1240
.pdf3) комбинированием констант уравнения |
состояния чистого |
газа; так, можно воспользоваться уравнением |
(IV, 3), в котором |
Л= [2 ^ VWiY |
|
до = 2 ^ (воЬ * = |
ov.8) |
4)по коэффициенту сжимаемости газовых смесей;
5)по уравнениям состояния газовых смесей, в частности по
уравнению Бартлетта
Р = Я > , + Р > 2 + |
(IV, 9) |
6) по уравнению Кричевского — Казарновского, которое для
бинарных смесей принимает следующий вид:
Р = |
+ |
Я > 2 + aN{N2 (Р° - |
Р°2) |
(IV, 10) |
В уравнениях (IV, 9) |
и |
(IV, 10) Р, Р\ |
и Р\ |
берутся при од- |
пом и том же мольном объеме (равном мольному объему смеси). Расчет соотношений Р — V — Т и Р — V — Т — N см. также в
разд. 1 гл. VI (стр. 144).
Примеры |
|
|
|
I. |
Установить при помощи уравнения |
(IV, 1), какой |
объем |
должен |
занимать 1 кг метана, чтобы при t = |
0 его давление |
со |
ставляло 400 атм.
Результат решения сопоставить с расчетом по уравнению Мен
делеева — Клапейрона и со значением |
V = |
58,52, найденным |
экс |
|||
периментально. |
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Расчет |
осуществляем |
методом подбора. |
Для |
||
ориентировки примем |
|
|
|
|
|
|
RT |
+ а = 82,06 • 273,2 |
+ 42,78 = |
56,05 + 42,78 = 98,83 |
|
||
тогда |
-400 |
|
|
|
|
|
82,06 • 273,2 |
2,26410® |
|
|
|||
|
168,2 |
|
||||
|
98,83 - 42,78 |
98,832 |
|
|||
|
|
|
||||
что ниже заданного давления. |
|
|
|
|
||
Примем V = |
60; тогда |
|
|
|
|
|
|
82,06 • 273,2 |
2,264* 10е |
673 |
|
||
|
60 - |
42,78 |
602 |
|
||
|
|
|
||||
что значительно превышает заданное давление- |
|
|||||
Примем V = |
70; тогда |
|
|
|
|
|
|
82,06.273,2 |
2,264. 10е |
0„, ^ |
|
||
|
70 - |
42,78 |
702 |
|
|
|
что ниже заданного значения,
Примем V = 65; тогда
. |
82,06*273,2 |
2,264» 10» |
473,1 |
|
|
|
|
||||
|
|
65 - 42,78 |
65» |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интерполяцией |
по |
графику V — Р (рис. 7) |
находим V « |
67,9, |
|||||||
что отличается от |
экспериментального |
значения |
на |
16%. |
Столь |
||||||
|
|
значительное |
отклонение |
обусловлено |
|||||||
|
|
тем, что давление очень велико. |
|
|
|||||||
|
|
|
Объем 1 кг метана равен |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
67,9 |
1 000 |
>4,23 |
я |
|
|
||
|
|
|
|
16,04 |
1 000 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Расчет по уравнений) Менделеева — Кла |
|||||||||
|
|
пейрона дает |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
„ |
82,06 • 273,2 |
• 56,05 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
■400 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
отличается |
от |
экспериментального |
||||||
|
|
значения на 4,2%. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Хорошее |
совпадение |
значения, |
рас |
|||||
|
|
считанного по менее точному уравнению, |
|||||||||
с опытным обусловлено тем, что при |
давлениях, |
близких |
к Р = |
||||||||
= 400, изотерма PV = |
<р(Р) |
(/ = |
0) для |
метана |
проходит |
вблизи |
|||||
горизонтали PV = |
<р(Р) идеального газа. |
|
|
|
|
|
|
||||
2.Используя данные по сжимаемости этана при t = 204,4,
приведенные на рис. 8, найти давление в резервуаре емкостью 0,5 м3, если в нем хранится 100 кг этана.
Решить ту же задачу графическим путем. Р е ш е н и е . Мольный объем равен
0,5 • 1 ооо • I ооо
150,3
юо* I ооо
30,07
поэтому в соответствии с уравнением (IV, 5)
Р |
82,06 • 477,6 |
• z = 260,7z |
|
150,3 |
|
Расчет осуществляем |
методом |
последовательных приближе |
ний. Для ориентировки примем
2 = 1
тогда Р = 260,7; на рис. 8 этому давлению соответствует z = 0,888,
что отличается от принятого значения.
Примем 2 = 0,86; тогда Р = 224,2; на рис. 8 z =>0,858.
Окончательно принимаем
Р = 224
Графическое решение: перепишем найденное уравнение, свя зывающее Р и 2, в виде
|
|
|
|
|
2 = 0.00384Р |
|
|
|
|
|
|
|
||
Этому уравнению отвечает прямая линия АВ |
(рис. 8); она |
пере |
||||||||||||
секает изотерму г = |
<р(Я) |
в точке, где z = |
0,858 |
и |
Р = 224 |
(точ |
||||||||
ка О). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
На основании |
приведенных |
ниже |
данных |
найти |
температу |
||||||||
ру в резервуаре емкостью 20 л, в котором находится 5 кг про |
||||||||||||||
пана под давлением |
100 атм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t • |
100 |
107,8 |
125 |
150 |
|
200 |
253,2 |
297,3 |
|
336,2 |
||||
zp=ioo |
0,3563 |
0,3696 |
0,3913 |
0,4726 |
0,6642 |
0,7932 |
0,8603 |
|
0,8962 |
|||||
Р е ш е н и е . |
В соответствии с уравнением (IV ,5) |
|
|
|
||||||||||
|
„ |
PV |
|
|
44,09 |
215 |
|
|
|
215 |
|
|
||
|
Т ~ |
zR |
~ |
г-0,08206 |
— |
г |
ИЛИ |
2 |
Т |
|
|
|||
Теперь по |
приведенным в |
условии |
данным |
строим |
график |
|||||||||
2 = <p(f) |
(рис. 9; кривая KL). На него |
наносим |
кривую, отвечаю |
|||||||||||
щую найденному уравнению (кривая АВ). Пересечение этих кри |
||||||||||||||
вых дает искомый результат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t = |
157 °С |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если бы при указанных условиях пропан обладал" свойствами идеального газа (z = 1), то температура равнялась бы 215°К
(—58 °С). 4.
иводород в соотношении 1 :3, чтобы при t = 0 V = 54,6?
Расчет произвести по уравнению, найденному совместным ре
шением уравнений (IV, 1) и (IV, 7).
Результат расчета сопоставить с экспериментальной величи ной Р = 600.
Р е ш е н и е . Так как
V =~N{v] + NoVz
где V° и V \ — мольные объемы чистых компонентов при давлении, равном дав
лению смеси
ТО
5 ^ = 0^5KN, + 0.75KH,
или
V°Hj = 72.8 - 0,333K°Nj
Расчет сводится к отысканию таких значений 1^, и V°H, под становка которых в уравнение (IV, 1) давала бы Р = Р°н ; осу
ществим его подбором (см. табл. 8).
Таблица 8 |
|
|
|
Принимаемое |
|
Получаемые значения |
|
значение |
|
|
|
о |
о |
о |
О |
|
У» г |
|
ян2 |
55 |
54,48 |
921,4 |
721,6 |
60 |
52,82 |
673,2 |
767,2 |
57 |
53,82 |
803,5 |
739,0 |
58,5 |
53,32 |
732,6 |
752,8 |
Затем строим график Р°ц,— (рис. 10) и находим точку, »
которой
^ - ^ N , “ 749
что отличается от экспериментального значения на 24,8%.
Столь значительное отклонение обусловлено прежде всего не точностью уравнения (IV, 1) при очень больших давлениях.
б. Зависимость мольных объемов метана и водорода от давле ния при t = 0 передается следующими данными:
р |
80 |
120 |
160 |
200 |
250 |
300 |
400 |
500 |
600 |
V°CH, |
229,0 |
141,2 |
103,4 |
85,31 |
73,31 |
66,44 |
58,52 |
54,05 |
51,09 |
VH3 |
|
|
|
|
|
9,0,17 |
71,70 |
60,52 |
53,13 |
Под каким давлением должна находиться смесь, состоящая из 33,1% метана и 66,9% водорода, чтобы 1 моль ее при t — 0 зани
мал объем 58,72 мл? Расчет произвести по коэффициенту сжимае мости смеси, используя уравнение (IV, 7).
Результат расчета |
сравнить |
с |
опытным значением |
(500 |
атм). |
|||||
Р е ш е н и е . |
Приведенные |
в |
условии |
примера значения |
объе |
|||||
мов пересчитываем по уравнению |
(IV, 5) |
на ген, |
и ZH,; получаем |
|||||||
следующие результаты: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р . |
80 |
120 |
160 |
200 |
250 |
300 |
400 |
500 |
600 |
|
ZCH4 |
0,817 |
0,756 |
0,738 |
0,761 |
0,817 |
0,889 |
1,041 |
1,205 |
1,367 |
|
|
|
|
|
|
|
1,207 |
1,279 |
1,350 |
1,422 |
|
ZH2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем |
наносим на |
график |
изотермы г = ср(Р) |
(рис. |
11) |
и ме |
||||
тодом последовательных приближений находим при помощи чер
тежа давление газовой смеси. |
|
||||
Примем |
Р = |
500; |
тогда |
ген, = |
|
= 1,2055 и гн, = |
1,350 |
|
|||
поэтому |
|
|
|
|
|
2 = ^сн, *2сн, + |
N H , * 2н, = |
||||
= 0,331 • 1,2055 + |
0,669 • 1,350 = |
1,301 |
|||
и |
|
|
|
|
|
zRT |
1,301-82,06.273,2 |
. 496,7 |
|||
Р = ■ V |
“ |
58,72 |
|||
|
|||||
что отличается от принятого значения. |
|||||
Если считать |
Р = 490, то |
|
|||
г = 0,331 -1,188 + 0,669 • 1,343 = |
1,292 |
||||
и |
1,292 - 82,06-273,2 д щ |
э |
|||
D _ |
|||||
|
58,72 |
|
|
||
что также не совпадает с принятым |
|||||
значением Р. |
|
480; тогда |
|||
Допустим, что Р = |
|||||
z = 0,331 - 1,173 + 0,669 - 1,336 = 1,282
И
Р ■= 489,5
Интерполяцией находим окончательное значение
Р « 495,3
что отличается от опытного на 0,94%.
6. Решить пример 5, используя коэффициент сжимаемости сме си и уравнение (IV,6). Для расчета воспользоваться коэффициен тами сжимаемости метана и водорода, приведенными на рис. И.
Решение.
58,72 |
= 177,4 |
и |
. |
58,72 |
87,77 |
|
сн, 0,331 |
1 н ,— 0,669 |
|||||
|
||||||
В соответствии с уравнением |
(IV, 5) |
|
||||
2сн4 |
Р с н /177-4 = |
0,007913РСН4 |
|
|||
82,06-273,2 |
|
|
|
|||
и |
РН / 8 7-77 |
|
|
|
||
гн, |
= |
0,003915РН) |
|
|||
82,06-273,2 |
|
|
|
|||
Примем Л:н, = 80; тогда
по рис. 11
по уравнению (IV, 5)
Примем Рсн, = 120; тогда
по рис. И
по уравнению (IV ,5) Примем Рсн,= ЮО; тогда
по рис. 11
по уравнению (IV, 5)
2СН4 |
0,817 |
||
2с н 4’ 0,633 |
|||
2 |
с н 4 |
0,756 |
|
0,9496 |
|||
2 |
с н 4 |
||
|
|||
2 |
с н 4 |
0,782 |
|
0,7913 |
|||
2с н 4 |
|||
|
|||
По полученным значениям Р и ZCH, строим кривые зависи мости ген, от Р, найденной по рис. 11 и по уравнению (IV, 5); пе
ресечение этих кривых отвечает искомым значениям
гСц4 = 0,786 и Я |
= 99,3 |
Предположим, что Ян, = 400; |
тогда |
|
|||
|
по рис. 11 |
(IV, 5) |
« н ,= |
1.279 |
|
|
по уравнению |
гн?= |
1,566 |
||
Примем |
Ян, = 300; тогда |
|
|
|
|
|
по рис. 11 |
|
|
* н ,= |
'.207 |
|
по уравнению |
(IV, 5) |
гн = |
1,174 |
|
Примем |
Ян, = 350; тогда |
|
гН}= 1,242 |
||
|
по рис. 11 |
|
|
||
|
по уравнению |
(IV, 5) |
Z H , = |
* ,370 |
|
Графической интерполяцией (см. выше) получаем |
|||||
|
2^^= |
1,215 |
и |
|
310,3 |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
Р = |
99,3 + |
310,3 = 409,6 |
||
что отличается от экспериментального значения на 18,1%. Сравнение результатов решения примеров 5 и 6 показывает,
что для рассматриваемой смеси в заданных условиях справедли
во уравнение |
(IV, 7) |
и |
что |
точность |
уравнения (IV, 6) |
недоста |
||||
точна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Рассчитать при помбщи уравнения |
(IV, 9) |
давление, под ко |
|||||||
торым при t = 0 должна находиться смесь, состоящая из 33,1% |
||||||||||
метана и 66,9% водорода, для того, чтобы V = 58,72. |
|
|||||||||
Для расчета воспользоваться следующими данными по сжи |
||||||||||
маемости метана и водорода при t = 0: |
|
|
|
|||||||
|
я . |
250 |
300 |
400 |
500 |
600 |
700 |
|
||
|
Гсн< |
. 73,31 |
66,44 |
58,52 |
54,05 |
51,09 |
|
|
||
|
V°H2 |
|
|
|
|
71,70 |
60,52 |
53,13 |
47,91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат |
решения сравнить с экспериментальным значением |
|||||||||
Я = |
500 и с результатом |
решения примеров 5 и 6. |
|
|
||||||
Р е ш е н и е . |
Наносим |
значения |
|
и |
на |
график |
||||
(рис. |
12) и интерполяцией находим, что при |
V = 58,72 |
|
|||||||
|
|
|
Рн, = |
519 |
и P°cftt = 396 |
|
|
|
||
Поэтому в соответствии с уравнением |
(IV, 9) |
|
|
|
||||||
|
|
Я = |
519 • 0,669 + |
396 • 0,331 = 478,3 |
|
|
||||
что отличается от опытного значения на 4,3%.
8. Давления азота, водорода и азото-водородной смеси (1 :3),
рассчитанные при одинаковых плотностях по соответствующим коэффициентам сжимаемости, равны
р |
0,0010 |
0,0010 |
0,0018 |
0,0018 |
t |
- 1 0 0 |
- 5 0 |
0 |
100 |
рк |
377 |
170 |
631 |
1013 |
РН2 |
367 |
214 |
667 |
782 |
Р |
369 |
207 |
678 |
818 |
Найти: 1) уравнение (IV, 10) для азото-водородной смеси; 2) да
вление |
смеси, отвечающее при t = 0 |
ее мольным объемам 57,82; |
||||
54,60; 49,54 и 45,75 мл. |
|
|
|
|
|
|
Для |
расчета воспользоваться |
экспериментальными данными |
||||
по сжимаемости азота |
и водорода |
при t — 0 |
|
|||
|
Р |
500 |
600 |
800 |
1 000 |
|
|
2N 2 |
1,3885 |
1,5214 |
1,7969 |
2,0641 |
|
|
1,3500 |
1,4226 |
1,5665 |
1,7101 |
||
|
ZH2 |
|||||
Результаты расчета сопоставить с экспериментальными дан ными, соответственно равными 550, 600, 700 и 800 атм.
Решение . . 1) По приведенным данным вычисляем:
,P-(0,25P°NI + 0,75PHi)
|
|
0,25-0,76 |
|
|
в зависимости от |
|
Получаем |
следующие величины: |
|
Р°н>-Рщ |
44 |
- 1 0 |
- 6 4 |
-2 3 1 |
£ |
21,3 |
- 2 ,7 |
-2 6 ,7 |
-1 1 6 ,0 |
Далее строим график в координатах Д = ф(Р^ —
(рис. 13). Через полученные точки (и через начало координат) проводим прямую; тангенс угла наклона ее равен
а * 0,5
Следовательно, уравнение (IV, 10) примет вид
Р = 0,25. Р°н, + 0,75 • Р°Ыг + 0,5JVH, • JVN, (Р°н, - Р°н)
2) Вычисляя по приведенным в условии коэффициентам сжи маемости азота и водорода мольные объемы последних при ука
занных давлениях, строим график (рис. 14). Проведя затем изо хоры, отвечающие указанным в условии примера мольным объе мам смеси, находим:
V |
57,82 |
54,60 |
49,54 |
45,75 |
Р к |
579 |
658 |
830 |
1031 |
|
|
|
|
Р к |
533 |
578 |
666 |
751 |
|
|
|
|
Затем вычисляем по найденному уравнению давление смеси:
Pv-S7 .ta “ |
°.25 • 579 + |
0,76• 533 + |
0,5 • 0 .188 ( - |
46) - 540,2 |
|
Р у ^ ю - |
0,25 • 658 + |
0,75 • 578 + |
0,5 • 0,188 ( - |
80) — 500,5 |
|
PVw^ M — 0,25 • 830 + |
0,75 • 666 + |
0,5 • 0,188 ( - |
164) — 691,6 |
||
7*(/=45,75 = |
0,25 • 1031 + 0,75 • 7 5 1 + 0,5 • 0,188 ( - 280) — 794,7 |
||||
Средняя ошибка расчета составляет 1,31%. |
|
||||
Задачи |
|
|
|
|
|
1. Найти при помощи уравнений |
(IV, 1) |
и (IV, 2). давление, под |
|||
которым находится метан при t = 25, если |
V = 267. |
||||
Результат сопоставить со значением, вычисленным по уравне нию Менделеева — Клапейрона и с опытным значением Р = 80.
2.Какой вид будет иметь график, если в координатах Р — Т
нанести изохоры для газа, следующего уравнению (IV,!)?
3.Одним из предельных условий, которым должно удовлетво рять любое уравнение состояния реального газа, является условие
|
Пт |
~=г |
R_ |
|
р |
||
|
1/Г->0 * |
||
Показать, что уравнение (IV, 1) |
удовлетворяет ему. |
||
4. |
Показать, что при небольших давлениях уравнение (IV, 1) |
||
можно применять в форме |
|
|
|
|
P V - . R T U - B P ) , |
гд, |
|
При помощи этого уравнения осуществить расчет, предложен ный в задаче I; результаты расчета сравнить с результатом реше ния указанной задачи.
^б.^Критическая точка является точкой перегиба на изотерме
1.Найти значения критических параметров, если для вещества справедливо уравнение (IV, 1).
2.Показать, что константы этого уравнения состояния равны
|
27R12T2 |
ъ |
RT |
кр |
|
|
JEL. |
|
|
||
|
64РКр * |
|
8РКр |
|
|
в. Уравнение (IV, 2) |
в первоначальной форме имело вид |
||||
где |
(* + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
1 |
|
32 |
Р,кр • у кр |
~ЪР*р- * V V ' Ьях~4Укр' |
|
9 |
Гкр |
||