2706

щего точку r1, вторая частица – в элементе объема dV2 , окру-

жающего точку r2 и т.д.

Условие нормировки волновой функции системы N частиц имеет вид:

Волновая функция системы N частиц нормирована в конфигурационном пространстве 3N координат.

В случае системы невзаимодействующих частиц обнаружение i-й частицы в элементе объема dVi , k -й частицы в эле-

менте объема dVk и т.д. должны быть независимыми событи-

ями. На основании теоремы умножения вероятностей в этом случае получим:

Это означает, что волновая функция системы невзаимодействующих частиц равна:

(r1,r2 ,...,rN ,t) 1(r1,t) 2 (r2 ,t),..., N (rN ,t) . (1.31)

Поскольку состояние характера движения микрочастиц при малых скоростях (нерелятивистское движение) можно характеризовать величинами и терминами классической физики, то состояние электрона, свободно движущегося в пространстве, можно характеризовать энергией E и импульсом p . При этом связь между энергией и импульсом дается классической

формулой:E p2 , где p k .

2m

41

Тогда

2m 2m

Соответствующая групповая скорость волн да Бройля Vгр

будет равна

Формула (1.34) показывает, что групповая скорость волн де Бройля совпадает с обычной скоростью микроскопической частицы.

В общем случае волновую функцию электрона в произвольном состоянии можно рассматривать как результат положения волновых функций, отвечающих состояниям с определёнными значениями импульса. Тогда

где коэффициент A волновой функции выбирается из условий нормировки следующим образом:

Коэффициент C(p) показывает с каким «весом» состояние

p (r,t) представлено в состоянии, описываемом волновой функ-

цией (r,t). С математической точки зрения формула (1.13) представляет разложение функции (r,t) в интегралФурье.

Равенство (1.35) является отражением важнейшего принципа квантовой механики – принципа суперпозиции. Содержание этого принципа сводится к следующему: если квантовая

42

система может находиться в состояниях, описываемых функ-

циями 1 , 2 , … n , то линейная комбинация (суперпозиция) волновых функций

i 1

где Ci - произвольные постоянные, также является вол-

новой функцией, описывающей одно из возможных состояний системы.

1.8.2. Соотношение неопределенностей

В качестве примера применения принципа суперпозиций рассмотрим свободную частицу, импульс которой лежит в интервале p0 p; p0 p . Для случая одномерного движения вдоль одной координатной оси по формуле (1.13) получим

Из приближенных вычислений интеграла (1.37) получим условиями равенства нулю амплитуды волновой функции.

Применительно к рассматриваемому волновому пакету (1.37) эту формулу можно записать в виде

43

Аналогично можно написать состояние для двух других координат и компонент импульса

Формулы (1.39) и (1.40) носят название соотношений неопределенности Гейзенберга. Из неравенств (1.37), (1.40) и вероятной трактовки волновой функции следует, что если ширина волнового пакета равна x, то с подавляющей вероятностью частицу можно обнаружить в области пространства x. При этом частица, описываемая волновой функцией (1.37), не имеет определенного значения импульса. Это означает, что измерение импульса частицы будет приводить к результатам, лежащим в интервале p0 p; p0 p , т.е. чем меньше ши-

рина пакета, тем больше p. С другой стороны, если задан интервал импульсов p, то частица с подавляющей вероятностью может быть обнаружена в области пространства

x h . Из формулы (1.39) следует что величины x и p

p

равны нулю одновременно, т.е. координата x и сопряженный с ней импульс частицы Px не могут быть равны нулю одно-

временно определенные значения. Таким образом, понятие координаты и импульса применимы к микрочастице в определенных пределах даваемых соотношениями Гейзенберга.

1.8.3. Уравнение Шредингера

Формула (1.23) устанавливает вид волновой функции, описывающей движение свободной частицы с заданным значением импульса. Эта волновая функция имеет вид плоской волны де Бройля. Для дальнейшего применения волновой

44

функции необходимо уметь находить волновую функцию, описывающую движение частицы в заданном силовом поле. Попытаемся установить вид дифференциального уравнения, которому удовлетворяет волновая функция. Прежде всего этому уравнению должна удовлетворять известная волновая функция, описывающая движение свободной частицы. Кроме того, это уравнение должно быть линейным, поскольку решения нелинейного уравнения не удовлетворяют принципу суперпозиций. Таким образом, искомому уравнению должна удовлетворять как плоская волна де Бройля, так и произвольная суперпозиция плоских волн. Простейшее дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет плоская волна де Бройля

Кроме того, для энергии свободной частицы, имеем:

то тогда получим

45

Шредингера.

Волновая функция, гармонически зависящая от времени, имеет в одномерном случае вид:

Учитывая, что

подставим выражение (1.48) и (1.49) в уравнение Шредингера (1.47). Получим уравнения для функции, зависящей только от координат частицы:

В этом уравнении Е совпадает с кинетической энергией частицы, так как при движении свободной частицы кинетическая энергия совпадает с полной энергией. При движении в силовом поле уравнение (1.50) будет иметь вид:

где Е - полная энергия, а U(x) – потенциальная энергия частицы. Уравнение (1.51) называется стационарным уравнением Шредингера для частицы, движущейся в произвольном потенциальном поле. Используя повторно формулы (1.48) и (1.49) приходим к общему уравнению Шредингера

Волновое уравнение Шредингера (1.52) выполняет в квантовой механике выполняет ту же роль, что и уравнение Ньютона в классической механике. С помощью этого уравнения находят волновую функцию – закон движения частицы, определяющей вероятность нахождения ее в каждой точке пространства в каждый момент времени.

1.8.4. Частица в одномерной потенциальной яме. Уровни энергии

Рассмотрим движение частицы в потенциальном поле, определенном условиями:

47

Такое потенциальное поле называют бесконечно глубокой потенциальной ямой. На границе ямы на частицу действуют сколь угодно большие силы, которые не позволяют ей выйти наружу, так что частица заключена в некоторой области пространства. Приближенно можно считать, что в таких условиях находится электрон в металле, движущийся вдоль оси х.

Решение уравнения Шредингера следует искать в двух областях: вне потенциальной ямы и внутри ее. Поскольку частица не может находиться вне потенциальной ямы, ее волно-

вая функция равна 0 вне промежутка 0 x l . Из условия непрерывности следует, что она равняется нулю также и в точках x 0 и x l, то есть:

В области 0 x l уравнение Шредингера (1.10) для стационарных состояний имеет вид:

Решение этого уравнения ищется при граничных условиях (1.54). Общее решение уравнения (1.55) имеет вид

Так как A 0, иначе (x) будет тождественно равна нулю, то следует, что:

где n=1,2,…n,…–любое целое число больше нуля. В дальнейшем его будем называть главным квантовым числом. При n=0 волновая функция (x) тождественно равна нулю, что соответствует отсутствию частицы в пространстве.

Из условий (4.4) и (4.7) найдем возможные значения энергии

Из формулы (1.61) следует, что уравнение Шредингера (1.55) имеет решение, удовлетворяющее граничным условиям (1.54) только при дискретных значениях энергии. Таким образом, энергия частицы в потенциальной яме оказывается квантованной. Состояние частицы с наименьшей возможной энергией будет далее называться основным или нормальным, все остальные состояния – возбужденные. Энергия основного состояния получается из формулы (1.61) при n=1.

Найдем расстояние между соседними уровнями энергии

Расстояния между уровнями энергии уменьшаются с увеличением массы частицы. Относительное расстояние меж-

ду уровнями En ~ 1 стремится к нулю с ростом n, то есть

En n

дискретность квантовых уровней перестает проявляться при больших квантовых числах, энергетический спектр становится практически непрерывным.

1.8.5. Отражение и прохождение через потенциальный барьер

Рассмотрим движение микрочастицы через границу двух областей с разными потенциальными энергиями. В простейшем случае одномерного движения вдоль оси x с бесконечно протяженным прямоугольным потенциалом (рис. 1.19)

Рис. 1.19

где U0 0.

В классической механике любая частица, двигающаяся слева направо вдоль оси x c энергией, меньшей высоты барьера U0 , полностью отражается от потенциальной стенки. Об-

50

ласть x 0 является для нее недоступной, так как в этой области полная энергия частицы была бы меньше потенциальной. Это означало бы, что кинетическая энергия должна была бы быть отрицательной, что невозможно. Если же полная энергия E больше U0 , то по законам классической механики частица беспрепятственно проходит над барьером, двигаясь в области x 0 с меньшей кинетической энергией, равной E U0 .

Рассмотрим движение микрочастицы в тех же условиях по законам квантовой механики. Для этого воспользуемся уравнением Шредингера для стационарных состояний частицы (1.51) в поле бесконечно протяженного барьера (1.64).

где U(x) – потенциальная энергия, определяемая формулой (1.64), график которой предоставлен на рис. 1.18

Решение уравнения (1.65) будем искать в двух различных областях: при x 0 и при x 0. Запишем уравнение Шредингера для каждой из указанных областей:

d2

dx2 k2 0, x 0

Здесь обозначено:

Решения этих двух уравнений запишутся в виде:

51

плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси x, а e ikx плоскую волну, распространяющу-

юся в обратном направлении. Амплитуды A,B1, A2 и B2 явля-

ются постоянными интегрирования. Поскольку амплитуда A1 определяет интенсивность потока частиц, падающих на барь-

ер, то для простоты выберем A1 1.

Для определения остальных постоянных воспользуемся условием непрерывности волновой функции и ее производной

Кроме того, следует положить B2 0, так как эта величина характеризует амплитуду отраженной волны, распро-

страняющейся в области x 0. Для потока частиц, распространяющихся в положительном направлении оси x, в области 2 отраженная волна отсутствует.

При E U0 из соотношений (1.69) и (1.70), учитывая

(1.68), получим

откуда находим:

52

Из выражения (1.72) видим, что амплитуда отраженной волны B1 отлична от нуля, хотя E U0 . Это обстоятельство обусловлено волновыми свойствами частиц. Волна частично отражается, частично проходит в область 2. Интенсивность отраженной и прошедшей волны характеризует соответственно коэффициент отражения R и коэффициент прохождения D. Получим:

При этом выполняется соотношение

выражающее закон сохранения потока частиц. Рассмотрим случай, когда E V0 . При этом из формулы

(1.66) следует, что k22 0. Это означает, что k2 -чисто мнимая величина, которую удобно записать в виде k2 ix, где

Из формулы (1.72) видно, что амплитуда отраженной и прошедшей волны – комплексные величины

Коэффициент отражения R будет равен

53

Отраженная волна запишется в виде

Так как модуль амплитуды равен единице, то отражение приводит только к сдвигу фазы волны на величину , определяемую по формуле

Из формулы (1.67) следует, что отражение является полным R 1, но в то же время волновая функция в области 2 отлична от нуля и имеет вид

Плотность вероятности того, что частица находится в области x 0, будет равна

Таким образом, поведение квантовых частиц существенно отличается от классических. Для частицы, двигающейся по законам классической механики, область x 0 при E V0 яв-

ляется недоступной. Частица же, движущаяся по законам квантовой механики, с известной вероятностью может про54

никнуть в эту область. Проникновение частицы в область запрещенных энергий представляет специфический квантовый эффект, получивший название туннельного эффекта. Эффективная глубина проникновения частицы в области 2 имеет по-

рядок величины 1 . При x 1 плотность вероятности (1.81) x x

экспоненциально мала.

1.9. Основные выводы

Особенности излучения абсолютно черного тела и фотоэлектрического эффекта можно объяснить только на основе представления о том, что электромагнитное излучение существует в виде дискретных порций или фотонов.

Фундаментальными атомными постоянными являются: скорость света c, масса электрона me , заряд электрона e и по-

стоянная Планка h.

Взависимости от характера проводимого измерения электроны и фотоны обнаруживают либо свойства волн, либо свойства частиц.

Частице вещества отвечает волна де Бройля с длиной

hp. Излучению отвечает эквивалентная масса m Ec2 .

Вэксперименте с двумя щелями нельзя определить, через какую из них прошел электрон, не нарушив интерференционной картины от двух щелей.

Вследствие того, что частицы и излучение имеют волновую природу, нельзя предсказать поведение отдельного фотона или частицы; можно лишь предсказать среднее поведение большого числа фотонов или частиц. Отдельные события можно характеризовать лишь вероятностями их наступления.

Амплитудой вероятности называется квантовомеханическая волновая функция (x), описывающая частицу или фо-

тон. Измерить можно только квадрат волновой функции, про-

порциональный интенсивности, и только эта величина имеет физический смысл.

Все квантовомеханические системы, за исключением абсолютно свободных частиц, могут обладать лишь некоторыми дискретными значениями энергии и импульса.

Принцип неопределенности Гейзенберга выражает тот факт, что мы не можем одновременно измерить со сколь угодно высокой точностью дополнительные свойства частицы и фотона (такие, как положение и импульс, энергия и продолжительность события).

Контрольные вопросы

1. Опишите эксперимент, с помощью которого удалось бы отличить рентгеновский фотон от электрона с такой же длиной волны, равной 10 8см .

2. Как изменились бы события, наблюдаемые в повседневной жизни, если бы постоянная Планка внезапно возросла до 1 эрг с?

3.В эксперименте с двумя щелями, когда щель А открыта, а щель В закрыта, в определенном месте наблюдается 25 световых вспышек в секунду. Когда щель А закрыта, а щель В открыта, в том же месте наблюдается 16 вспышек в секунду. Подробно объясните, можно ли, исходя из этих данных, вычислить частоту вспышек, когда открыты обе щели.

4.На рис.15 видно, что вероятность обнаружения частицы в данном положении внутри «ящика» максимальна для одних мест и равна нулю для других. Как частица может перемещаться из одного места, которому отвечает максимальная вероятность, в другое, если при этом придется проходить через такие места, где ей не разрешено находиться? Подробно разъясните эту ситуацию, используя те эксперименты, которые вы можете предложить для решения задачи.

Задачи

1.Какой должна быть температура абсолютно черного тела, чтобы максимум в его спектре излучения приходился желтый свет ( 600нм )?

2.Эффективная температура Солнца приблизительно равна 5800 К. На какую длину волны придется максимум излучаемого им света, если считать, что Солнце излучает как абсолютно черное тело?

3.Граничная длина волны фотоэффекта для некоторого вещества составляет 300 нм. Чему равна его работа выхода?

4.Для полной задержки фотоэлектронов, выбитых из некоторого вещества излучением длиной волны 210 нм, требуется напряжение 2,7 В. Чему равна работа выхода этого вещества?

5.Работа выхода платины равна 5,2 эВ. Чему равна предельная длина волны фотона, при которой он еще может выбить фотоэлектрон из платины?

6.Работа выхода бария равна 2,48 эВ. Чему равна максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов, выбитых из бария фотонами с длиной волны 200 нм?

7.Для изучения фотоэффекта на литии в качестве источника ультрафиолетового излучения используется ртутная лампа. С помощью различных светофильтров из ее спектра можно вырезать излучения с определенными длинами волн. Использованные длины волн и соответствующие им напряжения полной задержки тока фотоэлектронов приведены в таблице

Постройте по данным этой таблицы график зависимости V0 от (но не от !). Определите по нему работу выхода для лития. Вычислите полученное из эксперимента значение he и сравните с тем, которое можно вычислить, используя значения

57

фундаментальных атомных постоянных, приведенные в разде-

ле 1.2.

8.При определенных условиях сетчатка человеческого глаза может регистрировать всего лишь 5 фотонов синезеленого света ( 5 10 5см). Чему равно соответствующее количество энергии, воспринятой сетчаткой, в эргах и электронвольтах? Какая мощность будет поступать в глаз, если он каждую секунду поглощает 5 таких фотонов?

9.Какой массой обладает фотон с длиной волны 6 10 5см (желтый свет)? Сколько нужно набрать таких фотонов, чтобы их масса сравнялась с массой покоя электрона?

10.Рентгеновский фотон с энергией 20 кэВ претерпевает комптоновское рассеяние на электроне. Чему равна длина волны падающего фотона и фотона, рассеянного на угол 90 ? Чему равны энергия рассеянного фотона и кинетическая энергия электрона отдачи?

11.Фотон с длинной волны 0,08 нм испытывает комптоновское рассеяние на 90 . Чему равна энергия рассеянного фотона и какую энергию фотон передал электрону?

12.Чему равна связанная с вами длина волны, когда вы бежите со скоростью 10мс? Какой смысл имеет подобная длина волны?

13.Чему равна частота и энергия фотона с длиной волны

0,1 нм?

14.Какую разность потенциалов должен пройти электрон (из состояния покоя), чтобы его длинаволны сталаравна0,16нм?

15.Протон, фотон и электрон имеют одинаковую длину волны 0,1 нм. Если все их пропустить из некоторой точки в момент t 0, то когда они появятся в точке на расстоянии 10 м?

16.Чему равна скорость атома гелия, если его длина волны равна 0,1 нм?

17.Нейтрон, находящийся в тепловом равновесии с окружающей средой при комнатной температуре (такой

58

нейтрон называется тепловым), имеет энергию 0,0025 эВ. Чему равна длина волны теплового нейтрона?

18.Чему равна энергия фотона, если длина его волны равна: а) размерам атома (10 8см), б) размерам атомного ядра

(5 10 13см)?

19.Процесс испускания атомом фотона зеленого света

( 500нм) длится около 10 9 c. Сколько колебаний содержится в фотоне? Чему равна «длина» такого волнового пакета?

20. Пучок электронов проходит со скоростью 108 смс сквозь щель шириной 0,01 мм. Какова ширина центрального дифракционного максимума на экране, отстоящем на 1 м от щели?

21. Заполните пропуски в следующей таблице

функции от источника А равно A(x0) 3; этот источник со-

здает 18 вспышек света в секунду в узкой области около точки x0 . Значение волновой функции в той же точке от источника В равно B(x0) 5. Сколько вспышек в секунду будет наблю-

даться на экране от одного источника В и одновременно от источников А и В?

23. Положение электрона в направлении оси x локализовано с точностью 1 мм. С какой точностью можно определить компоненту его импульса в этом направлении?

24. Протон в ядре локализован с точностью до размеров, равных радиусу ядра. Чему равна неопределенность в скорости протона, находящегося в ядре атома железа (R 6 10 13см)? Чему равна соответствующая неопределенность в энергии протона?

25. Можно считать, что электрон в атоме водорода заключен в области вокруг ядра радиусом 5 10 9см. С помощью соотношения неопределенностей оцените импульс электрона и отсюда его кинетическую энергию.

26. Если атом каким-либо образом возбудить, то в среднем спустя 10 8c он самостоятельно испустит фотон. Чему равна неопределенность в энергии испущенного атомом излучения?