2450

Приравняв в соотношениях (2.98) коэффициенты при одинаковых степенях u , получим следующую рекуррентную

формулу для определения коэффициентов CJ

Из формулы (2.99) и равенств (2.100) следует, что отличными от нуля будут только те коэффициенты CJ , у которых

значение индекса J кратно четырем, т.е. удовлетворяет соотношению

m2

Сучетом (2.101) формула (2.99) принимает вид

72

Из равенства (2.102) следует, что при

Аналогично, подставив в частное решение (2.97) в уравнение (2.92), получим следующие соотношения

:

A mdmum

m 4

(2.105)

Приравняв в соотношениях (2.105) коэффициенты при одинаковых степенях u, получим следующую рекуррентную

формулу для определения коэффициентов dm :

Из уравнения (2.96) непосредственно следует, что

(2.I07)

Из формулы (2.106) и равенств (2.107) следует, что отличными от нуля являются только те коэффициенты dm , для индексов которых выполняется соотношение

С учетом соотношения (2.108) частное решение (2.97) можно представить в виде

73

С учетом равенств (2.111)-(2.116) характеристическое уравнение для определения собственных частот сверхзвукового самолета (2.80) и уравнение (2.85) для форм собственных нормированных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета принимают вид

l

Рис. 2.2 Зависимость собственной частоты колебаний самолета от аэродинамической силы

75

Рис. 2.3 Зависимость формы колебаний от величины аэродинамической силы

(2.118)

В соответствии с изложенным упрощенным методом определения форм и частот собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как однородной свободной балки разработана программа вычислений на ЭВМ.

На рис. 2.2 и 2.3 приведены, как один из результатов

исследований, зависимости параметра ,связанного с частотой собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета соотношением

76

и нормированной формы первого тона собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета от обобщенного параметра A, характеризующего степень аэродинамического совершенства сверхзвукового самолета.

Из приведенных графиков видно, что учет аэродинамических сил приводит к уменьшению собственной частоты аэроупругих колебаний самолета.

2.7. Уравнения вынужденных аэроупругих колебаний

Зная формы и частоты собственных аэроупругих колебаний, сверхзвуковой самолет можно рассматривать как систему с бесконечным числом степеней свободы, обобщенные координаты которой являются функциями времени.

Действительно, зная формулы собственных аэроупругих колебаний, вынужденные аэроупругие колебания сверхзвукового самолета можно разложить в ряд по собственным формам, т.е. представить в виде :

обобщенные координаты будут описывать поперечные перемещения начального сечения сверхзвукового самолета в процессе аэроупругих колебаний в турбулентной атмосфере.

Используя введенные обобщенные координаты, составим уравнения вынужденных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки в турбулентной атмосфере. Для этого воспользуемся уравнением Лагранжа,

77

которое для рассматриваемого случая можно представить в виде [7]:

где Т - кинетическая энергия аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета;

П - потенциальная энергия аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета;

Qn - обобщенная внешняя сила.

Выразим кинетическую и потенциальную энергию аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета, а также обобщенные внешние силы, через обобщенные координаты аэроупругих колебаний.

Из равенства (2.119) следует, что при вынужденных аэроупругих колебаниях скорость поперечного смещения любого сечения сверхзвукового самолета

С учетом равенства (2.121) кинетическую энергию бесконечно малого участка сверхзвукового самолета длиной

dx можно представить в виде:

78

Из равенства (2.122), после интегрирования последнего, получим следующее, выражение для кинетической энергии аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета:

где l - длина сверхзвукового самолета как балки.

Потенциальная энергия упругих деформаций бесконечно малого участка сверхзвукового самолета длиной

dx , представляющая собой работу восстанавливающих упругих сил на этом участке, равна

79