2292

На спектральные характеристики влияют свойства симметрии сигнала.

Рассмотрим четные функции времени, удовлетворяющие условию s(t) s( t) . В этом случае амплитуда квадратурной составляющей n-й гармоники равна нулю

комплексная амплитуда n-й гармоники Sn является действи-

тельным числом,

Для нечетной функции, удовлетворяющей условию s(t) s( t), амплитуда синфазной составляющей n-й гармоники равна нулю

комплексная амплитуда n-й гармоники Sn является мнимым числом,

Re Sn .

Эти свойства иллюстрирует пример четного сигнала на рис. 4.2, для которого имеет место равенство (4.19). Его фазовый спектр со значениями 0 или показан на рис. 4.3 б.

Рассмотрим комплексные спектры двух сигналов

71

s1(t) (рис. 4.11 а) и s2 (t) (рис. 4.11 б), и их сумму s3(t) (рис. 4.11 в).

Рис. 4.11.

Сигнал s2 (t) получен из s1(t) сдвигом во времени на величину t , оба являются последовательностями прямоугольных импульсов длительностью импульса . Сигнал s3(t) оказывается последовательностью прямоугольных им-

пульсов длительностью 2 .

Комплексная амплитуда n-й гармоники s1(t) опреде-

Тогда согласно свойству линейности комплексная амплитуда n-й гармоники сигнала s3(t) равна

72

2S sin n 1 1 cos(n 1 ) jsin(n 1 ) n 2

(4.46)

С другой стороны, при прямом вычислении (проведите расчеты самостоятельно) комплексная амплитуда n-й гармоники сигнала s3(t) равна

что полностью совпадает с (4.4 б).

4.8. Мощность периодического сигнала

Пусть имеется сигнал s(t) (ток или напряжение) в сопротивлении R 1Ом, тогда средняя мощность сигнала равна

Эту же величину можно выразить через гармоники сигнала с помощью равенства (теоремы) Парсеваля в виде

то есть мощность переменного сигнала равна сумме мощностей его постоянной составляющей и всех гармоник.

С помощью спектральных характеристик можно определить действующее значение Sд сигнала в виде

73

4.9. Ширина спектра

Как видно по графикам спектров амплитуд рассмотренных немодулированных сигналов, в целом наблюдается тенденция уменьшения амплитуд гармоник с ростом их номера (частоты). Графики на рис. 4.5 показывают, что форма сигнала определяется сравнительно небольшим числом гармоник. Все это свидетельствует о том, что для представления (даже достаточно точного) сигнала необходимо учитывать

ограниченное число гармоник, которые занимают конечный интервал частот.

Ширина спектра сигнала – это интервал частот, в

котором сосредоточена заданная доля 0,9 0,99 полной мощности сигнала.

Мощность сигнала определяется выражением (4.39). Для рассматриваемых видеосигналов наиболее интенсивные гармоники имеют номера от 1 до некоторой величины N, при этом их суммарная мощность равна

ся, и при N стремится к полной мощности P .

Тогда можно определить минимальное число гармоник

74

пульсов, показанную на рис. 4.2 со спектром амплитуд, показанном на рис. 4.3 а. (скважность импульсов Q T/ 10). Зависимость нормированной мощности P(N)/P от числа учитываемых гармоник показана на рис. 4.12. Как видно, функция P(N) является неубывающей и достигает уровня 0,9 при

N 7 (P(6)/ P 0,878, P(7)/ P 0,902), тогда ширина спек-

тра сигнала определяется выражением (4.44).

Этот же график в области значений от 0,9 до 1 показан на рис. 4.13. С ростом N кривая очень медленно приближается к 1 и достигает значения 0,99 уже при N 75.

Ширина спектра сильно зависит от выбранной величины .

Рис. 4.12

75

Задание 4.3. С помощью теоремы смещения проведи-

те расчет спектров амплитуд и фаз сигнала, показанного на рис. 4.14 а, воспользовавшись результатами, полученными для сигнала на рис. 4.2.

Задание 4.4. Определите спектры амплитуд и фаз сигнала, показанного на рис.4.15, постройте их графики. Сравните спектр амплитуд со спектром гармонического сигнала, проанализируйте результаты.

Задание 4.5. Вычислите ширину спектра сигнала при0,95. Чем обусловлены наблюдаемые различия в ширине спектра для сигналов, показанных на рис. 4.14 а и рис. 4.15? Как в полученных результатах проявляются свойства симметрии сигнала?

Задание 4.6. Определите спектры амплитуд и фаз сигналов, показанного на рис. 4.16, постройте их графики.

Рис. 4.15

Рис. 4.16

Задание 4.7. Определите спектры амплитуд и фаз сигнала, показанного на рис. 4.17, постройте их графики.

78

Спектральный анализ случайных процессов проводится специфическими методами и не рассматривается в настоящем пособии. В дальнейшем будут рассматриваться только

одиночные сигналы.

Одиночный импульсный сигнал или пачку импульсов можно рассматривать как периодический процесс, но с бесконечным периодом T . В этом случае для комплексной амплитуды n-й гармоники получим

то есть она является бесконечно малой величиной. Из выра-

жения для частоты первой гармоники 1 , которая равна интервалу частот между соседними гармониками в спектре сигнала, получим

то есть спектр непериодического сигнала является сплошным с нулевым интервалом частот между соседними гармониками.

Спектры амплитуд и фаз непериодического сигнала являются сплошными, с нулевым интервалом между соседними гармониками с бесконечно малыми амплитудами.

Таким образом, ряд Фурье не пригоден для спектрального анализа непериодических сигналов. В этом случае ис-

пользуют преобразование (интеграл) Фурье. Прямое преоб-

разование Фурье имеет вид

а обратное преобразование соответственно

80