частиц – пионов ( -мезонов). В покое пионы имеют среднее время жизни до распада на другие элементарные частицы 2,6 10 8с . Пионы во множестве

образуются при взаимодействиях протонов высоких энергий с веществом, поэтому их легко изучать.

Если пионы движутся со скоростью v 0,75 скорости света, то среднее расстояние, которое они пролетают до распада, как будто бы должно быть равным

l v 0,75 3 1010 смс 2,6 10 8с 5,85м. (3.18)

На циклотроне Колумбийского университета был получен пучок пионов со скоростью 0, 75 скорости света и оказалось, что пионы пролетают до распада в среднем не 5,85м, а 8,5 0,6м . Это различие можно истолковать, принимая во внимание замедление течения времени. Поскольку пионы движутся в лабораторной системе отсчета (соответствующей системе K ), то наблюдатель в лаборатории видит, что в системе отсчета, движущейся вместе с пионами (в системе K ), часы идут медленнее. Распад пионов есть своего рода часы, и, таким образом, наблюдатель в лаборатории определяет, что

150

среднее время жизни пионов должно быть больше, чем . В

самом деле,

Рассмотрим теперь ту же ситуацию «с точки зрения пионов». По «пионным» часам они в среднем живут 2,6 10 8с и до своего распада пролетают в среднем 5,85м в соответствие с измеряемой по линейке в «пионной» системе отсчета. Однако пионы «видят», что лаборатория Колумбийского университета проносится мимо них со скоростью 0,75 скорости света. В соответствие с этим лаборатория испытывает сокращение размеров, и расстояние 8,8 м в лаборатории пионам «кажется» рав-

ным только 8,8м 1 2 5,85м.

Этот пример свидетельствует о том, что замедление течения времени и сокращение длины суть «две стороны медали» одного и того же основного релятивистского эффекта.

Одним из результатов теории относительности, вызвавшим чрезвычайно многочисленные дискуссии, является так называемый «парадокс близнецов». Состоит он в следующем. Допустим на Земле живут два близнеца Александр и Владимир. Владимир отправляется в космическое путешествие на расстояние 10 световых лет, а Александр остается на Земле. Если космический корабль летит со скоростью 0,99 скорости

151

света относительно Земли, то по часам Александра это путешествие займет

Поскольку на возвращение затрачивается такое же время, когда Владимир прибудет на Землю, Александр постареет на

20 лет.

Владимиру, однако, представлялось, что Земля и звезда – цель его полета – двигались со скоростью 0,99 скорости света относительно его корабля, так что расстояние от Земли до звезды сократилось до

По часам Владимира путешествие туда и обратно заняло 2,8 года, и он возвращается на Землю, постарев всего лишь на 2,8 года. При встрече Владимир обнаружил, что его брат стал на 17,2 года старше его! Но мы знаем, что любое движение относительно. Следовательно, если все путешествия фиксировать в системе отсчета космонавта Владимира, то с его точки зрения такое путешествие совершили Земля и находящейся на ней Александр. По этой причине часы Александра должны были идти медленнее часов Владимира, так что когда Александр (вместе с Землей) вернется из своего «путешествия» и встретится с братом, то Владимир должен обнаружить, что его брат-близнец моложе его. Таким образом, мы пришли к парадоксу. Этот парадокс основывается на кажущейся симметрии братьев-наблюдателей. Кажется, безразлично, кто из братьев отправится в космическое путешествие, а кто останется дома. Но в данном случае это не безразлично, поскольку домосед все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как путешественник подвергался ускорениям. Путешественник ускорялся, набирая скорость до 0,99 скорости света. Следова-

152

тельно, положение вовсе не симметрично. Правильный расчет, который требует использования специальной теории относительности, приводит к заключению, что космонавт в полете будет стареть не так быстро, как оставшийся дома брат.

«Парадокс близнецов» - это реальный эффект. Но следует отметить, что путешественник ничего не выигрывает от своего «долголетия», поскольку все биологические процессы в его организме тоже идут с меньшей скоростью (по сравнению с их скоростью на Земле), и в результате все жизненные отправления, умственная и физическая его деятельность тоже будут происходить в замедленном действии.

3.3. Изменение массы в зависимости от скорости

Первый постулат теории относительности гласит, что все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. К числу таких законов относится закон сохранения импульса, что приводит к тому, что масса тела зависит от скорости его движения.

Рассмотрим двух наблюдателей в системах отсчета K и K , движущихся относительно друг друга со скоростью v. В каждой из систем отсчета имеется неподвижное тело массой m0 . Тела расположены так, что когда системы отсчета проле-

тают друг мимо друга, происходит скользящее соударение тел. Иными словами, каждое из тел при ударе приобретает небольшую скорость под прямым углом к направлению относительного движения систем K и K (т.е. в поперечном направлении). Тело в системе K обладает поперечными скоростью u и импульсом p , измеренными наблюдателем, находящимся в этой системе. Аналогичными величинами обладает тело в системе K . Если наблюдатели в этих системах обменяются данными о скорости тела в «своей» системе отсчета, то полученные ими результаты в точности совпадут. Однако если наблюдатель K попробует наблюдать за правильностью измерений в

153

системе K , то он заметит, что часы наблюдателя K идут слишком медленно. К такому же выводу придет наблюдатель K , контролируя измерения наблюдателя K . В результате по расчетам наблюдателя в K скорость тела в системе K оказывается меньше, чем та скорость, которую измерил наблюда-

тель K . Скорость будет меньшей в отношении 1 2 . Но

если скорость меньше, а закон сохранения импульса считается по-прежнему справедливым, то получается, что масса тела в системе K должна быть, по мнению наблюдателя в K , боль-

ше чем масса в системе K , причем в отношении 11 2 .

В результате оба наблюдателя придут к мнению, что масса движущегося тела больше массы такого же покоящегося тела. Возрастание массы с увеличением скорости (точно так же, как и сокращение размеров и замедление течения времени) оказывается симметричным для наблюдателей в обеих системах отсчета, находящихся в относительном движении.

Масса тела, измеренная в той системе отсчета, относительно которой тело покоится, называется массой покоя, или собственной массой, и обозначается m0 . Тогда масса m , из-

меренная наблюдателем, движущимся относительно тела со скоростью v, равна

Из этого соотношения следует заключить, что скорость материального тела не может достичь скорости света или пре-

бесконечная масса не имеет физического смысла, и отсюда вытекает, что все материальные тела могут двигаться со скоростями, меньшими скорости света. Вместе с тем, согласно пра-

154

Видно, что масса протона с энергией 1 Гэв вдвое превышает массу покоящегося протона, тогда как увеличение массы совершенно незначительно автомобиля.

Возрастание массы тела, движущегося со скоростью, малой по сравнению со скоростью света, равно

3.4. Масса и энергия

В случае, когда v c, уравнение (3.23) можно записать

как

реннее свойство тела, поскольку он зависит только от массы покоя. Эта величина называется энергией покоя или собственной энергией тела. Сумма энергии покоя и энергии движения есть полная энергия тела

156

Если v не мало по сравнению со скоростью света c, то в правой части (3.27) появляются дополнительные слагаемые, являющиеся дальнейшими членами разложения множителя

11 2 по степеням . Тем не менее, разность между пол-

ной и собственной энергиями по-прежнему равна кинетической энергии, и соотношение (3.28) по-прежнему верно.

Это и есть знаменитое соотношение Эйнштейна между массой и энергией

где E - полная (собственная+кинетическая) энергия тела. Релятивистское возрастание массы существенно для электрона даже при сравнительно небольших его кинетических энергиях вследствие того, что собственная энергия электрона составляет всего лишь 0,511 МэВ. Поэтому уже при Eкин

электрона порядка нескольких десятков кэВ следует использовать релятивистское уравнение движения. Протоны же имеют энергию покоя 938 МэВ, так что даже при энергии 10 МэВ они все еще «нерелятивистские», поскольку относительное приращение их массы при этом составляет лишь около 1%.

3.5. Общая теория относительности

До сих пор рассматривалось движение с постоянной скоростью. При рассмотрении ускоренного движения необходимо обратиться к общей теории относительности, которая имеет

157

более широкий смысл, нежели релятивистское описание ускоренного движения; она является теорией гравитации.

В современном виде общая теория относительности может сделать всего лишь несколько предсказаний, причем к настоящему времени ни одно из них не имеет экспериментального подтверждения.

Первый постулат, рассмотренной нами ранее специальной теории относительности, гласит, что все физические законы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. В общей теории относительности высказывается гораздо более решительное утверждение:

Все физические законы можно сформулировать так, что они окажутся справедливыми для любого наблюдателя, сколь сложное движение он не совершает.

Если допустить, что наблюдатель совершает сложное ускоренное движение, то математическое выражение физических законов в его системе тоже усложнится.

Первый важный вопрос, с которым имеет дело общая теория относительности, касается эквивалентности гравитационного поля и ускоренного движения. Если в лаборатории, находящейся на Земле, выпустить из рук предмет, то он будет падать вниз под действием земного притяжения. А теперь вынесем лабораторию в космос, где нет гравитационного притяжения Земли. Поместим ее в ракете, двигающейся с ускорением a, равным по величине ускорению силы тяжести на Земле g . Если двигатель ракеты расположен под полом лаборатории, то пол будет ускоряться в направлении предмета, который мы выпускаем из рук. Если ограничиться наблюдением движения предмета относительно пола, то в обоих случаях ускоренное движение будет одним и тем же и наблюдатель никогда не сможет их различить.

Эйнштейн ввел это рассуждение в свою общую теорию относительности, постулировав принцип эквивалентности:

Не существует эксперимента, с помощью которого можно было бы отличить действие гравитационного поля от

158

действия ускоренного движения по отношению к «неподвижным» звездам.

В эксперименте на Земле мы имеем дело с гравитационной массой, а в ракете с инертной массой. Если бы между этими массами имелось бы различие, то наблюдатель смог бы выяснить, находится ли он в поле силы тяжести Земли или же ускоряется в космическом пространстве. Другими словами, принцип эквивалентности требует, чтобы mгр mин . Экспери-

менты доказали справедливость этого равенства с точностью до 10-11.

Когда Эйнштейн разрабатывал общую теорию относительности, он предложил два способа ее экспериментальной проверки. Эти проверки связаны с аномалиями движения внутренних планет Солнечной системы, в особенности Меркурия, и с поведением электромагнитных волн, в частности световых лучей, вблизи таких массивных тел, как Солнце. Опишем эти два способа и их современные уточнения.

По астрономическим наблюдениям перигелий Меркурия смещается в пространстве (т.е. прецессирует) со скоростью, большей, чем та, которая предсказывается классической динамикой. После учета возмущений со стороны других планет остается «чистая» прецессия, скорость которой составляет 43,03 0,45 за столетие. Если для вычисления эффектов, связанных с замедлением течения времени, использовать специальную теорию относительности, то рассчитанное значение скорости прецессии составит только половину наблюдаемого. Эйнштейн на основе общей теории относительности получил значение 43,03 . Блестящее совпадение между вычисленным и наблюдаемым значениями явилось наиболее выдающимся успехом общей теории относительности.

Общая теория относительности предсказывает, что когда луч света проходит вблизи массивного тела, его путь должен слегка искривляться. Этот результат можно качественно понять, помня, что электромагнитное излучение, в том числе и

159

свет, имеют энергию, и этой энергии соответствует масса. Следовательно, гравитационное поле может воздействовать на свет и искривлять его путь точно таким же образом, как массивное тело действует на пролетающую мимо него быструю частицу. Поскольку свет распространяется с огромной скоростью, это «притяжение», по существу, действует на него лишь в течение короткого времени, и в результате отклонение света от прямолинейного пути мало даже при прохождении возле такого массивного тела, как Солнце. Как показали астрономические измерения, отклонение света оказалось равным 2 .

Если выпустить из рук какой-либо предмет, то он начинает падать вниз под действием поля тяготения, ускоряться и набирать кинетическую энергию. Аналогично, «падая» в гравитационном поле, будет набирать энергию и свет благодаря наличию у него массы, связанной с энергией излучения. Увеличение кинетической энергии падающей частицы обусловлено возрастанием ее скорости. Поскольку свет всегда распространяется со скоростью c, увеличение его энергии связано с возрастанием частоты световой волны. Справедливо и обратное: если направление распространения света противоположно направлению вектора напряженности гравитационного поля (или его силовых линий), то свет будет терять энергию, а его частота будет понижаться. Видимый свет, испускаемый Солнцем, имеет пониженную частоту или, то же самое, увеличенную длину волны, смещенную к красному концу спектра. Величина этого смещения мала, однако сравнивая длины волн ряда линий в спектре излучения Солнца с длинами волн тех же линий, полученных в лаборатории на Земле, удалось с точностью 10% подтвердить предсказываемую теорией величину смещения.

Попробуем вывести выражение для относительного изменения частоты вследствие гравитационного красного смещения, используя как положения ньютоновской механики, так и эйнштейновское соотношение между массой и энергией. Поскольку энергия световой волны пропорциональна ее частоте,

160