2292

Функцию F( j ) называют полной комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала s(t). Можно показать, что

где dS( ) – бесконечно малая амплитуда гармоники на частоте (при сплошном спектре использовать номер гармоники нельзя, так как он равен бесконечности), а d – бесконечно малый интервал частот между соседними гармониками. Это выражение типично для физического определения плотности.

Согласно (5.3) или (5.5) спектральная плотность измеряется в единицах сигнала, умноженных на секунду (или деленных на единицу частоты). Она является комплексной функцией частоты и может быть представлена в виде

называют спектральной плотностью амплитуд сигнала.

Она измеряется в единицах сигнала, умноженных на секунду (или деленных на единицу частоты). Можно использовать термин «спектр амплитуд», не забывая, что речь идет о спектральной плотности.

Спектр фаз непериодического сигнала ( ) определя-

Он не является «плотностью», так как начальные фазы гармоник с бесконечно малыми амплитудами имеют конечные значения и измеряются в радианах или градусах.

81

Спектры амплитуд и фаз полностью определяют комплексную спектральную плотность сигнала, а значит в соответствии с обратным преобразованием Фурье и сам исходный сиг-

нал s(t).

В качестве примера рассмотрим одиночный прямоугольный импульс длительно-

стью , показанный на рис. 5.2. Полная комРис. 5.2 плексная спектральная плотность F( j ) равна

(5.9)

Ее модуль представляет собой спектральную плотность амплитуд F( ), равную

Графики спектров амплитуд и фаз одиночного прямоугольного импульса с амплитудой U 1В и длительностью10мс показаны на рис. 5.3.

82

5.2. Энергетические характеристики

Непериодические сигналы характеризуются полной энергией, равной

их средняя мощность при бесконечном периоде равна нулю. В частотной области энергия сигнала определяется вы-

ражением

W 1 F2 ( )d , (5.13)

0

которое называют теоремой Релея или равенством Парсеваля. Как видно, энергия сигнала определяется его спектральной плотностью амплитуд и не зависит от фазового спектра.

Функцию G( ) называют спектральной плотностью энергии сигнала или его энергетическим спектром,

Постройте и проанализируйте график энергетического спектра сигнала на рис. 5.2 самостоятельно.

5.3. Ширина спектра непериодического сигнала

Определим ширину спектра Ш как частотный диапа-

зон, в котором сосредоточена заданная доля 0,9 0,99 энергии сигнала.

Рассмотрим энергию w(Ш) сигнала в полосе частот от 0 до Ш , равную

84

Ш

Зависимость нормированной энергии w(Ш)/W от Ш для сигнала на рис. 5.2 при 10мс показана на рис. 5.4, а его энергетический спектр – на рис. 5.5.

Из графика на рис. 5.4 следует, что при заданной доле энергии 0,9 ширина спектра равна 512 рад/c. С ростом величины ширина спектра значительно возрастает, как и в случае периодических сигналов.

Можно использовать независимое от определение

эффективной ширины спектра ШЭ в виде

где Gmax – максимальное значение энергетического спектра

(рис. 5.5).

Величина ШЭ равна ширине прямоугольника, пока-

занного пунктиром на рис. 5.5, высота которого равна Gmax .

Для одиночного прямоугольного импульса вида рис. 5.2 энергия сигнала согласно (5.12) равна

85

энергетический спектр имеет вид

ширина спектра равна ШЭ 314рад/c. Ранее была определе-

на полоса частот Ш, в которой сосредоточено 90% энергии сигнала, существенно большая ШЭ и равная 512 рад/c.

На практике используется инженерная оценка ширины спектра одиночных импульсных сигналов с длительно-

Те же оценки использовались и для периодических сигналов. Чаще всего используются соотношения с единичным множителем вида

Эта оценка при 10мс дает значение Ш 628рад/с.

5.4. Спектральные характеристики экспоненциального импульса

Рассмотрим экспоненциальный одиночный импульс

s(t)

86

график этой функции при S 10 и 1000 1/c показан на рис. 5.6. Определим полную комплексную спектральную плотность

F(j ) Se ( j )tdt

0 (5.25)

S .

j

Рис. 5.6 При этом спектральная плотность амплитуд равна

На рис. 5.7 а показана зависимость w(Ш) при S 10В

и 10001/c.

87

образом. Пусть заданный сигнал s1(t) имеет комплексную спектральную плотность F1 ( j ), тогда комплексная спектральная плотность F2 ( j ) задержанного на интервал време-

то есть спектральная плотность амплитуд не изменяется

при временной задержке сигнала.

Вычислив аргументы обеих частей выражения (5.31), получим соотношения для спектров фаз в виде

Аналогичные результаты имели место для периодических сигналов.

Рассмотрим влияние симметрии сигнала на свойства спектральных характеристик. Для четного сигнала s(t) s( t) комплексная спектральная плотность F( j ) является действительной функцией частоты, при этом в (5.6) F2 ( ) 0, а фазовый спектр ( ) принимает значения 0 или .

Для нечетного сигнала s(t) s( t) комплексная спектральная плотность F( j ) является мнимой функцией

частоты, F1 ( ) 0 , а фазовый спектр принимает значения

/2.

5.6. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Определите и постройте графики спектров амплитуд и фаз сигналов, показанных на рис. 5.8.

Рис. 5.8

89

Задание 5.2. Найдите спектры амплитуд и фаз сигналов, показанных на рис. 5.9, постройте их графики. Сравните результаты расчета спектров амплитуд сигналов на рис. 5.8 и рис. 5.9.

Рис. 5.9.

Задание 5.3. Вычислите полную комплексную спектральную плотность сигнала на рис. 5.8 а, используя результаты, полученные для сигнала на рис. 5.2 и теорему смещения.

Задание 5.5. Определите комплексную спектральную плотность пачки из двух импульсов, показанных на рис. 5.11, используя результаты, полученные для одиночного импульса на рис. 5.2 и теорему смещения.

Проанализируйте графики спектра амплитуд для различных значений временной задержки t0 второго импульса.

Рис. 5.11

90