2292

Для воздушного зазора шириной b (как и в вакууме) напряженность магнитного поля равна

0

В результате для заданной магнитной индукции B получим значения магнитного напряжения UМ ,

UМ HФ (В) (a с) B b.

0

Для однородного магнитного поля и плоской поверхности площадью S , перпендикулярной вектору магнитной

индукции B , магнитный поток согласно (1.11) равен Ф BS . Определим значения магнитного потока для тех же значений индукции, при которых определялись магнитные напряжении. В результате получим вебер-амперные характеристики, показанные на рис. 2.3. при S 1см2 , a c 10см и величинах b 1мм , 3мм и 10мм соответственно.

Рис. 2.3

Как видно, полученные вебер-амперные характеристики нелинейны, что объясняется наличием ферромагнитного материала. Если он отсутствует (a c 0), то рассматриваемые характеристики становятся прямолинейными (показаны на рис. 2.3 пунктиром).

22

2.4. Расчет неразветвленной магнитной цепи

На рис. 2.4 показана магнитная цепь, состоящая из катушки с числом витков w и током I на ферромагнитном сердечнике с кривой намагничиваний на рис. 2.1 а, площадью поперечного сечения S , длинами осевых линий L1 и L2 , а также с воздушным зазором шириной b .

Для индукции B напряженность поля в ферромагнитном сердечнике равна HФ (B), а в воздушном зазоре – (2.5), тогда магнитное напряжение в полном контуре определяется выражением

Рис. 2.4

По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (2.3) получим

UМ I w

и в результате

HФ (В) (2L1 2L2 b) B b I w.

0

Это выражение позволяет определять различные характеристики магнитной цепи. Например, для заданного зна-

23

w

На рис. 2.5 показана зависимость тока катушки I от требуемого значения B магнитной индукции для различных величин воздушного зазора b 0,1,3и10мм. Как видно, уменьшение зазора значительно повышает значение магнитной индукции при неизменном токе катушки.

Рис. 2.5

2.5. Расчет разветвленной магнитной цепи

Рассмотрим магнитную цепь на рис. 2.6 с обозначенными геометрическими размерами, в которой имеется три ветви и два узла и, следовательно, два независимых контура (повторите соответствующий материал в теории электрический цепей). В цепи присутствуют две катушки с числами витков w1 , w2 и токами I1 ,I2 . Жирными стрелками заданы

24

положительные направления магнитных потоков Ф1 , Ф2 и Ф3

.Уравнение первого закона Кирхгофа для магнитной цепи имеет вид

Рис. 2.6

Для однородного магнитного поля и плоской поверх-

ности, перпендикулярной вектору магнитной индукции B , согласно (1.11) получим

Ф1 B1S1,

Ф2 B2S2, (2.8)

Ф3 B3S3,

где B1,B2,B3 – индукции в ветвях 1, 2 и 3 соответственно (от-

мечены кружками на рис. 2.6), а S1,S2,S3 – их площади попе-

речного сечения, равные

В результате уравнение первого закона Кирхгофа (2.6) можно записать в виде

В цепи на рис. 2.6 имеется два независимых контура,

25

для которых составляются уравнения второго закона Кирхгофа для магнитных цепей в виде

где H1,H2' ,H3 – напряженности магнитных полей в ферро-

магнитных ветвях с соответствующим номером, а H2'' – в воздушном зазоре. Напряженности магнитных полей в ферромагнитной среде H1,H2' ,H3 зависят от величин магнитной индукции B1,B2,B3 в соответствующих ветвях и кривой на-

магничивания на рис. 2.1 а, а в воздушном зазоре из (2.5)

H2'' B2 .

0

В результате уравнения (2.10) можно записать в виде

Уравнения (2.9) и (2.11) образуют полную систему уравнений магнитной цепи

Получена система нелинейных уравнений для неизвестных значений магнитной индукции в различных ветвях магнитной цепи. Их решение может быть получено численными методами и для этого необходимо записать аналитическое выражение для кривой намагничивания и зависимости напряженности H (А/м) магнитного поля от величины магнитной индукции B (Тл) в ферромагнетике (рис. 2.2).

В качестве примера можно использовать полиномиальную функцию вида

26

0

график этой зависимости показан пунктиром на рис. 2.2.

На рис. 2.7 показана программа расчета магнитной индукции в рассматриваемом примере (рис. 2.6 и рис. 2.2) при2000 и малых значениях токов I1 I2 1мА .

B2 0.

При малых токах ферромагнитный сердечник оказывается линейным и тогда для напряженности магнитного поля

где – относительная магнитная проницаемость ферромаг-

27

нетика (в рассматриваемом примере 2000 ). С учетом

(2.14) из (2.12) получим

Из (2.16) получим (проведите расчет самостоятельно)

Вычисленные из (1.17) – (2.19) значения магнитной индукции при малых токах совпадают с результатами расчета по системе уравнений (2.12).

2.6. Линейные магнитные цепи переменного тока

Расчет нелинейных магнитных цепей переменного тока наталкивается на значительные математические трудности. Анализ линейных магнитных цепей значительно упрощается с использованием законов электромагнитной индукции.

Рассмотрим две магнитосвязанные катушки индуктивности, у которых магнитный поток одной из них частично пересекает витки другой и наоборот, как показано на рис. 2.8 а при согласном и рис. 2.8 в при встречном включении. Соответствующие эквивалентные схемы показаны на рис. 2.6 б и

28

рис. 2.8 г соответственно, точками отмечены одноименные выводы катушек (если в них втекают токи, то созданные ими магнитные потоки Ф1 и Ф2 складываются, а в противном случае – вычитаются).

Рис. 2.8

Магнитный поток, создаваемый первой катушкой, разделяется на поток Ф12 , пересекающий витки второй катушки,

и поток рассеивания ФS1 первой катушки, не затрагивающий вторую катушку,

где Ф2 – полный магнитный поток второй катушки, Ф21 – поток второй катушки, пересекающий витки первой катушки и ФS2 – поток рассеивания второй катушки.

Сердечник обеспечивает концентрацию магнитного потока одной катушки в витках другой и уменьшает потоки рассеивания. Наиболее эффективны тороидальные сердечники

29

(кольца). Если сердечник отсутствует, то поток рассеивания увеличивается. Наличие ферромагнитного сердечника значительно увеличивает индуктивности катушек. При малых токах катушки индуктивности с ферромагнитным сердечником можно рассматривать как линейные элементы.

Рассмотрим последовательное соединение двух магнитосвязанных катушек при согласном включении, как показано на рис. 2.9 а.

Рис. 2.9

Протекающий через катушки общий ток i(t) вызывает

и совпадающие с ними по направлению ЭДС взаимоиндукции e12 (t) и e21 (t)

e12(t) d 12(t) M di(t) , dt dt

30