2450

Поэтому в первом приближении можно принять, что функция Теодорсена является амплитудно-фазовой характеристикой аэродинамических сил и моментов самолета, колеблющегося в несжимаемом потоке, а функция Сирса - амплитудно-фазовой характеристикой аэродинамических сил и моментов самолета, обтекаемого колеблющимся потоком.

Сложная зависимость функций Теодорсена и Сирса от приведенной частоты не позволяет использовать их непосредственно при исследовании возмущенного движения самолета в турбулентной атмосфере, где имеют место оба вида нестационарного обтекания.

Поэтому для целей динамики полета функции Теодорсена и Сирса необходимо аппроксимировать более простыми соотношениями, чем равенства (1.81) и (1.91).

Достаточно простые аппроксимирующие выражения для нестационарных аэродинамических сил и моментов можно получить, если исходить не из функций Теодорсена я Сирса, а из переходных функций нестационарных аэродинамических сил и моментов, а затем воспользоваться известными соотношениями, связывающими амплитудно-частотные характеристики и переходные функции [6].

Действительно [6], амплитудно-фазовая характеристика может быть получена из передаточной функции путем формальной замены параметра преобразования Лапласа р на j , где j 1 и -угловая частота колебаний.

В свою очередь, между передаточной и переходной функциями существуют следующие соотношения:

где L - символ преобразования Лапласа; h(t ) - переходная функция;

W(р) - передаточная функция;

р - параметр преобразования Лапласа.

31

Переходные функции нестационарных аэродинамических сил и моментов являются решениями уравнений (1.50, 1.51), соответствующими скачкообразному изменению угла атаки и вертикальной скорости потока.

Как показано в [3], в случае несжимаемого потока переходные функции нестационарной подъемной силы, обусловленные скачкообразным изменением угла атаки и вертикальной скорости потока, приближенно можно представить в следующем, виде;

где Ук - переходная функция нестационарной подъемной силы,

соответствующей скачкообразному изменению угла атаки; Уст - значение подъемной силы, определенное в

Передаточные функции (1.101) и (1.102), строго говоря, справедливы только для крыльев больших удлинений, обтекаемых несжимаемым потоком.

Однако, их можно использовать и для самолетов с крыльями любой формы в плане, обтекаемыми как несжимаемым, так и сжимаемым потоком, если постоянные времени определять исходя из переходных функций, полученных для крыльев, имеющих определенную форму в плане.

Численные методы определения переходных функций крыльев различных форм в плане рассмотрены, например, в [3].

Исходя из сказанного, передаточные функции (1.101) и (1.102) целесообразно представить в следующем более общем виде:

соотношения (1.105), подлежат определению по переходным функциям.

Из (2.99) следует, что для крыла бесконечного размаха, обтекаемого несжимаемым потоком,

34

Передаточным функциям (1.103) и (1.104) соответствуют следующие линейные дифференциальные уравнения, связывающие во временной области изменения нестационарной подъемной силы с изменением угла атаки, вызванного колебаниями самолета и колебаниями скорости потока:

Так как запаздывание в изменении подъемной и боковой аэродинамических сил по сравнению с изменением углов атаки и скольжения определяется одними и теми же факторами, то очевидно, что изменение нестационарной боковой аэродинамической силы в зависимости от изменения угла скольжения может быть приближенно описано следующими уравнениями:

вызванная колебаниями боковой скорости потока,

35

Z Cz ( )Sq - производная по углу скольжения от

боковой аэродинамической силы, определенной в соответствии с гипотезой, стационарности.

Из (1.86) в (1.94) следует, что дифференциальные уравнения, аналогичные (2.106) - (1.108), будут справедливы и для нестационарных аэродинамических моментов,

Таким образом, можно написать, что изменения нестационарных аэродинамических моментов и изменения углов атаки и скольжения связаны следующими дифференциальными уравнениями:

Очевидно, что дифференциальные уравнения (1.106) - (1.108) и (1. 110) - (1.115) можно использовать и в том случае, когда интерес представляет характер распределения нестационарных аэродинамических сил и моментов по поверхности самолета. В этом случае

(x, z, t) ;

36

плоскостях, перпендикулярных плоскости хорд.

Так как в общем случае в сечениях крыла центры тяжести, изгиба и давления не совпадают, то аэроупругие деформации крыла проявляются в вида изгиба и кручения крыла в плоскостях, перпендикулярных плоскости хорд.

Таким образом, при исследовании продольного возмущенного движения дозвукового самолета, последний можно рассматривать как комбинацию жесткого фюзеляжа с упругими крыльями в виде консольных балок переменной массы и жесткости.

Сверхзвуковые самолеты, наоборот, как тела минимального волнового сопротивления, состоят из фюзеляжа большого удлинения и тонкого крыла большой стреловидности и малого удлинения, так что бортовая хорда крыла занимает значительную часть длины фюзеляжа [8, 9].

Эти конструктивные особенности сверхзвуковых самолетов приводят к тому, что возникающие в полете их аэроупругие деформации представляют собой, в основном, изгибные колебания продольной оси фюзеляжа и хорды крыла.

Указанные деформации сверхзвукового самолета приводят к изменению местных углов атаки, что, в свою очередь, вызывает изменение аэродинамических сил и моментов и, следовательно, изменение характера полета.

Поэтому динамику движения сверхзвукового самолета необходимо исследовать с учетом происходящих в полете аэроупругих деформаций, что требует принятия некоторой аэроупругой модели сверхзвукового самолета.

Конструктивные особенности сверхзвукового самолета, отмеченные выше, позволяют при исследовании продольного возмущенного движения сверхзвукового самолета в качестве его аэроупругой модели принять продольную балку переменной массы и жесткости и одновременно считать, крыло абсолютно жестким вдоль но размаху.

В силу тех же конструктивных особенностей при исследовании бокового возмущенного движения

39

сверхзвукового самолета упругостью его конструкции можно,

впервом приближении, пренебречь.

Вдальнейшем ограничимся рассмотрением сверхзвуковых самолетов.

2.2. Уравнения аэроупругих колебаний

Свяжем со сверхзвуковым самолетом как свободной балкой правую систему осей координат, начало которой поместим в передней точка фюзеляжа, ось х направим вдоль продольной оси неизогнутого фюзеляжа, ось у расположим в вертикальной плоскости симметрии самолѐта и направив вверх в нормальном полете (рис. 2.1).

Используя введенную систему координат, составим уравнения аэроупругих колебаний в турбулентной атмосфере сверхзвукового самолета как свободной балки переменной массы и жесткости.

Для этого в продольном сечении сверхзвукового самолета как балки выделим бесконечно малый элемент длиной x и рассмотрим его возмущенное движение при условии, что имеют место аэроупругие изгибные колебания сверхзвукового самолета как балки.

Продольными смещениями выделенного элемента будем пренебрегать.

Рассматривая условия динамического равновесия выделенного элемента в возмущенном движении и отбрасывая слагаемые, порядок малости которых выше первого, получим следующее уравнения аэроупругих колебаний сверхзвукового самолета:

В уравнениях (4,1) и (2.2) приняты следующие обозначения:

40