2485
.pdf
А.Г. Москаленко М.Н. Гаршина Е. П. Татьянина Е.С. Рембеза Т.Л. Тураева
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Учебное пособие
Воронеж 2017
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
А.Г. Москаленко М.Н. Гаршина Е.П. Татьянина Е.С. Рембеза Т.Л. Тураева
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ И ФИЗИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Утверждено учебно-методическим советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2017
2
УДК 531:530.145(075.8)
ББК 22.317:22.314Я7
О-753
Основы квантовой статистики и физики твердого тела: учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые и граф. данные (1,61 Мб) / А.Г. Москаленко, М.Н. Гаршина, Е.П. Татьянина, Е.С. Рембеза, Т.Л. Тураева - Воронеж: ФГБОУ ВО «Воронежский
государственный технический университет», 2017. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) : цв. – Систем. требования : ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; Windows XP ; SVGA с разрешением 1024x768 ; Adobe Acrobat ; CD-ROM дисковод ; мышь. – Загл. с экрана.
В пособии содержится основной теоретический материал, задачи для контрольной работы по указанным разделам физики и примеры их решения.
Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования по направлению подготовки 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника» (профилей «Микроэлектроника и твердотельная электроника», «Электронное машиностроение»), дисциплине «Спецглавы физики».
Предназначено для студентов очной и заочной форм обучения.
Табл. 1. Ил. 48. Библиогр.: 10 назв.
Рецензенты: кафедра физики твердого тела и наноструктур Воронежского государственного университета
(зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Э.П. Домашевская); д-р техн. наук, проф. А.В. Строгонов
©Москаленко А.Г., Гаршина М.Н., Татьянина Е.П., Рембеза Е.С., Тураева Т.Л., 2017
©ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический
университет», 2017
3
ВВЕДЕНИЕ
Для успешного решения научных и производственных задач выпускник факультета радиотехники и электроники должен знать физические основы и принципы строения твердых тел, а также их свойства. Учебное пособие соответствует целям и задачам подготовки специалистов по учебному курсу «Спецглавы физики», который является продолжением курса «Физика». Для успешного усвоения материала учебного пособия необходимо знание основ квантовой механики, физики атомов и молекул, оптики и электричества.
Целью курса «Спецглавы физики» является приобретение знаний об основополагающих понятиях статистической физики, формирование понимания процессов микромира как вероятностных, основанных на статистических закономерностях, изучение фундаментальных результатов квантовой теории, касающихся строения и свойств твердого тела, а также физики полупроводников.
Пособие состоит из трех глав, разделенных на несколько разделов, посвященных элементам квантовой статистики, основам зонной теории строения твердых тел и физике полупроводников. В конце каждой главы приведены примеры решения типичных задач.
Учебное пособие соответствует требованиям Федерального государственного стандарта высшего образования по направлению подготовки бакалавров 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника» дисциплины «Спецглавы физики» для студентов очной и заочной форм обучения.
3
3
1.ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ СТАТИСТИКИ
1.1.Классические и квантовые статистики. Принцип неразличимости тождественных частиц
Статистическая физика – радел физики, задача которого выразить свойства макроскопических тел, то есть систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов и т.д.) через свойства этих частиц и взаимодействие между ними. В таких макросистемах проявляются особые, так называемые статистические или вероятностные закономерности. Математический аппарат статистической физики – теория вероятностей. Рассчитать движение и взаимодействие огромного числа частиц, образующих макросистему, практически невозможно. Поэтому основной задачей статистической физики, является нахождение функции распределения частиц системы по тем или иным параметрам (координатам, импульсам, энергиям и т.п.), а также вычисление их средних значений, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Поведение средних значений в широких пределах не зависит от конкретных точных значений координат и скоростей частиц. Таким образом, статистическая физика имеет дело со статистическими распределениями, определяющими, с какой вероятностью частицы системы имеют тот или иной набор значений параметров, определяющих их состояния. В зависимости от свойств частиц и условий, в которых они находятся, системы описываются классической или квантовой статистиками.
Если квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, то в ней наблюдается специфическое явление, не имеющее аналогии в классической механике. Пусть, например, столкнулись две одинаковые «классические» частицы и после столкновения разлетелись в разные стороны. Для результата столкновения не имеет значения, какая из частиц полетела, например, вверх, так как частицы одинаковы, поэтому
4
а) |
б) |
в) |
|
Рис. 1.1 |
|
практически надо учесть обе возможности (рис. 1.1, а и 1.1, б). В классической механике можно различить эти два процесса, так как можно проследить за траекториями частиц во время столкновения.
В квантовой механике понятия траектории нет, и область столкновения обе частицы проходят с некоторой неопределенностью, то есть с «размытыми траекториями» (рис.1.1, в). В процессе столкновения области размытия перекрываются, и невозможно различить эти два случая рассеяния. Следовательно, в квантовой механике одинаковые частицы полностью неразличимы – они тождественны. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай – одна из одинаковых частиц полетела вверх, другая – вниз, индивидуальности у частиц нет. В квантовой механике все состояния, получающиеся перестановкой одинаковых частиц, (в отличие от классической) неразличимы, и при подсчете их числа принимаются за одно состояние.
Следовательно, квантовая статистика, в отличие от классической, основывается на принципе неразличимости тождественных частиц: тождественные частицы экспериментально различить невозможно. Это один из фундаментальных принципов квантовой механики.
5
В классической физике тождественные частицы можно различать по их положению в пространстве. В квантовой механике состояние частиц описывается волновой функцией. Поскольку квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах определенного объема, то математически принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде
|Ψ (x1,x2)|2 = |Ψ (x2,x1)|2 |
(1.1) |
где х1 и х2 – совокупность пространственных и спиновых переменных первой и второй частицы. Из выражения (1.1) следуют две возможности:
Ψ (x1,x2) = Ψ (x2,x1) или Ψ (x1,x2) = - Ψ (x2,x1) |
(1.2) |
То есть принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции.
Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет – антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.
1.2. Фермионы и бозоны. Невырожденные и вырожденные коллективы
Свойство симметрии или антисимметрии оказывается характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно все частицы по своему поведению в коллективе делятся на два класса. Микрочастицы, описываемые симметричными волновыми функциями, называются бозонами, антисимметричными – фермионами.
К фермионам относятся электроны, протоны, нейтроны и другие частицы с полуцелым спином: ћ/2, 3ћ/2 и т. д.,
где 2h – постоянная Планка. К бозонам относятся фотоны,
6
мезоны, фононы и другие частицы, обладающие целочисленным спином: 0, ћ, 2ћ и т.д.
В коллективе фермионы подчиняются принципу Паули и проявляют ярко выраженное стремление к "уединению". Если данное квантовое состояние занято фермионом, то никакой другой фермион данного типа не может находиться в этом состоянии. Бозоны, не подчиняющиеся принципу Паули, напротив, обладают стремлением к "объединению". Они могут неограниченно заселять одно и то же состояние и делают это тем "охотнее", чем их больше в этом состоянии.
Для проявления специфики частиц в коллективе необходимо, чтобы число состояний G, в которых может находиться отдельная частица, было соизмеримо с числом частиц N данной системы, т.е.
|
N |
1 |
(1.3) |
|
G |
||
|
|
|
|
Коллективы, для которых выполняется условие (1.3) |
|||
называются вырожденными. Если же |
|
||
|
N |
1, |
(1.4) |
|
G |
||
|
|
|
|
то число различных состояний много больше числа микрочастиц. В таких условиях специфика фермионов и бозонов проявиться не может, поскольку в распоряжении каждой частицы имеется множество различных свободных состояний и вопрос о заселении одного и того же состояния несколькими частицами не возникает. Подобные коллективы называются
невырожденными.
Классические частицы, у которых параметры состояния меняются непрерывно и число состояний G всегда бесконечно большое, могут образовывать только невырожденные коллективы. Квантовые же частицы, параметры состояний которых изменяются дискретно, могут образовывать как вырожденные, так и невырожденные коллективы.
7
1.3. Фазовое пространство. Элементарные ячейки. Плотность состояний
Для описания состояния системы частиц в статистической физике вводится фазовое пространство, определяющее состояние (фазу) системы.
Рассмотрим систему, состоящую из N частиц, для простоты считая, что частицы не имеют внутренних степеней свободы. Такая система описывается заданием 6N переменных:
3N координат (x, y, z) и 3N проекций импульсов (px, py, pz) частиц. Шестимерное пространство всех координат xi и
обобщенных импульсов pi рассматриваемой системы называется фазовым пространством. В этом пространстве состояние частицы в некоторый момент времени считается заданным, если известны ее координата и импульс, иначе говоря, состояние частицы изображается в виде точки в фазовом пространстве. Изменение состояния системы со временем можно представить, как движение точки в фазовом пространстве по некоторой линии, называемой фазовой траекторией.
В квантовой механике величины x и p можно определить лишь с точностью, допускаемой соотношением неопределенностей, поэтому состояние системы в этом случае изображается не точкой, а ячейкой некоторого объема. Элементом объема фазового пространства называется величина
Г = ГV Гp=dx·dy·dz·dpx·dpy·dpz , |
(1.5) |
здесь ГV=dx·dy·dz – представляет собой элемент объема пространства координат, а Гp =dpx·dpy·dpz – элемент объема пространства импульсов. Для классической частицы координаты и составляющие импульса могут меняться непрерывно, поэтому элементы ГV и Гp, а вместе с ними и элемент Г могут быть сколь угодно малыми. Для микрочастиц, обладающих волновыми свойствами, согласно соотношению неопределенностей элемент объема фазового пространства не может быть меньше h3, т.е. Г = ГV
8
p |
px |
0 |
|
pz |
p dp |
|
g (E) |
|
~ |
E |
0 |
E |
Рис. 1.2 Рис. 1.3
Подсчитаем число состояний, которыми обладает свободная микрочастица в интервале энергий от Е до Е+dE. Потенциальная энергия свободной частицы равна нулю. В этом случае элемент объема ГV равен просто объему V, в котором движутся частицы, поскольку никаких других ограничений на их положение не налагается. Для таких частиц удобно пользоваться не шестимерным фазовым пространством, а трехмерным пространством импульсов (рис. 1.2), элементарная ячейка которого равна Гp =h3/V.
Построим в пространстве импульсов две сферы радиусами р и р+dp. Между этими сферами находится шаровой слой, имеющий объем, равный 4πp2dp. Число элементарных
ячеек, заключенных в этом слое, равно |
|
|
|
|
||||
|
4 p 2 dp |
|
4 p 2 dp |
|
|
4 V |
p 2 dp |
(1.6) |
|
Гp |
h3 /V |
h3 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
Так как каждой ячейке соответствует одно состояние микрочастицы, то число состояний, приходящихся на интервал dp, заключенный между р и р+dp, равно
dg |
4V |
p 2 dp. |
(1.7) |
|
h3 |
||||
|
|
|
От импульсов частиц перейдем к распределению состояний по их энергиям. Для свободных, не взаимодействующих друг с другом частиц,
9