2294

6.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Вэтой главе мы рассмотрим определение и основные свойства преобразования Лапласа, на базе которого будет строиться операционное исчисление.

Операционное исчисление – один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы,

крешению более простых алгебраических задач. Решение задачи операционным методом осуществляется по следующей схеме:

1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям – их изображениям.

2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.

3. Произведя действия над изображениями и получив некоторый результат, возвращаются к самим функциям.

Вкачестве преобразования, позволяющего перейти от функций к их изображениям, будем применять преобразование Лапласа.

6.1. Оригиналы и их изображения

Пусть f t – действительная функция действительного переменного t. Функция f t называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1.f t 0 при t 0 .

2.Функция f t кусочно-непрерывная при t 0 , т.е она

непрерывна или имеет точки разрыва первого рода, причем на каждом конечном отрезке таких точек конечное число.

3. Существуют такие числа M 0 и 0, что для всех t выполняется неравенство f t Me t , т.е. при возрастании t

71

функция f t может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число называется порядком роста функции f t .

Первое условие означает, что некоторый физический процесс, описываемый функцией f t , начинается с некото-

рого момента времени (удобнее считать, что в момент t 0 ). Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (в

частности, sin t и cos t ), степенные t n ( n 0 ), показательные eat и другие. В качестве примера функции, для которой условие 3 не выполняется, можно указать eat2 . Не является ориги-

тельные функции f1 t и f2 t – оригиналы.

Преобразованием Лапласа, или изображением оригинала

72

Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (6.1), т.е. изображение F p существует и однозначно в полуплоскости

Re p 0 .

Следствие. Если функция F p является изображением

функции f t , то lim F p 0 . Отсюда, в частности, следует,

p

что функции F p 5 или F p p2 не могут быть изобра-

жениями.

Пример 1. Найти изображение единичной функции Хеви-

73

В операционном исчислении функцию-оригинал кратко записывают в виде f t , подразумевая, что

Пример 2. Найти изображение функции f t eat , где a

– постоянное комплексное или действительное число. Тогда

если Re p a 0, т.е. Re p Re a . Таким образом,

74

т.е. линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений.

Доказательство. Используя свойства интеграла, находим:

c1 F1 p c2 F2 p .

Пример. Найти изображения функций sin t , cos t , sh t , ch t .

Пользуясь свойством линейности и формулой (6.3), находим:

Таким образом,

75

6.2.2. Подобие

Если f t ∙=∙ F p , то для любого постоянного 0

т.е. умножение аргумента оригинала на положительное числоприводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Доказательство. По формуле (6.1) имеем

76

т.е. запаздывание оригинала на положительную величину a

приводит к умножению изображения на e ap . Доказательство. По формуле (6.1) имеем

77

f t e pt p f t e pt dt f 0 p F p .

0

0

Пользуясь полученным результатом, найдем изображение второй производной f t :

f t f t ∙=∙ p p F p f 0 f 0p2 F p p f 0 f 0 .

Применяя формулу (6.16) (n–1) раз, получим формулу (6.18).

т.е. дифференцированию изображения по переменной p соответствует умножение оригинала на t .

Доказательство. Т.к. функция F(p) аналитична в полу-

78

плоскости Re p 0 , то в каждой точке этой полуплоско-

сти функция F(p) имеет производные любого порядка. Поэтому

т.е. интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на p.

ним для вычисления этого интеграла формулу интегрирования

79

p

т.е. интегрированию изображения в пределах от p до ∞ соответствует деление оригинала на t.

Доказательство. Используя формулу (6.1) и изменяя порядок интегрирования, получаем:

80