2294

путем последовательного дифференцирования равенства (3.9) по z.

Формулы (3.9) и (3.10) можно использовать для вычисления интегралов по замкнутым контурам. Для этого запишем их в виде

знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль. Перепишем интеграл в виде

ласти. Применяя интегральную формулу Коши (3.9), находим

41

4. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

4.1. Степенные ряды в комплексной области

Степенным рядом в комплексной области называется ряд вида

k 0

где ck – комплексные числа (коэффициенты ряда).

Рассматривают также степенной ряд вида

ck z z0 k c0 c1 z z0 c2 z z0 2 ... cn z z0 n ..., (4.2)

k 0

который называют рядом по степеням разности z z0 . Подста-

Совокупность всех значений z, при которых ряд (4.1) сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (4.1) сходится в точке z0 , то он абсолютно сходится во всех точках z, для которых

z z0 .

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абеля в действительном анализе.

Следствие. Если ряд (4.1) расходится в точке z0 , то он расходится во всех точках z, для которых z z0 .

Из теоремы Абеля также следует существование такого числа R, что при всех значениях z, удовлетворяющих неравен-

ству z R , степенной ряд (4.1) абсолютно сходится. Неравенству z R удовлетворяют точки комплексной плоскости, лежащие внутри круга радиуса R с центром в точке z 0 . Число R называется радиусом сходимости ряда (4.1), а круг z R – кругом сходимости ряда. В этом круге ряд сходится, вне этого

42

круга – расходится. Кругом сходимости ряда (4.2) является круг z z0 R с центром в точке z z0 .

Радиус сходимости ряда (4.1) можно вычислить по фор-

менения признака Даламбера (или Коши) к ряду, составленному из модулей членов исходного ряда.

Приведем некоторые свойства степенных рядов:

1.Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналитическая функция.

2.Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно дифференцировать и почленно интегрировать любое число раз. Полученный при этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.

Рассмотрим теперь ряд вида

ва получим ряд вида (4.1). Если этот ряд сходится в круге

содержащий как отрицательные, так и неотрицательные степе-

43

жду двумя концентрическими окружностями с центром в точке z0 . Сумма ряда аналитична в этом кольце. Если r 0 , то

область 0 z z0 R представляет собой круг с исключенной точкой z0 .

ция f z может быть разложена в этом круге в степенной ряд

C

где C – произвольная окружность с центром в точке z0 , лежа-

щая внутри круга.

Степенной ряд (4.5) называется рядом Тейлора для функции f z в данном круге.

Доказательство. Возьмем произвольную точку z внутри данного круга и проведем окружность с центром в точке z0 и радиусом r R так, чтобы точка z находилась внутри круга z z0 r (рис. 4.1).

Так как функция f z аналитична в круге z z0 r и на его границе C, то ее значение в точке z можно найти по ин-

44

нечной убывающей геометрической прогрессии с первым чле-

45

C

Используя интегральную формулу Коши для производных от аналитической функции

получим выражение коэффициентов ряда Тейлора через k-е

Таким образом, мы получили разложение функции f z

встепенной ряд (4.5), коэффициенты которого определяются по формулам (4.6). Теорема доказана.

Приведем разложения некоторых элементарных функций

вряд Тейлора:

ez 1 z z2 z3 ... , 2! 3!

sin z z z3 z5 z7 ... , 3! 5! 7!

46

C

где C – произвольная окружность с центром в точке z0 , лежа-

щая внутри данного кольца.

Степенной ряд (4.7) называется рядом Лорана для функции f z в рассматриваемом кольце.

Доказательство. Возьмем произвольную точку z внутри кольца r z z0 R и проведем две окружности L1 и L2 с центрами в точке z0 так, чтобы точка z была между ними и каждая окружность находилась внутри данного кольца (рис. 4.2). Функция f z аналитична в кольце между окружностями

47

L1 и L2 и на самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для многосвязной области имеем:

Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части последнего равенства, рассуждая, как и при выводе формулы Тейло-

48