2294

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются со-

Обратные гиперболические функции многозначны.

21

2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

2.1. Производная функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция w f z определена в не-

которой окрестности точки z, включая и саму точку. Тогда предел

точке z, а функция f z называется дифференцируемой в точ-

ке z.

В равенстве (2.1) z стремится к нулю произвольным образом, т.е. точка z z может приближаться к точке z по любому из бесконечного множества различных направлений. В аналогичной ситуации для функции одного действительного переменного точка x x приближается к точке x лишь по двум направлениям: слева и справа.

Пусть f z u x, y iv x, y и z x i y , тогда

22

в некоторой окрестности точки z x iy , причем в этой точке функции u x, y и v x, y дифференцируемы, то для дифференцируемости функции w f z в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства

Равенства (2.3) называются условиями Коши–Римана (или ус-

ловиями Эйлера–Даламбера).

Доказательство. Докажем необходимость условий (2.3). Пусть функция f z имеет производную в точке z, тогда пре-

дел (2.2) существует и не зависит от того, по какому пути точка z x i y стремится к нулю. В частности, при z x ,

т.е. при приближении точки z z к точке z по прямой, параллельной оси Ox (рис. 2.1), получим:

Y

z+ z

z=i y

23

Если потребовать существование полных дифференциалов функций u x, y и v x, y , можно доказать, что условия Коши–Римана не только необходимы, но и достаточны для дифференцируемости функции f z .

С учетом условий Коши–Римана производную дифференцируемой функции можно находить по формулам:

Пример 1. Проверить условия Коши–Римана для функ-

Первое из условий (2.3) не выполнено. Следовательно, функция w z не дифференцируема ни в одной точке комплексной плоскости.

Пример 2. Проверить условия Коши–Римана для функции w ez .

24

Следовательно, условия Коши–Римана выполняются в каждой

точке. Таким образом, функция ez дифференцируема во всех точках комплексной плоскости.

Найдем производную от функции ez :

Правило дифференцирования обратной функции приведет нас к известным формулам дифференцирования обратных тригонометрических функций.

Для функций комплексного переменного остаются в силе все правила дифференцирования функций действительного переменного.

2.2. Аналитические и гармонические функции

Если функция дифференцируема не только в данной точке, но и в некоторой окрестности этой точки, то она называется аналитической в данной точке. Функция, аналитическая во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области.

Точки плоскости z, в которых однозначная функция f z является аналитической, называются правильными точ-

25

ками этой функции. Точки, в которых функция f z не явля-

ется аналитической (в частности, точки, в которых функция не определена), называются особыми точками.

Функция u x, y называется гармонической в области D,

если она имеет в области D непрерывные частные производные до второго порядка включительно и если она удовлетворяет уравнению Лапласа:

ласти D, то во всех точках этой области выполняются условия Коши–Римана:

Продифференцируем первое из этих равенств по переменной x, а второе – по y и сложим полученные равенства. Получим:

Точно так же доказывается гармоничность функции v x, y . Две гармонические функции u x, y и v x, y , удовле-

творяющие условиям Коши–Римана, следовательно, являющиеся действительной и мнимой частями некоторой аналити-

26

ческой функции f z u x, y iv x, y , называются взаимно

сопряженными. Зная одну из них, вторую можно определить с точностью до постоянного слагаемого.

Пример. Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть v x, y 2x2 2y2 x .

Тогда

u ux dx 4 y dx 4xy y .

Для определения функции y дифференцируем последнее

u

равенство по y и приравниваем к производной y , полученной

ранее из условий Коши–Римана:

u 4x y 4x 1,y

откуда y 1, y y C . Следовательно, u 4xy y C .

Окончательно получаем:

w u iv 4xy y C i 2x2 2 y2 x

2i x2 y2 2ixy i x iy C 2iz2 iz C,

где z x iy .

27

3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

3.1. Интеграл от функции комплексного переменного

Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в точке z0 и концом в точке z определена непрерывная

функция f z . Разобьем кривую L на n элементарных дуг точками z1 , z2 ,..., zn 1 в направлении от начальной точки к конечной (рис. 3.1). Внутри или на одном из концов каждой элементарной дуги выберем произвольную точку k и составим

n , а длина наибольшей из элементарных дуг стремится к нулю, и этот предел не зависит ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек k , то этот предел называ-

28

ется интегралом от функции f z по кривой L и обозначается

в случае незамкнутой кривой и f z dz в случае замкнутой

L

кривой.

Из этого определения интеграла непосредственно получим следующие его свойства:

комплексная постоянная.

3. Если направление интегрирования изменить на противоположное, то интеграл изменит знак: f z dz f z dz .

интеграл по всей кривой L равен сумме интегралов по ее час-

точках кривой L, то f z dz M l , где l – длина кривой L.

L

3.2. Вычисление интеграла от функции комплексного переменного

Вычисление интеграла (3.1) сводится к вычислению криволинейных интегралов от действительных функций действи-

29

Обе суммы в правой части последнего равенства являются интегральными суммами для соответствующих криволинейных интегралов. Поэтому после перехода к пределу в последнем

равенстве при max zk 0 получим:

f z dz u x, y dx v x, y dy i v x, y dx u x, y dy . (3.2)

L L L

Формулу (3.2) можно записать в удобном для запоминания виде:

раметрическое уравнение кривой L. Тогда формула (3.3) пре-

образуется к виду:

t2

f z dz f z t z t dt . (3.4)

L t1

Действительно, считая z t непрерывной и дифференцируемой функцией, получаем:

30