2450

Решение уравнения (1.54) должно также удовлетворять постулату Жуковского - Чаплыгина о конечности поля скоростей во всей области течения, включая заднюю кромку крыла.

Для колеблющегося крыла решение уравнения (1.54) может быть получено по методу Теодорсена [4, 20], в соответствии с которым крыло заменяется системой источников и стоков и совокупностью вихрей, а спутная струя заменяется совокупностью вихрей той же интенсивности, что и крыло, но противоположного направления. Каждый из потоков находится путем применения конформного преобразования Н.Е. Жуковского для отображения окружности на контур профиля.

В результате получается, что скорость q , создаваемая в

произвольной точке окружности всем слоем источников и стоков, удовлетворяющих граничному условию (1.55), может быть определена из следующего соотношения [4]:

Этой скорости соответствует следующий потенциал возмущения скорости на верхней половине окружности [4]:

Подстановка (1.57) в уравнение (1.50) с учетом антисимметричности течения, создаваемого источниками и стоками, приводит к следующему выражению для разности давлений на верхней и нижней поверхности профиля:

21

Интегрирование (1.58) по поверхности крыла единичного размаха приводит к следующим выражениям для подъемной силы и продольного момента профиля относительно точки x r , обусловленным бесциркуляционным

потоком, создаваемым источниками и стоками:

Равенства (1.59) и (1.60) справедливы для любого неустановившегося течения.

Из (1.59) следует, что в случае установившегося движения подъемная сила, обусловленная бесциркуляционным характером течения, равна нулю.

Для динамики летательных аппаратов практический интерес представляет случай, когда крыло совершает вертикальные перемещения h(t) и поворачивается относительно оси, проходящей через точку Х т , на угол (t) .

В этом случае функция yn (x, t) , характеризующая

мгновенное значение малого смещения линии хорды, имеет вид:

22

ускорениями, то уравнения (1.63) и (1.64) можно также представить в виде

где 1j - коэффициенты присоединенной массы;

2 j - коэффициенты присоединенного момента инерции.

Из (1.65) и (1.66) видно, что слагаемые, входящие в эти равенства, могут быть объединены с соответствующими слагаемыми в уравнениях возмущенного движения самолета.

23

В большинстве случаев эти слагаемые ввиду их малости могут не учитываться [4].

Можно показать [4], что решение уравнения (1.54), полученное за счет распределения по поверхности крыла источников и стоков, хотя и удовлетворяет граничным условиям (1.55), но для точек окружности, соответствующей задней кромке профиля, дает бесконечно большое значение скорости, что противоречит постулату Жуковского - Чаплыгина.

Чтобы обратить в нуль скорость в точке окружности, соответствующей задней кромке, на бесциркуляционный поток необходимо наложить поток от присоединенных вихрей и поток от спутной струи из стекающих вихрей (направление противоположно присоединенным). При этом вихри спутной струи непрерывно удаляются от крыла со скоростью невозмущенного потока. Положение вихрей в спутной струе необходимо выбирать таким образом, чтобы граничные условия (1.55) не нарушались.

Выбранный вихревой слой в произвольной точке окружности индуцирует скорость q , равную

где n , t - величина циркуляции, приходящаяся на единицу длины спутной струи.

Этой скорости соответствует следующий потенциал возмущения скорости:

24

ибо для каждой точки, движущейся вниз по потоку, значение в каждый момент времени постоянно.

26

Равенство (1.78) можно также представить в виде

т.е. в виде комплексной функции одной лишь приведенной частоты k.

Комплексная функция С(k) носит название функции Теодорсена.

Функция Теодорсена С(k) следующим образом связана с

В свою очередь, функция Ганкеля связана с функциями Бесселя первого и второго рода следующими соотношениями

[22]:

27

С учетом (2.80) равенства (2.74) и (2.75) можно представить в виде:

где Уст и Мст - значения подъемной силы и продольного

момента колеблющегося крыла, определенные на основе гипотезы стационарности.

28

Из (1.87) и (1.88) следует, что

Таким образом, функция Теодорсена может рассматриваться как амплитудно-фазовая характеристика нестационарных аэродинамических сил и моментов крыла, колеблющегося в несжимаемом потоке газа.

Аналогично может быть получено решение уравнений неустановившегося течения несжимаемого газа для случая, когда имеют место гармонические колебания самого потока, что характерно для движения самолета в турбулентной атмосфере.

Решение этой задачи приведено в [4, 20], где показано, что нестационарные аэродинамические силы и моменты крыла, обтекаемого колеблющимся потоком, можно представить в виде

момента, определенные на основе гипотезы стационарности; k - функция Сирса;

k - приведенная частота колебаний.

Как показано в [3], функция Сирса может быть следующим образом выражена через функцию Теодорсена и функцию Бесселя первого рода:

29

kj 0 k - ij 1 k C k ij 1 k (1.91)

где i 1.

В работе [3] также показано, что равенство (1.91) может быть аппроксимировано следующим приближенным выражением:

или менее точно

Из (1.89) и (1.90) следует, что

т.е. что функция Сирса может рассматриваться как амплитудно-фазовая характеристика аэродинамических сил и моментов крыла, обтекаемого колеблющимся потоком.

1.4. Передаточные функции нестационарных аэродинамических сил и моментов.

Характер обтекания самолета нестационарным потоком подобен характеру обтекания крыла.

30