2294

которое после преобразования Лапласа принимает вид:

Этот ток называется током короткого замыкания. Он получается, если положить v t 0 , т.е. накоротко замкнуть контур.

Рассмотрим теперь не один контур, а сложную электрическую цепь. Расчет электрических цепей постоянного тока проводится на основе законов Кирхгофа:

1.Алгебраическая сумма всех токов, притекающих кданной точке цепи, равна нулю.

2.Для каждого замкнутого контура алгебраическая сумма падений напряжения на отдельных ветвях цепи равна нулю.

Если ток меняется во времени, то оба закона Кирхгофа остаются справедливыми также для операторных токов и операторных сопротивлений. Всякую электрическую цепь можно разбить на участки, содержащие один из трех возможных ти-

101

пов сопротивлений: активное сопротивление R, сопротивление индукции L и сопротивление емкости C. Зависимость напряжения от тока на отдельных участках цепи имеет вид:

Применяя преобразование Лапласа к этим равенствам, получим зависимость операторных напряжений от операторных токов:

Эти соотношения объединяет операторная форма закона Ома

V p Z p I p ,

Рассмотрим возможные типы соединений отдельных сопротивлений в электрическую цепь.

1.Сопротивления Z1 и Z2 соединены последовательно.

Вэтом случае

V1 p Z1 p I p ,

V2 p Z2 p I p ,

Следовательно, Z p Z1 p Z2 p .

2. Сопротивления Z1 и Z2 соединены параллельно. В этом случае

I p I1 p I2 p V p V p

Z1 p Z2 p

102

Полученные соотношения для операторных сопротивлений и закон Ома в операторной форме позволяют составить операторное уравнение для любой электрической цепи.

103

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Авторы надеются, что после знакомства с основами теории функций комплексного и операционного исчисления, изложенными в данном пособии, студентам будет гораздо легче применять эти методы как при изучении специальных дисциплин на старших курсах, так и в своей дальнейшей профессиональной деятельности.

Данное учебное пособие существенно восполнит имеющиеся пробелы в учебной литературе по специальным главам высшей математики. Оно будет полезно студентам направления 11.03.01 "Радиотехника", профиля "Радиотехнические средства передачи, приема и обработки сигналов" и специальности 11.05.01 "Радиоэлектронные системы и комплексы", профиля "Радиоэлектронные системы передачи информации" при изучении лекционного материала и курсовом проектировании.

104

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / И.Г. Араманович, Г.Л. Лунц, Л.Э. Эльсгольц. – М.: Наука, 1968. – 416 с.

2.Краснов М.Л. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Наука, 1981. – 304 с.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. для втузов. В 2-х т. Т. 2 / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2001. – 544 с.

4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс,

2006. – 608 с.

5.Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа / П.И. Романовский. – М.: Наука, 1980. – 336 с.

6.Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В, Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Высшая школа. – 1991. – 448 с.

105

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………..3

1.Комплексные числа и функции комплексного переменного…………………....................................................4

1.1.Комплексные числа и действия с ними………………….4

1.2.Последовательность комплексных чисел………………. 9

1.3.Функции комплексного переменного…………………..11

1.4.Предел и непрерывность функции комплексного переменного……………………………………………...12

1.5.Основные трансцендентные функции комплексного переменного……………………………………………...14

1.5.1.Ряды с комплексными членами…………………..14

1.5.2.Показательная и тригонометрические функции……………………………………………14

1.5.3.Гиперболические функции……………………….17

1.5.4.Логарифмическая функция. Показательная функция с любым комплексным основанием…...18

1.5.5.Обратные тригонометрические и гиперболические функции……………………….20

2.Дифференцирование функций комплексного переменного.22

2.1.Производная функции комплексного переменного…...22

2.2.Аналитические и гармонические функции…………….25

3.Интегрирование функций комплексного переменного……25

3.1.Интеграл от функции комплексного переменного…….28

3.2.Вычисление интеграла от функции комплексного переменного……………………………………………...29

3.3.Теорема Коши для простого и сложного контура..........32

3.4.Интегральная формула Коши…………………………...38

4.Ряды в комплексной плоскости……………………………...42

4.1.Степенные ряды в комплексной области………………42

4.2.Ряд Тейлора………………………………………………44

4.3.Ряд Лорана………………………………………………..47

4.4.Изолированные особые точки…………………………..53

5.Теория вычетов……………………………………………….58

106

5.1.Вычет функции. Основная теорема о вычетах………..58

5.2.Вычисление вычетов……………………………………59

5.3.Применение вычетов для вычисления интегралов…...63

5.4.Вычисление интегралов от рациональных функций с помощью вычетов……………………………………….65

5.5. Вычисление интегралов вида R x cos x dx ,

R x sin x dx с помощью вычетов…………………66

2

5.6. Вычисление интегралов вида R cos x,sin x dx

0

спомощью вычетов……………………………………..68

6.Преобразование Лапласа…………………………………….71

6.1.Оригиналы и их изображения…………………………..71

6.2.Свойства преобразования Лапласа……………………..75

6.2.1. Линейность………………………………………...75 6.2.2. Подобие……………………………………………76

6.2.3. Теорема о смещении изображения………………77

6.2.4. Запаздывание……………………………………...77

6.2.5. Дифференцирование оригинала………………….78 6.2.6. Дифференцирование изображения………………78 6.2.7. Интегрирование оригинала……………………….79 6.2.8. Интегрирование изображения……………………80 6.2.9. Изображение степенных функций……………….80

7.Обратное преобразование Лапласа………………………….82

7.1.Формула Римана–Меллина……………………………...82

7.2.Применение вычетов для отыскания обратного преобразования Лапласа………………………………...84

7.3.Оригиналы рациональных изображений……………….85

7.4.Свертка функций………………………………………...87

7.5.Интеграл Дюамеля……………………………………….88

8.Применения преобразования Лапласа………………………91

107

8.1.Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом………………………………...91

8.2.Решение дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля………………………………………92

8.3.Решение систем линейных дифференциальных уравнений операционным методом…………………….94

8.4.Решение интегральных уравнений операционным методом…………………………………………………...95

8.5.Решение задач электротехники операционным методом…………………………………………………...99

Заключение……………………………………………………..104

Библиографический список…………………………………...105

108