2294

к вычислению функции a при

a 0,1 . В частности, при

n 1 n!,

1 2

натуральных значениях a ( a n ):

,

3 2

2.

Найдем тепеть изображение

функции

f t ta ,

где

a 1 – любое действительное число.

По определению F p f t e pt dt . Считая

p 0 дей-

0

менной: t1 pt , t t1 p , dt dt1

p . В результате получим:

1

a 1

F p

t1ae t1 dt1

.

pa 1

pa 1

0

Таким образом, если a 1, то

t a

∙=∙

a 1

.

(6.24)

p

a 1

В частности, если a n – целое положительное число, то

t n ∙=∙

n!

, что совпадает с результатом (6.20).

pn 1

При a 1 2 и a 1 2 получаем:

1

∙=∙

,

t ∙=∙

.

p

2 p

t

p

Эти результаты принято записывать в виде:

1

∙=∙

1

,

2

t

∙=∙

1

.

(6.25)

t

p

p

p

T,T

конечной длины кусочно-непрерывна и

кусочно-

монотонна, то для нее существует преобразование Фурье:

1

F

f t e i t dt .

(7.1)

2

Функция f t по функции F находится с помощью

обратного преобразования Фурье:

1

f t

F ei t d .

(7.2)

2

Пусть f t – оригинал,

F p – преобразование Лапласа

функции

f t . Т.к. f t 0

при t 0 и

p i ,

то форму-

лу для

определения

F p можно

записать

в виде:

1

F i f t e

i t

t e

t

i t

dt

2 f

e

dt .

2

Отсюда следует, что при

каждом постоянном

0

функция

F i являетсмя

преобразованием

Фурье для

f t e t . Поэтому, в силу (7.2):

функции

2

1

f t e t

F i ei t d .

2

2

Преобразуем интеграл в правой части (7.3) в интеграл по

комплексного

переменного

p i . Т.к.

const , то

1

p ; d

1

dp . Если меняется от –∞ до ∞, то p меня-

i

i

ется по прямой const

от i до i . Следовательно,

1

i

f t

F p e pt dp .

(7.4)

2 i

i

Функция

f t , определяемая по формуле (7.4), называ-

го p i

аналитична в

некоторой

полуплоскости

Re p 0

и удовлетворяет

условию

lim F p 0

, то

p

функция

F p является преобразованием Лапласа для функ-

ции f t , причем

1

i

f t

F p e pt dp при t 0 и

f t 0 при t 0 .

2 i

i

точек p1 , p2

,..., pn , и если lim F p 0 , то функция F p вля-

p

ется преобразованием Лапласа для функции

f t , причем

n

f t Re s F p e

pt

, pk

при t 0 и

f t 0 при t 0 .

n

F p e

pt

dp 2 i Re s F p e

pt

, pk

, или

C

k 1

CR

i

Т.к. lim

F p ept dp

F p e pt dp , то

R

AB

i

1

i

1

f t

F p e pt dp

lim

F p e pt dp

F p e pt dp

2 i

2 i R

i

AB

CR

n

Re s F p e

pt

, pk .

k 1

f t 0.

Также можно доказать, что при t 0

Пример.

F p

p

;

p2

2

1

F p

A p

, где

A p и

B p – многочлены, причем сте-

B p

1.

M

, 2.

M

,

3.

Mp N

,

4.

Mp N

,

p a

p a k

p2 ap b

p2 ap b 2

где

a2 4b 0 .

Оригиналы этих функций находятся с помо-

щью свойств преобразовнаия Лапласа:

1.

M

∙=∙ Meat ;

p a

M

Mt k 1eat

2.

∙=∙

;

p a k

k 1 !

a

4b a2

Mp N

M

p

2N

Ma

2

2

3.

p2 ap b

2

4b a2

2

4b a2

a

4b a2

a

p

p

2

4

2

4

at

=∙ e

2

N Ma

4b a

2

2

M cos t

sin t , где

.

∙

4b a2

2

4.

Оригинал дроби вида

Mp N

проще всего находится

p2 ap b 2

Пример. F p

1

A

B

Cp D

p

p

p2

4

p

p 1

p2 4

1

1

1

1

1

1

p

1 1

;

20 p2 4

4 p 5 p 1

5 p2 4

Пусть

функции

f t и

g t являются

оригиналами.

Функция

h t t

f g t d

(7.6)

0

называется сверткой оригиналов и обозначается

h t f t g t .

Операция свертывания оригиналов обладает свойствами

коммутативности и ассоциативности:

1. g t f t f t g t ,

2. h t f t g t h t f

t g t .

Проверим свойство коммутативности.

t

1 t

0

g t f t

g f

t d

g t f d

d d 1

1

1

1

0

t

0

Свертка оригиналов также является оригиналом.

Теорема

об

умножении

изображений.

Если

f t =∙ F p ,

g t =∙ G p , то

∙

∙

f t g t =∙ F p G p .

(7.7)

∙

f d g t1 e p t1 dt1 f e p d g t1 e pt1 dt1

0

0

0

0

F p G p , что и требовалось доказать.

Теорема об умножении оригиналов. Если f t

и g t

–

оригиналы, порядок роста которых соответственно равен 1

и

2, и если

f t =∙ F p ,

g t =∙ G p , то

∙

∙

1

a i

f t g t ∙=∙

F q G p q dq ,

(7.8)

2 i

a i

оригинал

для изображения

вида

p F p G p , где

f t =∙ F p , g t =∙ G p . Для этого заметим, что

∙

∙

p F p G p p F p f 0 G

p f 0 G p .

t

f

g t d f 0 g t .

(7.9)

0

Если воспользоваться коммутативностью свертки, то со-

отношение (7.9) принимает вид:

∙

t

t d f 0 g t .

(7.10)

p F p G p ∙=

g f

0

t

∙

t g t f

g t d

p F p G p ∙= f

0

собом:

p F p G p pG p g 0 F p g 0 F p .

Отсюда следует, что

p F p G p ∙=∙ g t f t g 0 f t =

t

f t d g 0 f t .

(7.11)

g

0

Если воспользоваться коммутативностью свертки, то со-

отношение (7.11) принимает вид:

∙

t

t d g 0 f t .

(7.12)

p F p G p ∙=

f g

0

0

t

t d

.

f g

0