2292

Тогда операторные токи и напряжения в элементах цепи связаны классическим выражением закона Ома в виде

9.6. Свойства цепи при ненулевых начальных условиях

При ненулевых начальных условиях токи или напряжения не равны нулю при t 0, то есть нарушается условие (9.1) и к этим функциям времени нельзя применять преобразование Лапласа. В этом случае реактивные элементы цепи с ненулевыми начальными условиями необходимо заменить эквивалентными схемами замещения, показанными на рис. 9.2.

На рис. 9.2 а показаны два варианта замены заряженной емкости (с начальным условием uC (0)) на операторную

цепь с незаряженной емкостью и идеальными источниками напряжения или тока. Включающийся после коммутации источник напряжения учитывает начальное напряжение емкости uC (0). Таким образом заряженная емкость заменяется

«пустой» емкостью и источником напряжения, ЭДС которого удовлетворяет условию (9.1). Схема с источником тока получа-

151

ется в соответствии с теоремой об эквивалентном источнике.

Рис. 9.2

На рис. 9.2 б показаны два варианта замены индуктивности с начальным условием iL(0) 0 на «незаряженную» индуктивность с идеальными источниками напряжения или тока. Включающийся после коммутации идеальный источник тока учитывает начальный ток индуктивности. Схема с источником напряжения вытекает из теоремы об эквивалентном источнике тока.

9.7. Формирование уравнений цепи

Прежде всего, необходимо сформировать эквивалентную операторную схему анализируемой цепи. Для этого в исходной схеме необходимо индуктивности и емкости с нуле-

152

выми начальными условиями заменить их операторными сопротивлениями согласно табл. 9.3, а реактивные элементы с

ненулевыми начальными условиями заменить их эквива-

лентными схемами согласно рис. 9.2.

Затем в полученной эквивалентной схеме вводятся обозначения и положительные направления операторных токов

инапряжений в элементах цепи, и по законам Ома и Кирхгофа составляется система уравнений электрического равновесия. При этом могут использоваться: метод расчета на основе закона Ома, общий метод расчета цепи на основе законов Ома

иКирхгофа, методы контурных токов и узловых напряжений, метод наложения и теорема об эквивалентном источнике.

Затем из системы уравнений выражается изображение искомого тока или напряжения и оно преобразуется к форме, пригодной для использования таблиц обратных преобразований Лапласа. С их помощью по найденному изображению определяется оригинал искомого сигнала.

9.8.Задания для самостоятельного решения

Задание 9.1. Определите изображения по Лапласу следующих функций

f (t) 1 e at , f (t) e at e bt .

Задание 9.2. Определите оригиналы следующих изображений по Лапласу

Задание 9.3. При включении источника тока (рис. 9.3 а) запишите систему уравнений на основе общего метода расчета цепей по уравнениям Кирхгофа для операторного тока индуктивности (рис. 9.3 б) и напряжения емкости (рис. 9.3 в).

153

Как видно полученное напряжение совпадает с (2.39), но получено заметно проще. Его временная диаграмма показана на рис. 2.5.

Рассмотрим переходной процесс iL (t) в цепи, показанной на рис. 10.2 (он рассмотрен ранее для цепи рис. 2.9). В ней в момент времени t 0 включается идеальный источник постоянного тока I0 . Идеальный источник напряжения с ЭДС

E0 был включен всегда, остается включенным после комму-

тации и в эквивалентной схеме рис. 10.2а он заменяется включающимся источником напряжения E0 / p . Источник напря-

жения LiL (0) учитывает ненулевое начальное условие (2.37),

Рис. 10.2

156

Применим общий метод расчета цепи по уравнениям Кирхгофа, для которого система уравнений имеет вид

U1(p) R1I1(p),

U2(p) R2IL(p), (10.8)

UL(p) pLIL(p) LiL(0),

Подставляя в уравнение второго закона Кирхгофа напряжения из уравнений закона Ома с учетом уравнения первого закона Кирхгофа, получим

С учетом начального условия (10.7) после преобразования к требованиям таблиц преобразования Лапласа, получим

Используя табл. 3.1, найдем оригинал тока индуктивности (проделайте выкладки самостоятельно)

157

что полностью совпадает с (2.54). Зависимость тока индук-

10.2. Расчет свободного процесса в цепи первого порядка

Проведем расчет свободного процесса uC (t) при вы-

ключении источника e(t) (рис. 10.3 а) в цепи, показанной на рис. 10.3 б. Начальные условия равны

(проведите расчет самостоятельно).

Рис. 10.3

Эквивалентная операторная схема цепи показана на рис. 10.3 в (емкость с ненулевыми начальными условиями заменена эквивалентной операторной схемой на рис. 9.2 а), тогда на основе закона Ома можно записать

Преобразуя полученное выражение к виду, пригодному к использованию таблицы преобразования Лапласа, получим

158

В результате с помощью табл. 3.1 найдем оригинал напряжения на емкости

Зависимость напряжения на емкости uC (t) от времени при E0 1В, R1 R2 1кОм и C 2нФ показана на рис. 10.4

(физический анализ полученных результатов проведите самостоятельно).

Рис. 10.4

10.3. Расчет переходного процесса в цепи второго порядка

Рассмотрим цепь второго порядка (последовательный колебательный контур с нагрузкой RН ), схема которой показана на рис. 10.5, в которой в момент времени t 0 включается идеальный источник напряжения с ЭДС E . До коммутации в цепи отсутствовали источники сигналов, следовательно, на-

159

Рис. 10.5

Эквивалентная операторная схема замещения цепи показана на рис. 10.6.

2LCRН

160