2706

водной по направлению l . В частном случае, когда вектор l сонаправлен с одной из координатных осей, например с Ox

по направлению координатной оси - это оператор соответствующей частной производной.

Используя оператор производной по направлению, запишем с помощью оператора Гамильтона производную век-

торного поля a по направлению l :

l

Формула (2.84) эквивалентна совокупности трех формул (2.83) для координат вектора a.

2.9.3. Примеры решения задач

Задача 1. Пусть U(M) и V(M) - скалярные поля. Дока-

зать справедливость формулы grad UV VgradU UgradV .

Решение.

V U U V VgradU UgradV

Задача 2. U(M) - скалярное поля, a(M) - векторное поле. Доказать справедливость формулы

div Ua Ua gradU a Udiva .

U a U a gradU a Udiva .

Задача 3. Доказать справедливость формулы

rot Ua gradU a Urota ,

где U(M) - скалярное поле, a(M) - векторное поле.

Решение.

U a U a gradU a Urot a .

Замечание. Прежде, чем рассматривать следующий пример, напомним понятие двойного векторного произведения.

Если считать, что векторы b и c неколлинеарны, то век-

тор a b c ортогонален ненулевому вектору b c , а по-

следний ортогонален плоскости векторов b и c .

Поэтому вектор a b c компланарен плоскости векто-

ров b и c и может быть представлен в виде их линейной комбинации a b c b c .

Доказано, что a c , a b . В результате

Задача 4. Доказать справедливость формулы

123

rot a b adivb b diva b a a b , (2.86)

где a(M) и b(M) - векторные поля.

Решение.

rot a b a b a b a b .

Воспользуемся формулой для вычисления двойного век-

торного произведения с учетом того правила, что оператор действует в произведении только на тот сомножитель, который стоит непосредственно после него.

rot a b i x2 z x y x2 y2 j 2xyz y x k 2xy2 z x2

124

Рассмотрим теперь, как применять формулу

rot a b adivb b diva b a a b .

Предварительно рассмотрим, как вычислить b a.

Это скалярное произведение двух векторов, оно равно сумме произведений соответствующих координат

Получили дифференциальный оператор, который будет действовать на последующий множитель - вектор a.

Теперь вычислим

rot a b xyzi x j zk 0 yi x j xyk yz 1

125

xyz x j xy2 z xy k y2 zi y j x2 zi x2 y2 i xyk

xyz j xy2zk xi x2 k y2 z y y2 z x2 z x2 y2 x i

y x 2xyz j xy2 z xy xy xy2 z x2 k

x2 y2 x2 z x y i y x 2xyz j 2xy2 z x2 k .

Сравнивая результаты, видим, что они совпали.

Контрольные вопросы

1.При каких условиях имеет смысл считать полями следующие величины:

распределение плотности вещества по объему Земли,

плотность населения в стране,

плотность населения в городском квартале,

плотность звезд в галактике,

плотность воздуха в атмосфере.

Укажите, какие из полей будут скалярными и какие векторными.

2. Две концентрические полые сферы несут равные разноименные заряды.

Рис. 2.17

126

Существует ли поле в областях A,B и C? Ответьте на тот же вопрос в случае, когда обе сферы несут равные одноименные заряды.

3.Если тело «опустить» в поле силы, к действию которой оно чувствительно, то движение тела не обязательно будет происходить по силовой линии. Объясните, почему это так. При каких особых условиях тело будет двигаться точно вдоль силовой линии?

4.Отличен ли от нуля гравитационный потенциал внутри сферической полости в веществе?

5.Дивергенция векторного поля? Каков физический смысл дивергенции?

6.Ротор, его физический смысл? Приведите примеры безвихревых полей.

7.Что такое скалярный потенциал, векторный потенциал?

Задачи

1.Вода течет по цилиндрической трубе. Нарисуйте векторы скорости для точек, расположенных по диаметру трубы. Сделайте такой же чертеж для потока нефти, принимая, что за единицу времени объем нефти, протекший по трубе, такой же как и объем воды. (Нефть более вязкая, чем вода, поэтому по мере приближения к стенкам трубы нефть течет медленнее.)

2.Вода втекает в овальный бассейн через отверстие у дна

водном конце бассейна, а вытекает через отверстие у дна в другом конце бассейна. Нарисуйте линии потока воды, если смотреть из точки, расположенной над бассейном, и из точки сбоку бассейна.

3.Какова разность гравитационных потенциалов у подножья и на вершине Останкинской телебашни, высота которой равна 500 м.

4.Чемуравен потенциал поля тяготения на лунной орбите?

5.На некотором расстоянии друг от друга находятся два шара. Масса одного из них вдвое больше массы другого. Нари-

127

суйте силовые линии гравитационного поля и эквипотенциальные поверхности (подобно тем, что изображены на рис. 2.7 и 2.9).

6.Вычислите отношение гравитационных полей тяготения Солнца и земли в точке, где находится Луна во время лунного затмения и во время солнечного затмения. Что можно сказать об изменении гравитационного потенциала, в котором находится Луна.

7.Чему равен гравитационный потенциал земного тяготения на поверхности Земли?

8.Три заряда, один в +2 ед. СГСЭ и два других в -1ед. СГСЭ, расположены в вершинах равностороннего треугольника. Изобразите силовые линии поля этих зарядов.

9.Заряд в -50 ед. СГСЭ расположен в начале координат. Чему равны напряженность и потенциал электрического поля

вточке с координатами x 4см, y 4см?

10.В некоторой точке пространства точечный заряд создает электрическое поле напряженностью 30 ед. СГСЭ потенциала/см, направленное в положительную сторону оси x. В той же точке другой точечный заряд создает поле 60 ед. СГСЭ потенциала/см в положительном направлении оси y . Какая

сила будет действовать на протон, помещенный в эту точку.

11.Какая сила действует на электрон в однородном поле напряженностью 100 ед. СГСЭ потенциала/см?

12.На расстоянии 100 км от электрически заряженного астероида напряженность его поля составляет 0,1 ед. СГСЭ потенциала/см. Какой заряд несет астероид и какова плотность заряда на его поверхности, если он имеет сферическую форму?

13.На поверхности Земли равномерно распределены избыточные электроны в количестве 1 электрон на 1 см2. Чему будут равны заряд Земли и электрический потенциал на её поверхности?

14.Нарисуйте эквипотенциальные поверхности для двух равных разноименных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.

128

15. НА одной прямой расположены три заряда: Q1=+2 ед. СГСЭ при x1 10см; Q2 4 ед. СГСЭ при x2 0 и Q3 3 ед. СГСЭ при x3 10см. Нарисуйте электрические силовые линии.

16.Вычислите гравитационный и электрический потенциалы на расстоянии 10-8 см от протона.

17.Какое ускорение будет испытывать ядро атома гелия

воднородном электрическом поле напряженностью 50 ед. СГСЭ потенциала/см?

18.Представьте себе, что протон имеет форму равномерно заряженного шара радиусом 10-13см. Чему будет равно электрическое поле на поверхности протона?

19.Сфера радиусом 1 м равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда 0,3 ед. СГСЭ потенциала/см. Чему равны напряженность и потенциал электрического поля на поверхности сферы и в 10 см от нее?

20.В противоположных вершинах квадрата со стороной

50 см размещены два заряда Q1 5 ед. СГСЭ и Q2 3 ед. СГСЭ. Чему равен потенциал поля в каждой из незанятых вершин квадрата?

21.В углах квадрата со стороной 10 см размещены четыре заряда, величины которых равны +3, -8, -5 и +10 ед. СГСЭ. Постройте векторную диаграмму сил и найдите результирующую силу, действующую на заряд + 10 ед. СГСЭ. Повторите построение для случая, когда заряд -8 ед. СГСЭ меняет свой знак.

22.На окружности радиусом 1 м на равных расстояниях друг от друга расположены шесть одинаковых зарядов +10 ед. СГСЭ. Чему равны напряженность и потенциал электрического поля в центре окружности? Вычислите эти величины для случая, когда знаки первого, третьего и пятого зарядов поменялись на противоположные.

23. Электрический потенциал в некоторой точке пространства равен эл 800 ед. СГСЭ. Какую потенциальную энергию имеют в этой точке: а) протон и б) электрон?

24.В точках А и В электрические потенциалы соответственно равны +100 и -150 ед. СГСЭ. Какую работу следует совершить, чтобы переместить из А в В электрон? Равна ли она работе, которая нужна для перемещения из А в В протона?

25.Две параллельные пластины, отстоящие друг от друга на 2 см, подсоединены к батарее, которая создает между ними напряжение 600 В. Какая электрическая сила будет действовать в этом поле на масляную каплю, несущую заряд 4 e?

3. ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 3.1. Основы теории относительности

Вконце XIX столетия стало ясно, что физика встретилась

ссерьезными трудностями. К тому времени классическая, ньютоновская динамика находилась на прочном основании и считалось, что эта теория справедлива в любой инерциальной системе отсчета и что все такие системы равноправны. Была также обоснована максвеловская теория электромагнетизма, и физики пришли к выводу, что свет представляет собой электромагнитные волны, описываемые уравнениями Максвелла. Важной составной частью теории распространения электромагнитных волн на начало XX века было понятие эфира. Считалось, что для распространения волн, в том числе и световых, нужна среда – эфир. Полагалось, что уравнения Максвелла справедливы в системе отсчета, покоящейся относительно эфира. В отличие от уравнений Ньютона, которые годились во всех системах отсчета, уравнения Максвелла как будто требовали преимущественной системы отсчета.

Такое механистическое воззрение на природу электромагнитных явлений приводило к новым трудностям. Чтобы объяснить новые экспериментальные факты, физикам приходилось вводить многочисленные произвольные предположения. Наконец, теория эфира окончательно зашла в тупик, когда три различных эксперимента привели к следующим выводам: а) эфир увлекается движущейся Землей так, что все лабораторные установки, на которых проводятся эксперименты, всегда покоятся относительно эфира; б) Земля свободно движется сквозь эфир, который покоится относительно «неподвижных» звезд; в) движущаяся материальная среда (например, вода), в которой распространяется свет, увлекает за собой эфир, но уже со скоростью, составляющей только половину скорости среды. Натолкнувшись на эти противоречивые результаты, теория эфира, в конце концов, рухнула.

В 1905 г. Альберт Эйнштейн (1879-1955) выдвинул новую радикальную идею. Он отбросил теорию эфира с ее произвольными предположениями и заменил ее только двумя постулатами. На базе этих постулатов Эйнштейн построил теорию относительности, которая перебросила мост между механикой и электромагнетизмом и связала воедино обе великие теории классической физики.

Теория Эйнштейна потребовала отказа от прежних представлений о том, что пространство и время – совершенно различные и не связанные друг с другом понятия. С точки зрения Эйнштейна, мы живем не в трехмерном пространстве, к которому присоединяется понятие времени; напротив - пространственные и временные координаты неразрывно связаны друг с другом и неравноправны, образуя четырехмерное простран-

ство-время.

Принцип относительности Галилея или классическая физика утверждают, что законы механики остаются неизменными во всех инерциальных системах отсчета. Ньютоновские уравнения динамики удовлетворяют этому принципу: если в инерциальной системе отсчета K справедливо уравнение

F ma, то оно будет справедливо и в системе K , движущейся относительно K с постоянной скоростью. Обе системы отсчета равноправны, так как ускорение представляет собой быстроту изменения скорости и на нем не сказывается относительное движение систем K и K . Ускорение в обеих системах оказывается одинаковым.

Чтобы выразить положение тела в одной из этих систем через координаты другой системы отсчета, следует использовать так называемое преобразование Галилея. Рассмотрим тело P , которое находится на расстоянии x от начала координат O системы K (рис.3.1). Для наблюдателя, связанного с системой отсчета K , положение тела P будет меняться во времени по

(штрихованные величины всегда будут относиться к системе отсчета K ). Это и есть преобразование Галилея.

K K’

V

Xvt X’

Рис. 3.1. Преобразования Галилея

В ньютоновской динамике время является абсолютной величиной, иначе говоря, время определенно однозначно, а его численное значение – одинаково во всех системах отсчета независимо от их движения, т.е. всегда t t .

Принцип относительности классической физики, включающий преобразование Галилея и понятие абсолютного времени, правильно описывает обычные механические явления, однако оказывается совершенно неприменим в приложении к электромагнитным явлениям. Это обстоятельство можно проиллюстрировать с помощью ситуации, изображенной на рис.3.2. Длинный прямолинейный равномерно заряженный проводник расположен параллельно оси x в системе отсчета K и покоится относительно этой системы (рис.3.2,а). На расстоянии r от проводника находится неподвижный заряд q.

Ясно, что на q со стороны заряженного проводника дей-

ствует сила отталкивания Fэл . На рис.3.2,б те же проводник и

заряд показаны с точки зрения наблюдателя в системе K , движущейся относительно K . Поскольку K движется по от-

133

ношению к K вправо, наблюдателю в K кажется , что проводник и заряд движутся влево. Так как проводник длинный и заряжен равномерно, то наблюдатель в K , вычисляя силу, действующую со стороны проводника на заряд q, получит ту

же величину Fэл , что и неподвижный наблюдатель в K .

Рис. 3.2. Применение принципа Галилея к электромагнитному взаимодействию

Но движущийся проводник представляет собой постоянный ток и, так как заряд q тоже движется, то для наблюдателя в системе K в этом случае, помимо электрической силы, на заряд qбудет действовать и магнитная сила. Применение правила для определения направления магнитной силы показыва-

ет, что Fмаг направлена противоположно Fэл . В результате наблюдатель в системе K приходит к выводу, что результирующая сила, действующая на q, меньше силы, определенной в системе K .

Это недопустимо, ибо, по существу, означает, что есть принципиальное различие между законами механического

134

движения (которые одинаковы во всех инерциальных системах отсчета) и законами динамики электромагнитных явлений – электродинамики (которые оказываются в этих системах неодинаковыми). Но где провести границу между механическими и электрическими системами? Вещество состоит из заряженных частиц, и именно электрические силы лежат в основе строения вещества. Иными словами, все механические системы содержат электрические заряды и во всех электродинамических системах движущиеся частицы имеют массу. Более того, все физические законы должны быть одинаковы во всех инерционных системах отсчета. Решение этой, а так же других проблем привело к созданию теории относительности. Фундаментом этой теории стали световые сигналы.

мобиля V 100км/час.

А теперь допустим, что автомобиль заменили световым импульсом, который распространяется со скоростью c в системе K . Наблюдатель в системе K может определить скорость c этого светового импульса в своей системе, измеряя время распространения импульса t между двумя приемниками света A и B , находящихся на точно измеренном расстоянии l друг от друга, а именно c l t . Какой же результат получит этот наблюдатель? Не найдет ли он, что c c v ? С точки зрения повседневного опыта, который покоится на принципе относительности Галилея, ответ окажется совер-

135

шенно неожиданным: измеренная наблюдателем в системе K скорость света тоже равна c! Аналогично, если наблюдатель в системе K измерит скорость светового импульса, испущенного источником в движущейся системе K , воспользовавшись той же процедурой измерения времени распространения импульса между приемниками света, расположенными на расстоянии l l друг от друга, то он обнаружит, что скорость в его системе равна c.

Результаты этих экспериментов можно сформулировать очень просто: скорость света не зависти от движения источника света относительно наблюдателя. Согласно послед-

ним данным скорость света в пустоте составляет

(2,997 0,000010) 1010 смс.

В лабораторных условиях чрезвычайно трудно достичь скоростей, превышающих 105см/с, поэтому в земных условиях очень трудно проверить постоянство скорости света. Однако, можно провести астрономические наблюдения, результаты которых четко доказывают постоянство скорости света и ее независимость от движения источника или наблюдателя. На рис. 3.3 показана двойная звезда – две звезды, вращающиеся относительно общего центра масс. Такая ситуация не является редкой. Вероятно около половины звезд в нашей галактики – двойные. Скорости орбитального движения двойных звезд довольно велики, они часто превышают 3·106см/с.

При построении рис.3.3 предполагалось, что обе звезды имеют одинаковые размеры и яркости и что мы смотрим на двойную звезду по направлению, лежащему в плоскости орбиты. Поэтому, когда звезды находятся в изображенных на рисунке положениях, одна из них приближается к нам со скоростью V , а другая удаляется с такой же скоростью.

Если бы скорость света зависела от движения источника, то свет приближающейся к нам звезды (A) распространялся бы со скоростью c V , а свет удаляющейся звезды (B) имел бы скорость c V . Если V 3 106 смс 30кмс и если двойная

136

звезда находится от нас на расстоянии 100 световых лет, то разница во временах прихода световых сигналов, распространявшихся со скоростями c V и c V , составит примерно неделю. Иными словами, световые сигналы со звезды B должны были бы прийти на Землю на неделю позже, чем сигналы со звезды A. Однако если период обращения звезды составляет 12 суток, то звезда B уже через 6 суток окажется в положении, занимаемом звездой A.

Изменение скорости света привело бы к ситуации, когда в одно и то же время каждая из звезд была бы видна в двух положениях на небосводе.

Для заключения о скоростях света, испущенного обеими звездами, можно измерить интенсивность света, испущенного двойной звездой в целом, в зависимости от времени. При этом не требуется, чтобы приборы давали раздельные изображения

137

измерения скорости излучения, возникающего при распаде нейтральных пионов, двигавшихся со скоростью 0,99975 скорости света. При распаде нейтральных пионов испускаются гамма-кванты высокой энергии, имеющие скорость распространения, равную скорости света. В ходе эксперимента скорость гамма-квантов не суммировалась со скоростью пионов, а осталась равной скорости света.

Следовательно, скорость света постоянна.

Но как тогда согласовать утверждение о независимости скорости света от движения источника с алгебраическим сложением обычных скоростей в механике?

Эйнштейн показал, что простая формула механики для сложения скоростей неверна и должна иметь следующий вид

Если v1 и v2 малы по сравнению со скоростью света c (случай обычных механических движений), то слагаемое v1v2 c2 <<1 и им можно пренебречь. Тогда сумма скоростей равна V v1 v2 , что точно соответствует результату механики Ньютона. Если одна из скоростей равна скорости света, например v1 c , то

Этот результат подтверждает, что скорость света одинакова для всех наблюдателей, поскольку какая бы скорость v2 ни складывалась с c, по правилу сложения скоростей всегда получается c. В частности, если v1 c и v2 c, то все равно

V c.

139

Пусть наблюдатель принимает световые сигналы двух одинаковых источников, причем один источник неподвижен, а другой движется относительно наблюдателя. Выше было доказано, что в обоих случаях наблюдатель измерит одинаковые скорости сигналов. Но вместе с тем, очевидно, что между сигналами существует физическое различие: в одном случае источник света движется, в другом – неподвижен. Как это различие сказывается на самих сигналах?

Ответ заключается в эффекте Доплера: частота света, излучаемого приближающимся источником B , увеличивается по сравнению с частотой неподвижного источника A. Соотношение между частотами обоих сигналов имеет вид

Импульс электромагнитной или световой волны, обладающей энергией E, определяется как p Ec и пропорцио-

нален частоте волны pA A

где последнее приближенное равенство имеет место при v малых по сравнению с c. Следовательно,

где p v.

Таким образом, при движении источника световой волне передается дополнительный импульс (и энергия), но при этом ее скорость распространения остается неизменной.

Тот факт, что световые волны, испущенные движущимися источниками, обнаруживают доплеровское смещение часто-

140