2294

8.ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

8.1.Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

f t являются оригиналами. Тогда, применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям уравнения (8.1), получим:

член уравнения (8.1), B p – многочлен, степень которого не превышает n–1, зависящий от начальных условий x0 , x1,..., xn 1 .

Полученное уравнение называют оператрным (или уравнением в изображениях).

Из уравнения (8.2) находим, что

Полученное равенство называется операторным решением дифференциального уравнения (8.1). Отсюда с помощью обратного преобразования Лапласа находится искомое реше-

91

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение:

p3 X p 15p2 2 p 56 p2 X p 15p 2 6 pX p 90 0 .

Отсюда по формулам (6.2), (6.3) и (6.4) получим: x t 6 5e 2t 4e3t .

8.2. Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля

Если в дифференциальном уравнении (8.1) начальные условия нулевые, то в некоторых случаях решение уравнения (8.1) можно находить с помощью интеграла Дюамеля.

Пусть требуется найтии решение уравнения a0 x n a1x n 1 ... an 1x an x f t ,

92

удовлетворяющее начальным условиям

Для этого найдем решение вспомогательного уравнения

Разделим почленно полученное первое уравнение на второе:

случаях, когда решается дифференциальное уравнение для

Решим его операционным методом:

93

8.3. Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом

Аналогично применяется преобразование Лапласа к решению систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пример. Найти решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений

y 4 y 4z 0z 2 y 6z 0

преобразование Лапласа к каждому уравнению системы:

pY p 3 4Y p 4Z p 0

pZ p 15 2Y p 6Z p 0 ,

p 4 Y p 4Z p 3

2Y p p 6 Z p 15

94

Выразим из первого уравнения Y p :

Разложим эти дроби на суммы простейших дробей:

Отсюда по формулам (6.3) и (6.4) получим: y t 8e 2t 11e 8t ,

z t 4e 2t 11e 8t .

8.4. Решение интегральных уравнений операционным методом

Интегральным уравнением называется уравнение, со-

держащее искомую функцию под знком интеграла. Например, решение задачи Коши y f x, y , y x0 y0 , как известно, сводится к решению интегрального уравнения:

95

x

y f x, y x dx y0 .

x0

Если искомая функция y входит в уравнениеилинейно, то интегральное уравнение называется линейным. Среди линейных уравнений выделяют два основных типа уравнений.

1. Уравнения Фредгольма.

b

– первого рода: K x,t y t dt f x (искомая функция

a

входит только под знак интеграла);

b

– второго рода: y x f x K x,t y t dt .

a

Здесь a и b – постоянные, K x,t , f x – заданные функции,

ется интегральным оператором, действующим на функцию y t , а функция K x,t называется ядром интегрального опе-

ратора. Функция f x называется свободным членом. Если f x 0 , то уравнение называется однородным.

2. Уравнения Вольтеррá.

x

– первого рода: K x,t y t dt f x ;

a

x

– второго рода: y x f x K x,t y t dt .

a

Уравнения вида

96

a

с ядром K x t , зависящим только от разности аргументов,

представляют собой важный класс уравнений Вльтерра. Они называются уравнениями типа свертки.

обеим частям уравнения (8.7) преобразование Лапласа и поль-

зуясь теоремой об умножении изображений (7.7), получим:

Y p F p L p Y p ,

откуда

Для функции Y p с помощью обратного преобразования Лапласа находим оригинал y x .

Пример. Решить интегральное уравнение

x

y x cos x x t y t dt .

0

Решение. Переходя к изображениям и рассмартивая интеграл как свертку функций, получим:

Находя оригинал по формулам (6.6) и (6.8), получим решение интегрального уравнения:

97

y x 12 cos x ch x .

Аналогично решаются интегральные уравнения Вольтерра первого рода с ядром K x,t , зависящим только от разности x t , т.е. уравнения вида

меняя к обеим частям уравнения (8.8) преобразование Лапласа и используя теорему об умножении изображений (7.7), будем

иметь:

L p Y p F p ,

откуда

Y p F p , L p 0 . L p

Оригинал для функции Y p будет решением y x ин-

тегрального уравнения.

Операционный метод решения интегральных уравнений можно применить также к системам интегральных уравнений Вольтерра вида:

98

будут решением исходной системы интегральных уравнений.

8.5. Решение задач электротехники операционным методом

Рассмотрим колебательный контур, в котором последовательно включены сопротивление R, индуктивность L и емкость C (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Уравнение, описывающее состояние колебательного контура, имеет вид:

Отсюда находим, что

99

где функция Z p R Lp Cp1 называется операторным со-

противлением цепи. Формула (8.10) является оператоной формой закона Ома. Из формулы (8.10) с помощью обратного пре-

образования Лапласа можно найти силу тока i t .

Например, пусть v t E – в цепь включается постоян-

В первом случае в цепи наблюдаются затухающие гармонические колебания, во втором и третьем случае – непериодический затухающий процесс.

Мы рассмотрели случай, когда i 0 0 , q 0 0. Рас-

смотрим теперь случай, когда в начальный момент времени t 0 в контуре есть ток i0 и на обкладках конденсатора есть

начальный заряд q0 .Тогда состояние контура описывается дифференциальным уравнением

100