2450

A(x,t) - погонная масса сверхзвукового самолета как балки; y(x,t ) - смещение поперечного сечения сверхзвукового

самолета в направлении оси y

Q(x,t) - поперечная сила сверхзвукового самолета как балки; Yc (x, t) - интенсивность нестационарных аэродинамических

сил, действующих в возмущенном движении на сверхзвуковой самолет; Mz (x, t) - изгибающий момент сверхзвукового

самолета как балки.

Как известно [2], изгибающий момент Mz (x, t) можно представить в виде

Интенсивность в возмущенном движении нестационарной аэродинамической силы зависит от интенсивности возмущений параметров движения самолета, от упругих деформаций, вызванных внешними возмущениями (турбулентностью атмосферы), и от отклонения поверхностей управления.

Будем полагать, что при малых возмущениях параметров движения приращения нестационарной подъемной силы можно представить в виде суммы приращений, вызванных отдельными факторами, т.е. в виде

41

Уравнения, связывающие приращения нестационарной аэродинамической силы с возмущениями соответствующих кинематических параметров, можно представить в виде

где V - скорость перемещения связанной системы осей координат, т.е. скорость полета сверхзвукового самолета, равенство (2.7) можно представить в виде:

обтеканию сверхзвукового самолета дополнительным потоком в направлении оси у со скоростью (- Vy ).

Наложение этого дополнительного потока, вызванного деформацией конструкции, на основной поток,

43

соответствующий движению сверхзвукового самолета как твердого тела, приводит, как видно на рис. 2.1, к изменению местных углов атаки сверхзвукового самолета на величину, определяемую из соотношения

Из соотношений (2.8), (2.9) следует, что

Выделяя в векторном уравнении (2.6) в качестве отдельного составляющего скалярное уравнение, связывающее приращения нестационарной подъемной силы и угла атаки, вызванные изгибными деформациями, я учитывая равенство (2.12), уравнения (2.5) и (2.6) можно представить в виде

где

44

Уравнения (2.14)-(2.16) описывают вынужденные изгибные колебания сверхзвукового самолета как балки под действием внешних возмущений, в качестве которых выступают возмущения угла атака самолета, турбулентные возмущения угла атаки, а также отклонения в возмущенном движении поверхностей управления.

Для определения внешних возмущений эти уравнения, как уже отмечалось, необходимо решать совместно с уравнениями возмущенного движения сверхзвукового самолета и уравнениями, описывающими законы отклонения поверхностей управления.

Однако для этого необходимо уравнение (2.13), которое является дифференциальным уравнением в частных производных, представить в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, так как системой обыкновенных дифференциальных уравнений можно описать и возмущенное движение сверхзвукового самолета, и законы отклонения поверхностей управления [16].

45

Это можно сделать, если воспользоваться например, методом разделения переменных.

В соответствии с этим методом точные решения уравнений типа (2.13) заменяются их приближенными разложениями в ряд по формам, соответствующим собственным упругим колебаниям в пустоте [8, 9, 18].

Для конструкций, не создающих аэродинамических сил, такое допущение вполне приемлемо.

Однако при рассмотрении упругих колебаний сверхзвукового самолета это допущение, как отмечено выше, является довольно грубым.

Таким образом, при применении принципа разделения переменных к уравнениям (2.13) точные решения этих уравнений необходимо заменять их приближенными разложениями в ряд по формам, соответствующим аэроупругим деформациям сверхзвукового самолета как балки. Т.е. деформациям, определяемым о учетом аэродинамических сил, вызванных деформациями, а не по формам, соответствующим собственным колебаниям балки в пустоте, как это делается в настоящее время.

Если пренебречь нестационарным характером обтекания сверхзвукового самолета в возмущенном движении, т.е. исходить, как это сейчас и делается при исследовании возмущенного движения самолетов. из гипотезы стационарности [38], то уравнения (2.13)- (2.16) можно упростить и представить в виде

46

Из сравнения уравнений (2.13)-(2.16) и уравнения (2.17) видно, что применение гипотезы стационарности существенно упрощает математическое описание вынужденных колебания.

Это и объясняет широкое распространение гипотезы стационарности, хотя она и дает весьма приблизительное описание реальных процессов.

2.2. Собственные аэроупругие колебания

Из (2.14) и (2.17) следует, что система уравнений,, описывающая собственные аэроупругие колебания сверхзвукового самолета как балки, т.е. собственные колебания сверхзвукового самолета как балки в воздушной среде, имеет вид:

Так как уравнения (2.18) и (2.19) являются дифференциальными уравнениями в частных производных, то их решение должно удовлетворять как начальным, так и граничным условиям.

Начальные условия определяются характером возмущений, действовавших до начального момента времени на сверхзвуковой самолет.

Граничные условия вытекают из рассмотрения сверхзвукового самолета как свободной продольной балки, у которой изгибающий момент и перерезывающая сила в. концевых сечениях равны нулю.

47

Таким образом, решение уравнений (2.18) и (2.19) нужно искать при следующих граничных условиях

Mz x, t Q x, t 0, x 0 x

(2.20)

где l - длина сверхзвуковcого самолета как свободной балки.

С учетом (2.3) граничные условия (2.20) принимают вид

Решения уравнения (2.18) и (2.19) будем искать в виде следующих рядов:

колебаний сверхзвукового самолета как балки

48

Yxn x- функции, описывающие распределение по

длине сверхзвукового самолета как балки приращений подъемной силы, вызванных соответствующими формами его аэроупругих колебаний;

Ytn x - функции, описывающие нестационарный

характер приращений подъемной силы, вызванных аэроупругими колебаниями сверхзвукового самолета как балки

:

Подставляя равенства (2.24) в уравнение (2.19), получим следующие соотношения:

x определяет стационарное приращение подъемной силы в сечении за счет изгиба.

Величина Yxn x согласно определению, также

определяет приращение подъемной силы в сечении за счет изгиба.

Таким образом, можно записать, что

С учетом (2.9) равенство (2.8) принимает вид:

49

Из соотношений (2.25) легко получаются следующие n пар уравнений, связывающих приращения составляющих нестационарной подъемной силы, вызванной аэроупругими колебаниями, с формами и обобщенными координатами аэроупругих колебаний

Из (2.29) следует, что нестационарный характер обтекания самолета не сказывается на распределении по длине сверхзвукового самолета приращений составляющих подъемной силы, вызванных соответствующими формами аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета.

Равенства (2.23) (2.24) можно , как и в случае стационарных колебаний, представить в виде :

соответствующих форм.

Подставляя соотношения (2.30), (2.31) в уравнение (2.1) и принимая во внимание соотношение (2.29), получим

50