2294

плексно параметрические уравнение данной окружности есть z x iy x0 R cos t iy0 iR sin t

x0 iy0 R cos t sin t z0 R eit .

а) Если n 1, то

31

f z аналитична в замкнутой области D, ограниченной про-

непрерывна на контуре С и ограниченной им односвязной области. Напомним, что для того чтобы криволинейный интеграл

P x, y dx Q x, y dy не зависел от контура интегрирования

C

(т.е. чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому контуру, был равен нулю), необходимо и достаточно, чтобы вы-

полнялось равенство P Q .

y x

32

Y

С

D

O X

Рис. 3.2.

Согласно формуле (3.2) имеем:

f z dz u dx v dy i v dx u dy .

являются условиями равенства нулю криволинейных интегра-

С. Таким образом, каждый из двух интегралов в правой части формулы (3.2) равен нулю, и теорема Коши тем самым доказана.

Пусть D – многосвязная область, ограниченная внешним контуром С0 и внутренними контурами C1,C2 ,...,Cn (рис. 3.3).

Граница многосвязной области D называется сложным контуром и обозначается символом Г.

33

Положительным обходом контура Г называется такое движение по границе области, при котором точки области остаются слева. Для внешнего контура положительное направление нужно выбирать против часовой стрелки, для внутренних контуров – по часовой стрелке.

Интегралом от функции f z по сложному контуру Г

называется сумма интегралов от этой функции по всем граничным контурам, причем интегрирование по всем контурам проводится в одном и том же направлении:

Если направление интегрирования по внутренним контурам

34

изменить на противоположное, то равенство (3.6) примет вид:

где интегрирование по всем контурам проводится по часовой стрелке.

Доказательство. Пусть область D ограничена внешним контуром С0 и одним внутренним контуром С1 (рис. 3.4). Разобьем область D на две односвязные области D1 и D2. Постые

контуры, ограничивающие области D1 и D2: L1 AmBMnNA ,

L2 BpANqMB .

O

X

Рис. 3.4.

По теореме Коши для простого контура имеем:

f z dz f z dz f z dz f z dz

L1 AmB BM MnN

f z dz 0 ;

NA

35

f z dz f z dz f z dz f z dz

L2 BpA AN NqM

f z dz 0 .

MB

Сложив почленно полученные равенства, получим:

Доказательство. Пусть L1 и L2 – две кривые в области D, соединяющие начальную и конечную точки z1 и z2 . По теоре-

36

чальной и конечной точек пути интегрирования, пользуются

z2

обозначением f z dz f z dz . Если здесь зафиксировать

точку z1 , а верхний предел интегрирования z изменять, то функция

F z z f z dz

z1

называется первообразной для функции f z в области D. В этом случае F z f z .

z1

Полученная формула называется формулой Ньютона– Лейбница.

Интегралы от элементарных функций комплексного пе-

37

ременного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и методов, что и интегралы от функций действительного переменного.

Пример 2. Вычислить интеграл i z cos z dz .

0

Функции z и cos z аналитичны всюду. Применяя формулу интегрирования по частям, получим

где z0 – любая точка внутри области D, а интегрирование по

контуру L производится в положительном направлении (т.е. против часовой стрелки).

Интеграл, стоящий в правой части равенства (3.9) назы-

вается интегралом Коши, а сама эта формула – интегральной формулой Коши.

Доказательство. Построим окружность l с центром в точке z0 , взяв радиус окружности столь малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области D. Получим двусвязную область D1 , ограниченную контурами L и l, в которой

38

39

Оценим разность в левой части последнего равенства. Так как аналитическая функция f z непрерывна в точке z0 , то для любого числа 0 найдется число r 0 такое, что при

Так как число может быть выбрано сколь угодно малым, а левая часть полученного неравенства не зависит от , то она равна нулю:

ния аналитической функции f z в любой точке z0 , лежащей

внутри области D, через ее значения на границе этой области. Эта формула справедлива и для многосвязной области:

каждый из контуров обходится так, чтобы область D оставалась слева.

Следствие. Для всякой дифференцируемой в точке z0 функции f z существуют производные всех порядков, причем n-я производная вычисляется по формуле

Формула (3.10) может быть получена из формулы Коши

40