2485

Функция распределения бозонов по энергиям была получена в 1924 г индийским физиком Бозе и немецким физиком Эйнштейном и представлена в виде

Она называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна.

E

Если e kT 1, то распределения (1.11) и (1.13) переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана, которое описывает состояние невырожденного газа,

невырожденного газа химический потенциал µ является величиной отрицательной и существенно больше kT.

Установим критерий вырожденности идеального газа через его параметры. Интегрируя (1.8) по энергии в пределах от 0 до Е, получим число состояний частиц

Подставляя G в (1.4), получаем выражение для критерия вырождения

12

где n N /V концентрация газа.

Используя данный критерий, оценим состояние

Данный расчет показывает, что молекулярные газы в нормальных условиях являются невырожденными и описываются классической статистикой Максвелла-Больцмана.

Для электронного газа в металлах n≈1028 м-3, m=9,1∙10-31кг. При таких значениях n и m электронный газ оказывается невырожденным лишь при температурах свыше 105 К. Поэтому в реальных условиях электронный газ в металлах всегда вырожден и описывается квантовой статистикой ФермиДирака.

Однако, в полупроводниках приходится иметь дело с невырожденным электронным газом. Концентрация свободных электронов в полупроводниках может составлять 1018м-3, что значительно ниже, чем в металлах и электронный газ становиться невырожденным и описывается статистикой Максвелла-Больцмана.

Примером вырожденного газа при любых конечных температурах служит фотонный газ, так как масса покоя фотона

термодинамическими параметрами, которые выражаются через усредненные характеристики отдельных частиц этого коллектива. Так, чтобы определить среднюю энергию E частиц, надо сложить энергию всех частиц и поделить полученную сумму на число частиц. Если энергия меняется непрерывно, то

13

полное число частиц N системы можно найти, проинтегрировав функцию dN(E) (1.9) по энергиям.

Суммарная энергия частиц равна E dN (E) . Тогда

0

Подобное усреднение можно произвести для любой физической величины М, являющейся функцией координат и импульсов частиц системы

M dN (M )

M 0 . (1.18)dN (M )

0

Таким образом, зная плотность состояний g(E) и функцию распределения частиц по состояниям f(E), можно определить любой макропараметр, характеризующий состояние коллектива данных частиц.

1.5. Применение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу

Одним из применений статистики Бозе-Эйнштейна является теория излучения черного тела, опирающаяся на представление о квантах электромагнитного поля – фотонах.

Представим, что полость абсолютно черного тела находится при температуре Т. С квантовой точки зрения, заполняющее полость тепловое излучение, может быть рассмотрено как фотонный газ.

Число фотонов в полости не является строго фиксированным, а зависит от температуры. В равновесном

14

состоянии фотонный газ содержит такое число фотонов, которое обеспечивает минимум его энергии. Следовательно, условие равновесия фотонного газа можно представить в виде

С учетом этого условия и выражения для химического потенциала (1.11) получим μ=0. Таким образом, химический потенциал равновесного фотонного газа равен нулю.

Фотонный газ является вырожденным, спин фотона равен ћ, поэтому фотонный газ подчиняется статистике БозеЭйнштейна. Функция распределения Бозе-Эйнштейна для фотонного газа имеет вид

Эта формула выражает среднее число фотонов, обладающих энергией Е=hν. Число фотонов в интервале частот dν определим по формуле (1.6), полагая импульс фотона равным p=hν/c,

Умножив энергию фотона на функции f(E) (1.20) и dg (1.21), и разделив на объем V и интервал частот dν, получим спектральную плотность объемной плотности энергии

15

Таким образом, применение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу привело к получению формулы Планка.

1.6. Нормальные колебания решетки. Фононы

В твердых кристаллических телах, находящихся в тепловом равновесии, атомы совершают малые тепловые колебания около узлов кристаллической решетки. Вследствие сильного взаимодействия атомов между собой в кристалле возбуждается их коллективное движение в форме упругих стоячих волн, охватывающих все частицы кристалла. Такой согласованный характер колебаний атомов с одинаковой частотой называют нормальными колебаниями решетки. Число стоячих волн или число нормальных колебаний, которое может возникнуть в решетке, равно числу степеней свободы частиц кристалла, т.е. 3N (N – число частиц, образующих кристалл).

Для того чтобы получить более ясное представление о характере тепловых колебаний атомов в кристалле, рассмотрим одномерную модель твердого тела — линейную цепочку атомов, отстоящих на расстоянии d друг от друга и способных колебаться в направлении, перпендикулярном длине цепочки (рис. 1.4, а). В такой цепочке могут возникнуть колебания с различной длиной волны (частотой) (рис. 1.4, б). Колебание, отвечающее самой низкой частоте, соответствует возникновению стоячей волны с узлами на концах (кривая 1). Следующему колебанию отвечает стоячая волна с узлами не только на концах, но и на середине цепочки (кривая 2). Третьей гармонике соответствует стоячая волна с четырьмя узлами (кривая 3), и т.д. Самая короткая длина волны, которая может образоваться в

16

процессами. В колебательных спектрах кристаллов, а также в комбинациях их с электронными спектрами в первом приближении проявляются только колебания оптических ветвей с λ→∞.

Дебаевской частоте можно поставить в соответствие характеристическую температуру – температуру Дебая

Температура Дебая табулируется как физический параметр вещества. Она даёт удобный масштаб температуры. При температуре Дебая в твердом теле возбуждается весь спектр нормальных колебаний, включая и колебания с максимальной частотой D . Поэтому дальнейшее повышение температуры

(выше ) не может уже вызвать появление новых нормальных колебаний. Действие температуры сводится лишь к увеличению степени возбуждения каждого нормального колебания. Температуры Τ выше Θ принято называть высокими.

Каждое нормальное колебание несет с собой энергию и импульс. Энергия нормального колебания, как и энергия осциллятора, является квантованной

где n=0,1,2,3,... – квантовое число, ω – частота нормальных колебаний.

Минимальная порция энергии, которую может испустить или поглотить решетка при тепловых колебаниях, соответствует переходу возбуждаемого нормального колебания с данного энергетического уровня на ближайший и равна

Этот квант энергии тепловых колебаний решетки называют фононом. Такое название было предложено советским физиком И.Е.Таммом по аналогии с квантом электромагнитного

18

излучения – фотоном. В отличие от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов и др.) фонон не может возникнуть в вакууме. Для своего существования он нуждается в некоторой среде, которую образует периодическая решетка кристалла. Поэтому фонон лишь подобен частице, т.е. является квазичастицей.

где – скорость звука, λ – длина звуковой волны.

Однако, при взаимодействии фононов друг с другом их импульс может дискретными порциями передаваться кристаллической решетке, и, следовательно, не сохраняется. В силу этого для фононов теряет смысл и понятие массы.

В твердом теле возможны как акустические, так и оптические фононы. Так как частота колебаний оптических фононов всегда выше частоты колебаний акустических фононов, то энергия оптических фононов выше энергии акустических. Поэтому при очень низких температурах возбуждаются только акустические фононы.

Число фононов в твердом теле не постоянно. Фононов тем больше, чем выше температура, а при приближении к нулю их число также стремится к нулю.

Итак, фонон – это элементарное возбуждение кристалла, а совокупность элементарных возбуждений – это газ фононов. Следовательно, концепция фононов отражает корпускулярноволновой дуализм в применении к процессам тепловых колебаний в кристаллах. Колебания кристаллической решетки можно представить как фононный газ, заключенный в пределах кристалла («ящик с фононами»), подобно тому, как электромагнитное излучение можно представить как фотонный газ, заполняющий полость.

19