2706

1.5. Основы квантовой теории

Описанные экспериментальные факты убедительно доказали двойственную природу излучения и вещества: электрон распространяется наподобие волны, а свет взаимодействует подобно частицам. Как же описать «частицы света» и «электронные волны»?

Мы часто пользуемся понятием частоты электромагнитной волны. Однако это несколько произвольный термин, поскольку в действительности о частоте электромагнитной волны нельзя говорить. Излучение никогда не может быть охарактеризовано единственной точно определенной частотой. О частоте волны можно говорить в том случае, когда эта волна равномерно распределена во всем пространстве. Это означает, что волна с единственной частотой должна иметь бесконечную протяженность. Однако все генераторы электромагнитных волн, будь то антенны или атомы, излучают лишь в течении конечных отрезков времени. Следовательно, волны излучения никогда не имеют бесконечной протяженности и не могут поэтому характеризоваться единственной частотой. Существующее в действительности излучение всегда состоит из набора (суперпозиции) волн с различными частотами. Если эти частоты заключены в узкой области около центральной частоты, то интерференция соответствующих волн оказывается конструктивной в одной области пространства и деструктивной во всем остальном пространстве. Результатом такой суперпозиции оказывается локализованная группа колебаний, которая называет-

ся волновым пакетом (рис.1.10).

Рис. 1.10. Волновой пакет (или фотон)

21

Волновой пакет электромагнитного излучения (т.е. фотон) распространяется как целое со скоростью света. Область частот, соответствующая световому фотону, чрезвычайно узка.

Например, при излучении атомом фотона желтого света с центральной частотой 5 1014с-1 область частот вокруг центральной соответствует всего лишь 2 10 6 , что отвечает диапазону длин волн 0, 1 нм. При средней длине волны 600 нм разброс заключен от 599,9 нм до 600,1 нм. Это означает, что ни одна спектральная линия не является абсолютно резкой; все они всегда имеют некоторую естественную ширину. В действительности фотон состоит не из нескольких колебаний, как показано на рис.1.9, а из 105 106 колебаний. Пакет, составленный из столь большого числа колебаний, сохраняет многие свойства волновых характеристик. Но вместе с тем он является дискретным образованием и будет взаимодействовать, например, при комптоновском рассеянии или фотоэлектрическом эффекте с каждым электроном в отдельности.

Рассмотрим простой эксперимент с электронами. Направим пучок электронов на плоскость, в которой прорезаны две щели A и B (рис.1.11.)

Пусть щель В закрыта, так что все электроны, проникшие за плоскость, прошли через щель А. На сцинцилирующем экране, расположенном за щелью, возникнет освещенная полоса. Интенсивность освещения экрана связана с частотой попадания прошедших электронов. Красная кривая воспроизводит такое распределение. Как видно, максимум распределения находится точно против щели А. При этом распределение гораздо шире щели. Если теперь закрыть щель А и открыть щель В, то мы получим точно такое же распределение, только симметричное относительно щели В.

Что произойдет, когда открыты обе щели? Если электроны ведут себя подобно маленьким шарикам, то следовало бы ожидать, что часть их, пройдя щель А, создаст такую же картину, как на рис.1.11(а), а электроны, прошедшие щель В, рас-

22

пределятся как на рис.1.11(б). Общая картина тогда должна получиться суммированием обоих распределений интенсивности. Однако это предсказание, основанное на классических рассуждениях, не подтверждается экспериментом с электронными пучками. Наблюдаемая картина оказывается более сложной (рис.1.11(в)).

Пучок электронов

Экран

Рис. 1.11. Распределение частоты попаданий электронов на экран при одной открытой щели (а, б) и при двух открытых

щелях (в)

Максимум интенсивности находится посредине между щелями, и по обе стороны от центрального максимума имеется несколько побочных максимумов с постепенно уменьшающейся интенсивностью. Единственное заключение, которое можно сделать, - что электроны ведут себя как волны и создают интерференционные эффекты аналогично световым волнам.

Если же через щель проходит единичный фотон или электрон, он не будет «размазываться» в соответствии с распределением, показанным на рис.1.11, а попадет на экран в определенной точке. Но абсолютно невозможно предсказать в какую точку экрана попадет электрон.

После того как через щели пройдут, например, первые 10 электронов или фотонов, распределение может иметь вид, сходный с представленным на рис.1.12.а, где каждая клеточка соответствует отдельной световой вспышке в данном месте экрана.

Пучок электронов

а

в

Рис.1.12. Распределение световых вспышек на экране после а) 10 событий, б) 30 событий, в) нескольких тысяч событий

Пока число событий (попаданий на экран) мало, виден лишь случайный разброс клеточек. При наличии 30 событий (рис.1.12.б) картина обнаруживает определенную структуру: число событий около центрального максимума явно больше, чем в других областях экрана, и между группами клеточек появляются выраженные провалы. После большого числа событий (несколько тысяч) распределение можно изобразить плавной кривой (рис.1.12.в).

Таким образом, для каждого отдельного фотона или электрона можно говорить только о вероятности его попадания в данную точку экрана. Ордината кривой распределения для данной точки экрана пропорциональна вероятности того, что фотон или электрон окажутся в данном месте экрана. Указанная вероятность максимальна для точек посредине между щелями и минимальна в долинах, разделяющих максимумы. Кривая на рис.1.12.в, описывающая распределение частоты событий, называется распределением вероятностей.

Эта кривая в точности совпадает с предсказаниями волновой теории для случая дифракции излучения с такой же длиной волны.

Таким образом, интерференцию обнаруживают отдельные электроны или фотоны, но для того чтобы наблюдаемую дифракционную картину можно было сопоставить с предсказываемой волновой теорией, нужно большое число частиц. Когда в щель в данный момент проходит только один электрон или фотон, он интерферирует лишь с самим собой. Эта «самоинтерференция» возникает из-за того, что часть электронной волны, прошедшая через щель А, интерферирует с той частью волны, которая прошла через щель В.

Из данных рассуждений следуют два важных заключения, имеющих решающее значение для развития квантовой теории:

1.Отдельные электроны или фотоны обнаруживают волновое поведение, состоящее в том, что они способны интерферировать сами с собой.

2.Отдельные электроны или фотоны имеют корпускулярное поведение, состоящее в том, что они взаимодействуют

свеществом только в дискретных точках; но указать места, где происходят такие взаимодействия в каждом отдельном случае, можно только в вероятностном смысле.

Как же понимать тот факт, что электроны или фотоны появляются иногда в облике частиц, а иногда в облике волн? Ответ на этот вопрос становится ясен, если четко представить

25

себе, что когда поведение электрона или фотона классифицируется как поведение частицы или волны, то мы навязываем классическое описание объектам, имеющим существенно неклассическую природу. Электроны и фотоны не подчиняются законам классической механики – их поведение правильно описывается только квантовой механикой.

При квантовомеханическом описании природы объект изучения и экспериментальный прибор образуют единую систему. Рассматривать поведение изучаемого объекта имеет смысл только исходя из результатов измерений. Поэтому то, как проявляет себя электрон или фотон - как волна или как частица - зависит от характера проводимого над ним измерения. Таким образом, корпускулярный или волновой характер электрон или фотон приобретает лишь в глазах экспериментатора.

1.6. Волновые функции

Как следует из вышесказанного, взаимодействие электронов и фотонов с веществом выражается только на языке вероятностей. Следовательно, нужно соответствующее математическое описание таких процессов. Для этой цели вводится волновая функция частицы или фотона , которая используется для вычисления вероятности того, что частицу или фотон можно обнаружить (по их взаимодействию с веществом) в данной точке. Говорят, что в точке x0 амплитуда вероятности

частицы равна (x0).

Каков смысл амплитуды вероятности и как ее использовать для вычисления вероятности нахождения частицы в ка- кой-либо точке? При распространении электромагнитной волны происходят колебания напряженностей электрического и магнитного полей. В механической волне колеблются частицы вещества. Что же колеблется в квантовомеханической волне? Волновой функции (x) нельзя дать классического (т.е. механического или электромагнитного) толкования, т.к. не суще-

26

ствует того, что совершало бы колебания. Функция (x) не имеет прямого физического смысла – это лишь математическая функция, хотя во многом и сходная с амплитудой механических или электромагнитных волн.

В классической теории энергия совершающего колебания тела пропорциональна квадрату амплитуды. Энергия электромагнитной волны пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. В квантовой механике мы тоже имеем дело с интенсивностями, в частности, интенсивность квантовомеханической волны в какой либо точке есть вероятность найти частицу или фотон в этой точке. Вычисляя эту интенсивность (т.е. вероятность), нужно брать квадрат квантовомеханической волновой функции, амплитуда которой равна

(x).

Рассмотрим пучок электронов, падающих на две щели рис.1.13.

X

Рис.1.13. Пучок, проходящий через две щели

В точке экрана x x0 волновая функция равна (x0 ).

27

Для вычисления вероятности того, что электрон попадет на экран в области x около точки x x0 (т.е. для вычисления интенсивности потока электронов в этом месте экрана) мы должны возвести (x0 ) в квадрат и умножить эту величину на

ширину интервала x и соответствующий множитель пропорциональности

Амплитуду вероятности нельзя непосредственно изме-

рить; измерению поддается только пропорциональная (x)2

интенсивность или плотность вероятности. Поэтому реальное физическое значение квантовомеханическая волновая функция

(x) обретает только в виде (x)2 .

Вклассической теории дифракционную картину от двух щелей можно описать как результат интерференции волн от

отдельных щелей. Аналогично для волновых функций 1(x) и

2(x), которые описывают электронные волны, исходящие от двух щелевых источников, вероятность найти электрон в точке x x0 или интенсивность I(x0 ) потока электронов в этой точке равна

2(x) сначала надо сложить, а затем сумму возвести в квадрат. Это чрезвычайно важный момент, так как волновая функция имеет знак, т.е. может быть как положительной, так и отрицательной. Например, если 1(x0) 2 и 2(x0 ) 2 условные единицы, то

28

вероятность обнаружения электрона в точке x x0 равна нулю:

I(x0) A 1(x0) 2(x0)2 x A( 2) ( 2)2 x 0.

Однако если 1(x0 ) 2 и 2 (x0) 2, то интенсивность

I(x0) A( 2) ( 2)2 x 16 x.

В квантовой механике на энергию свободной частицы, движущейся в пространстве, не накладывается никаких ограничений. Такая частица может иметь любую длину волныhp и любую кинетическую энергию в нерелятивистском случае (в случае классической механики) определяется выражением

Отсюда видно, что зависимость между кинетической энергией и импульсом является квадратичной и на графике имеет вид параболы (рис.1.14), каждая точка которой характеризует разрешенную энергию для частицы и соответствующий этой энергии импульс.

В случае свободной частицы нет различий между классической и квантовой механикой – частица может иметь любую энергию. Однако если каким-либо образом ограничить движение частицы, то обе теории уже не будут приводить к одинаковым результатам. Рассмотрим частицу, которая может двигаться только вдоль прямой по оси x между x 0 и x L. С точки зрения классической физики частица движется между двумя непроницаемыми стенками, непрестанно совершая прямолинейное движение в направлении x и x. В этом случае не существует никаких ограничений на энергию, которую может иметь частица. Энергия и импульс частицы связаны соотношением (1.13), и разрешена любая их комбинация, удовлетворяющая этому соотношению.

29

Рис.1.14. Зависимость кинетической энергии свободной частицы от ее импульса

Рассмотрим движущуюся в аналогичных условиях квантовую частицу (например, электрон). Теперь необходимо принять во внимание волновые свойства частицы и, в частности, исследовать те условия, которые накладывает на волновую функцию (x) наличие стенок. Волновая функция частицы должна обращаться в нуль при x 0 и x L, поскольку частица не имеет права покинуть эти границы. Еще говорят, что

частица помещена в одномерный «ящик». Поскольку (x)2

должна быть равна нулю везде вне «ящика», то это распространяется и на его стенки. Другими словами в ящике должны помещаться стоячие волны де Бройля, т.е. на длине 2L укладывается целое число длин волн. Следовательно, длины волнn должны удовлетворять соотношению

30

Четыре первые из разрешенных волн показаны на рис.1.15.

n 1

2 1

n 2

2 2

n 3

2 3

n 4

2 4

Рис.1.15. Разрешенные волны квантовой частицы в «ящике»

Вероятность обнаружить частицу в какой либо точке внутри «ящика» пропорциональна (x)2 . Эта величина для n 4представлена на рис.1.16.

31

L

Рис.1.16. Амплитуда вероятности (x) и плотность вероятно-

сти A (x)2 для случая n 4

Видны четыре области, где можно с большой вероятностью обнаружить частицу, а также области, где эта вероятность равна нулю, причем не только на стенках, но и внутри «ящика». Совершенно ясно, что этот результат противоречит классическим представлениям.

Можно вычислить энергии, соответствующие разрешенным длинам волн, используя соотношение де Бойля и выражение (1.14). Разрешенные импульсы равны

n

Получен очень важный результат: частица в «ящике» может обладать только определенными значениями энергии. В отличие от классического результата, в котором зависимость E от p выражалась «сплошной» параболой, квантовый результат гласит, что на этой параболе частице «доступны» только отдельные точки (рис.1.17).

Eкин

h2

8mL2

n 4

n 3

n1n 2

p

h 2L

Рис.1.17. Зависимость кинетической энергии квантовой частицы ее импульса

Второй важный результат состоит в том, что частице запрещено иметь нулевую кинетическую энергию, т.е. частица внутри «ящика» не может находиться в покое. Покоящаяся в «ящике» частица имела бы равный нулю импульс и, следовательно, бесконечно большую волну де Бройля, которая не уместилась бы в «ящике» конечных размеров. Поэтому нет такой квантовой системы (за исключением абсолютно свободной ча-

33

стицы), которая имела бы нулевую кинетическую энергию. Даже при абсолютном нуле, когда согласно классической теории всякое движение должно прекратиться, квантовые системы все еще обладают кинетической энергией.

Частицу в «ящике» можно считать находящейся в потенциальной яме, внутренности которой соответствует конечная потенциальная энергия, а стенкам ящика и внешней области - бесконечно большая потенциальная энергия. Поэтому частица никогда не может покинуть «ящик», ибо для этого она должна иметь бесконечно большую энергию.

Реальные потенциальные ямы не имеют бесконечно высоких стенок, и частицы, приобретая достаточную энергию, могут покинуть их.

Для потенциальных ям разных типов получаются различные значения дозволенных энергий и расстояний между стенками. Если стенки ямы не являются непроницаемыми, то волновая функция не должна обращаться в нуль на стенках ямы, т.е. может происходить некоторая «утечка» волновой функции за пределы ямы. При этом в яме по-прежнему существуют стоячие волны и значения энергии по-прежнему дискретны.

1.7. Принцип неопределенности

Когда отдельные электроны падают поодиночке на двойную щель, каждый из них описывается как если бы «волна вероятности» (x) одновременно проходила через обе щели. Интерференция на экране обеих частей каждой волны и определяет наблюдаемое распределение вспышек. Но электрон вместе с тем есть частица и поэтому неделим. Невозможно представить себе часть электрона и часть заряда электрона. Интуитивно мы понимаем, что электрон не может одновременно пройти через две щели. Нельзя ли поставить такой эксперимент, который позволил бы узнать, через какую щель прошел электрон?

34

Если за одной из щелей расположить очень тонкий детектор, сквозь который электроны могут проходить, давая об этом сигнал, то можно регистрировать и вспышку на экране и регистрировать щель, через которую прошел электрон. Оказывается, что картина регистрируемых вспышек в таком эксперименте совпадает со случаем одной щели. Таким образом, датчик полностью разрушает интерференцию от двух щелей.

Изменим эксперимент и уберем датчик с пути электрона. Установим позади одной из щели источник света. Регистрируя фотон, рассеявшийся на прошедшем через щель электроне, будем фиксировать место падения электрона на экран. И в этом случае результат остается прежним. Действительно, какой бы метод регистрации электрона, прошедшего через данную щель, ни использовали, интерференционный эффект всегда будет исчезать.

Таким образом, интуиция подводит нас. Привычка представлять себе электрон в виде классической частицы вступает в противоречие с природой. В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг пришел к мыли, что в природе должен существовать общий принцип, ограничивающий возможности любых экспериментов. Этот принцип получил название принципа неопределенности.

О чем говорит принцип неопределенности? Под частицей понимают нечто локализованное в пространстве. Согласно классической теории, частица в каждый момент занимает вполне определенное положение и имеет точно определенную скорость движения. Попытаемся применить эти представления к элементарной частице, например, к электрону.

Рассмотрим задачу о том, как локализован электрон хотя бы в одном измерении. Для этого пропустим пучок электронов (если угодно, поодиночке) через узкую щель шириной d

(рис. 1.18).

Таким путем мы локализуем электроны в направлении x с точностью до величины d . Начальный импульс электронов p направлен вдоль оси y .

35

При прохождении через щель электронные волны дифрагируют и падают на экран на расстоянии L от щели, образуя на нем дифракционную картину. Эта картина в точности совпадает с дифракцией световых волн той же длины. Можно условно определить «ширину» дифракционной картины как

расстояние x1 между двумя первыми минимумами по обе сто-

роны от центрального максимума. Таким образом, если электрон в результате дифракции приобретает поперечный импульс, величина которого заключена в интервале от px до

px , как показано на рис. 1.18, то он попадет на экране в об-

ласть размером x1 возле центрального максимума.

Расстояние от центрального максимума до первого ми-

где - длина волны падающего излучения. Для электронов она связана с импульсом соотношением де Бройля

36

где py - импульс электрона вдоль оси y после дифракции. Поскольку даже наибольший угол дифракции мал, py практически равно p и поэтому можно без заметной ошибки заменить py на p . Тогда, подставляя выражения для 12x1 и p py в формулу (1.19) найдем

Иначе говоря, мы не знаем точно в какое место экрана попадет отдельный электрон; мы знаем лишь, что большинство электронов попадет в область размером x1 вокруг цен-

трального максимума. Поэтому величину px можно рассмат-

ривать как неопределенность, вносимую в значение импульса отдельного электрона дифракцией. Неопределенность же начального положения электрона x просто равна ширине щели d . Следовательно, соотношение (1.21) говорит, что произведение неопределенности координаты частицы x в направлении x и неопределенность импульса частицы px в

том же направлении равно постоянной Планка.

37

В действительности проведенный расчет был довольно грубым и поэтому можно лишь утверждать, что упомянутое произведение весьма приближенно равно этой постоянной

Если мы захотим определить местонахождение электрона более точно, то это можно сделать, взяв более узкую щель. Но при уменьшении x должно возрасти p так, чтобы их произведение осталось постоянным, как этого требует принцип неопределенности. Иначе говоря, более точно локализовав электрон, мы оплатим более точное знание его местонахождения уменьшением точности в определении его импульса. И наоборот, если мы определяем с высокой точностью импульс (скорость) электрона, то такое измерение лишает нас возможности точно узнать, где находится электрон после измерения.

Важно понимать, что принцип неопределенности относится к проблеме предсказания событий. Когда электрон проходит через щель, мы знаем лишь, что он попадет на экран в область размером x1 около центрального максимума, а значит,

неопределенность в его поперечном импульсе составит px .

После того как электрон попал на экран, мы знаем, где это произошло по вспышке света. Однако до того, как это имело место, мы можем задать только вероятность вспышки света в какой-либо точке экрана. Квантовая теория не может предсказать результат отдельного события, однако она дает с большой точностью средние значения для большого числа событий. В этом и состоит основной смысл принципа неопределенности.

Принцип неопределенности является одним из проявлений корпускулярно-волнового дуализма излучения и вещества. Волну нельзя локализовать в пространстве, и поэтому любое измерение положения объекта, обнаруживающего волновые свойства, принципиально сопряжено с неопределенностью. Принцип Гейзенберга дает количественное выражение этой

38

неопределенности. Нильс Бор высказал утверждение, что если в каком-либо эксперименте мы можем наблюдать одну сторону физического явления, то мы одновременно лишены возможности наблюдать дополнительную к первой сторону явления. Это утверждение получило название принципа дополни-

тельности Бора.

1.8. Дополнительные сведения по квантовой механике 1.8.1. Волновая функция

Наличие у электрона волновых свойств показывает, что электрону следует сопоставить некоторое волновое поле, аналогичное волне де Бройля для частицы с фиксированными значениями частоты E /h и волнового вектора

k P/ .Так как ни одна точка пространства и ни один момент времени ничем не выделены среди других аналогичных категорий, то вероятность обнаружить свободную частицу в данной точке пространства в определенный момент времени, пропорциональную интенсивности волны, должна быть постоянной. Это условие можно выполнить, приняв волновую функцию в виде:

ница.

Физическое объяснение волновой функции, впервые предложенное М. Борном, заключается в том, что величина

(r,t) 2 dV пропорциональна вероятности того, что электрон

будет обнаружен в момент времени t в элементе объема dV , расположенном в окрестности точки r(x, y,z). Обозначив эту вероятность через, получим

39

Таким образом, для волновой функции физический

смысл имеет только величина интенсивности, пропорциональная (r,t) 2 .

Приведенное определение (1.2) может быть дополнено условием

где стоящий слева интеграл по всему пространству есть вероятность обнаружить частицу в момент времени t в любой точке пространства. Условие (1.3) называется условием нормировки волновой функции. Для нормированных волновых функций состояние (1.2) можно записать в виде

Здесь p(r,t)- плотность вероятности.

Вероятность обнаружения частиц в некотором конечном

Наряду с волновой функцией одной микрочастицы можно ввести понятие волновой функции системы микрочастиц -(r1,r2 ,...,rN ,t). Физический смысл волновой функции систе-

мы N частиц заключается в том, что величина

дает вероятность того, что в конкретный момент времени t первая частица находится в единице объема dV1, окружаю-

40