2450

следующие дифференциальные уравнения, описывающие формы собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета:

n 1,2,3...

(2.32)

Сучетом соотношений (2.30) граничные условия (2.21)

и(2.22) принимают вид:

Полученные уравнения для определения форм и частот собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки, в отличие от уравнений, описывающих упругие колебания балки в пустоте, содержат составляющие приращений аэродинамической силы, вызванные аэроупругими колебаниями. Таким образом, они описывают изгибные формы сверхзвукового самолета, возникающие от действия как инерционных, так и аэродинамических сил, вызванных изгибом сверхзвукового самолета как балки.

2.4. Свойства форм и частот собственных аэроупругих колебаний самолетов

Рассмотрим некоторые свойства решений уравнений

51

Уравнение (2.35) определяет формы и частоты собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как балки в пустоте.

решения, выражаемые через функции Крылова [2].

Для неоднородной балки решения уравнений (2.35) может быть получено численными методами [38, 39].

Свойства решений уравнения (2.35) достаточно полно исследованы [11, 19]. В частности, доказано, что существует бесконечное множество различных частот собственных колебаний балки в пустоте.

Для свободней балки, которой в данной работе моделируются упругие свойства сверхзвукового самолета, среди бесконечного множества различных частот имеются две нулевые частоты, характеризующие движение свободной балки как твердого тела.

Действительно, интегрируя уравнение (2.35) с учетом

функции, описывающие формы собственных колебаний свободной балки в пустоте, имеют (с точностью до постоянных множителей) вид:

где Хм - координата центра масс сверхзвукового самолета как балки.

52

сверхзвукового самолета (свободной балки) как твердого тела, а функция yx 02 x xM xM характеризует

вращательное .движение сверхзвукового самолета (свободной балки) как твердого тела вокруг центра масс.

Собственные частоты n n 1,2,3... определяют

формы собственных колебаний сверхзвукового самолета (свободной балки) как упругого тела.

Все собственные частота сверхзвукового самолета как свободной балки, колеблющиеся в пустоте, являются различными действительными положительными числами, т.е.

определенная форма собственных колебаний yxn x .

Все формы собственных колебаний балки в пустоте ортогональны между собой с весовой функцией m x .

Это свойство форм собственных колебаний балки в пустоте следует непосредственно из уравнения (2.35) и граничных условий (2.33), (2.34). Действительно, умножив

53

соответствующую собственной частоте n , и проинтегрируем

по длине балки.

В результате получим уравнение

проинтегрируем по длине балки. В результате получим уравнение .

Вычтем из уравнения (2.38) уравнение (2.39). В результате, учитывая (2.37), получим, что

54

Равенство (2.41) и является условием ортогональности форм собственных колебаний балки в пустоте.

Физический смысл условий ортогональности, выражаемых равенством (2.41), состоит в том, что работа сил инерции, возникающих при колебаниях, соответствующих одной собственной частоте, равна нулю на перемещениях, соответствующих другим собственным частотам.

Граничные условия (2.33), (2.34) можно представить в

виде:

Проинтегрировав уравнение (4.35) по длине балки и учитывая равенство (2.42), получим, что

55

Однако из уравнения (2.32) и граничных условий (2.33)- (2.34) следует, что формы собственных колебаний

2n m x yx n x yx m x 0

0

n; m 1,2,3... n m

Далее, записав уравнение (2.32) для собственной частоты m , умножив его на форму собственных колебаний,

соответствующую собственной частоте n ,и проинтегрировав по длине балки, получим

2n m x yx m x yx n x dx 0

0

n; m 1,2,3... n m

(2.47)

57

Из (2.48) следует, что работа сил инерции, возникающих при колебаниях, соответствующих одной собственной частоте, на перемещениях, соответствующих другим собственным частотам, нулю не равна, а равна работе аэродинамических сил, вызванных собственными колебаниями.

Таким образом, равенство (2.46) является условием не ортогональности форм собственных аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки.

Проинтегрировав уравнение (4,32) по длине балки, с учетом граничного условия (2.42)получим: что

Из (2.49) следует, что силы инерции, возникающие при собственных аэроупругих колебаниях сверхзвукового самолета как свободной балки, являются неуравновешенными.

Они уравновешиваются распределенной аэродинамической нагрузкой, вызванной упругими колебаниями сверхзвукового самолета как свободной балки.

Умножив уравнение (2.32) на x xM и

проинтегрировав его по длине балки с учетом граничного условия (2.49), получим

58

n 1,2,3...

(2.50)

Из (4 50) следует, что момент сил инерции, возникающих при собственных аэроупругих колебаниях сверхзвукового самолета как свободной балки, также является не самоуравновешенным. Он уравновешивается моментом аэродинамических сил, вызванных упругими колебаниями сверхзвукового самолета как свободной балки.

Из не самоуравновешенной функции yxn x ,

определяющей форму собственных колебаний сверхзвукового самолета как свободной балки, соответствующую собственной

самоуравновешенной формой,, характеризующей аэроупругие колебания сверхзвукового самолета как свободной балки.

59

где М - масса сверхзвукового самолета.

Из (2.54) следует, что

Y x x x M yxn x dx 2n Jm y2n

0

(2.56)

60