2485

1.7. Применение статистики Бозе-Эйнштейна к фононам. Теплоемкость кристаллической решетки

Фононы, имеющие целочисленный спин, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

Фононы могут испускаться и поглощаться, при этом число их не сохраняется, а меняется от температуры кристалла. В зависимости от степени возбуждения нормальных колебаний испускается то или иное число одинаковых фононов. Следовательно, химический потенциал фононного газа равен нулю (µ=0).

С учетом этого, функция распределения Бозе-Эйнштейна для фононов примет вид

При Т=0 кристалл находится в основном состоянии, характеризующимся полным отсутствием фононов. При достаточно низкой температуре, когда kT<<ћω, вероятность возбуждения фонона с частотой ω мала. При kT≈ћω среднее число фононов с частотой ω становится примерно равным единице. Это означает, что при данной температуре в кристалле возбуждаются все фононы с частотами меньшими и равными ω, а фононы с энергией ћω>kT практически не возбуждаются. По достижению характеристической температуры Дебая (ћωD≈kΘ) возбуждаются все высокочастотные фононы вплоть до максимальной частоты ωD.

Согласно определению, функция распределения выражает среднее число фононов, обладающих энергией ћω. Поэтому, умножая (1.29) на ћω, получим среднюю энергию Енк возбужденного нормального колебания, имеющего частоту ω:

20

Внутренняя энергия кристалла U складывается из энергии всех нормальных колебаний решетки, т.е. может рассматриваться

Теплоемкость кристаллической решетки при постоянном объеме выражает количество энергии, поглощаемой решеткой

где внутренняя энергия U определяется выражением (1.31).

Не прибегая к строгим расчетам, проанализируем качественно зависимость теплоемкости кристаллической решетки от температуры.

В области низких температур (Τ<<Θ) энергия кристалла с повышением температуры увеличивается вследствие действия двух механизмов:

1)роста средней энергии каждого нормального колебания из-за повышения степени его возбуждения, т.е. роста числа тождественных фононов;

2)роста числа новых возбужденных нормальных колебаний решетки, т.е. увеличения числа более высокочастотных фононов.

Вцелом, с повышением температуры энергия решетки

растет пропорционально Т4, а теплоёмкость – пропорционально

Τ3, т.е.

Соотношение (1.33) выражает закон Дебая, хорошо выполняющийся в области низких температур.

В области высоких температур (Τ>Θ) возбуждаются все нормальные колебания кристаллической решетки (весь спектр фононов) и дальнейшее повышение температуры не может

21

Дирака. Рассмотрим, прежде всего, его поведение при Т=0 К. Электрон в металле находится в потенциальной яме,

образованной его поверхностью, выход из которой требует совершения работы по преодолению сил связи электронов с ионами кристаллической решетки (рис. 1.6). Спектр разрешенных отрицательных значений энергии электронов в потенциальном поле решетки, связанный с их волновым характером движений, дискретен. Горизонтальными линиями на представленной схеме показаны энергетические уровни, которые могут занимать электроны. В соответствии с принципом Паули, на каждом таком уровне размещаются по два электрона с противоположными спинами. Если число электронов Ν, то последним занятым уровнем при Т=0К окажется уровень Ν/2. Этот уровень называется уровнем Ферми. Он соответствует максимальной кинетической энергии Еф, которой может обладать электрон в металле при абсолютном нуле. Ее называют энергией Ферми.

Учитывая, что в этих условиях химический потенциал электронного газа, отсчитанный от дна потенциальной ямы, равен энергии Ферми μ = Еф, функцию распределение ФермиДирака можно записать в виде

24

Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения. Одновременно с этим искажается и кривая распределения электронов по энергиям (рис. 1.10). В соответствии с (1.30) при Е=Еф функция f(Ε)=1/2 при любой температуре T>0. Поэтому со статистической точки зрения уровень Ферми представляет собой энергетический уровень, вероятность заполнения которого равна 1/2.

Произведем приближенную оценку числа электронов, переходящих на уровни, расположенные выше Еф. Расстояния между соседними энергетическими уровнями

Число уровней, находящихся в полосе термического возбуждения, определяется выражением

kT kTN ,

2Eф

а возможное число электронов в два раза больше, т.е. kTN .

Eф

Полагая, что за уровень Ферми переходит не более

26

При комнатной температуре kТ~0,025эВ, Еф~5эВ, поэтому Ν/Ν<1%; при Т=1000К ∆N/N~1%. Таким образом, во всем диапазоне температур электронный газ в металле является вырожденным, а его распределение мало отличается от распределения при абсолютном нуле и химический потенциал μ совпадает с Eф.

показывает, при какой температуре электронный газ в металле переходит в невырожденное состояние. Для металлов Тф~105К, т.е. столь высока, что ни один металл при таких температурах не может существовать в конденсированном состоянии.

Рассмотрим основные свойства вырожденного электронного газа.

Средняя энергия одного электрона при абсолютном нуле, рассчитанная по формуле (1.17) с учетом (1.8) и (1.38), определяется выражением

температуры, то и среднюю энергию электрона можно считать также независимой от температуры ( 0 ).

Максимальная и средняя квадратичная скорость электронов вычисляется по формулам

Расчет по этим формулам дает значение ~106 м/с.

Таким образом, вырожденный электронный газ существенно отличается по своим свойствам от идеального невырожденного газа. В то время как для идеального газа средняя энергия частиц и их квадратичная скорость являются функцией температуры и при абсолютном нуле обращаются в

27