2292

Так как определяется свободный процесс, то принужденная составляющая отсутствует и выражение (8.11) является окончательным общим решением дифференциального уравнения.

Подставляя в (8.11) t 0, получим начальное значение

R1 R2 1кОм и C 2мкФ. Как видно, напряжение на емкости экспоненциально падает с течением времени (запасенная в емкости C до коммутации энергия рассеивается после коммутации в сопротивлениях цепи). При t 0 напряжение uC (t)

равно начальному значению uC (0). С течением времени (при

t ) емкость разряжается и напряжение на ней (8.14) стремится к нулю.

121

начальному условию (8.16). Тогда получим искомый свободный процесс

123

Рис. 8.6

8.2. Расчет переходного процесса в цепи первого порядка

Рассмотрим цепь на рис. 8.7, в которой идеальный источник напряжения включается в момент времени t 0.

Рис. 8.7

В цепи до коммутации отсутствовали источники сигнала, поэтому в данном случае имеются нулевые начальные условия

Выразив токи ветвей через напряжение на емкости uC

(проделайте это самостоятельно), получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Свободная составляющая uC СВ(t) является решением

однородного уравнения, получающегося из (8.29) обнулением правой части,

Определим принужденную компоненту переходного процесса. Так как правая часть исходного дифференциального уравнения (8.29) постоянна, то и принужденная составляющая его решения также представляет собой константу вида

Она является частным решением (8.29), при подстановке которого получим (производная константы равна нулю)

и тогда

125

В результате можно записать общее решение в виде

Определим постоянную интегрирования. Из (8.36) найдем значение uC (0) и приравняем его нулевому начальному условию, тогда получим

Подставляя найденную постоянную интегрирования в решение (8.36), запишем выражение для переходного процесса

R1 R2 1кОм и C 2мкФ. В момент коммутации напряжение равно нулю, а после подключения источника напряжения емкость заряжается до стационарного значения напряжения

(8.35).

Рис. 8.8

126

Рассмотрим цепь на рис. 8.9 а, в которой идеальный источник тока включается в момент времени t 0, а источник напряжения был и остается включенным в цепь.

Рис. 8.9

До коммутации на постоянном токе индуктивность представляет собой короткое замыкание и схема цепи имеет вид, показанный на рис. 8.9 б. Начальный ток индуктивности равен

В схеме на рис. 8.9 а после коммутации (при замкнутом ключе) система компонентных уравнений имеет вид

uL L diL .dt

Запишем уравнения по первому и второму законам Кирхгофа

Выражая ток i1 из уравнения первого закона Кирхгофа, подставляя его в уравнение закона Ома и используя уравнение второго закона Кирхгофа, получим неоднородное уравнение первого порядка

127

Его общее решение является суммой свободной и принужденной составляющих в виде

Свободная компонента является решением однородного дифференциального уравнения, полученного из (8.43) обнулением правой части,

Общее решение однородного уравнения (8.45) – свободная составляющая переходного процесса – равна

Определим принужденную составляющую. Так как правая часть исходного дифференциального уравнения (8.40) постоянна, то и принужденная составляющая его решения также константа B , тогда подставляя ее в (8.43), получим уравнение

Найдем принужденную составляющую как стационарное значение переходного процесса. В цепи на рис. 8.9 а через бесконечное время после коммутации установится постоянный ток. Тогда, заменив индуктивность коротким замыканием, получим цепь, показанную на рис. 8.10 а.

128

Расчет постоянного тока iL проведем методом наложения, соответствующие схемы представлены на рис. 8.10 б и рис. 8.10 в. Проведите расчет самостоятельно. Получим выражение, совпадающее с (8.50).

Рис. 8.10

В результате найдем общее решение неоднородного уравнения

I0 1мА, R1 R2 1кОм и L 2мГн показана на рис. 8.11.

129