С.Ф. Тюрин, Ю.А. Аляев ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА ТЕСТ-ДРАЙВ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет
С.Ф. Тюрин, Ю.А. Аляев
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ТЕСТ-ДРАЙВ ПО ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
Рекомендовано УМО по образованию в области инфокоммуникационных
технологий и систем связи в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 210700 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи квалификации (степени) «бакалавр»
и квалификации (степени) «магистр»
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета
2014
1
УДК 621.399 Т89
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор С.В. Русаков (Пермский государственный национальный исследовательский университет);
д-р техн. наук, профессор А.В. Частиков (Вятский государственный университет, г. Киров)
Тюрин, С.Ф.
Т89 Дискретная математика: тест-драйв по дискретной математике и математической логике : учеб. пособие / C.Ф. Тюрин, Ю.А. Аляев. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.
ун-та, 2014. – 231 с.
ISBN 978-5-398-01331-3
Рассмотрены основные темы дискретной математики и математической логики: теория множеств и элементы общей алгебры, комбинаторика, основы теории графов, дискретная оптимизация, переключательные функции, автоматы, элементы теории кодирования, элементы формальной логики, логика высказываний, логика предикатов, логические исчисления, теорияалгоритмов, современныемодальныелогики.
Предназначено для самостоятельной подготовки к занятиям (самотестирования) студентов направления подготовки 210700 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи, изучающих дисциплины «Дискретная математика» и «Математическая логика и теория алгоритмов». Возможно, будет интересно магистрам и аспирантам.
УДК 621.399
ISBN 978-5-398-01331-3 |
© ПНИПУ, 2014 |
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА............................................................ |
6 |
I. Дискретные структуры..................................................................... |
6 |
1. Теория множеств и элементы общей алгебры........................... |
6 |
1.1. Операции над множествами................................................. |
6 |
1.2. Соответствия, отображения и функции. Отношения....... |
12 |
1.3. Операции на множествах. Алгебры................................... |
17 |
2. Комбинаторика ........................................................................... |
21 |
2.1. Комбинаторные конфигурации ......................................... |
21 |
2.2. Блок-схемы. Конечные проективные плоскости.............. |
26 |
2.3. Латинские прямоугольники и квадраты, |
|
ортогональные латинские квадраты. |
|
Матрицы Адамара............................................................... |
31 |
2.4. Принцип включения-исключения ..................................... |
37 |
2.5. Рекуррентные соотношения |
|
и производящие функции................................................... |
41 |
II. Дискретная оптимизация.............................................................. |
43 |
1. Основы теории графов................................................................ |
43 |
1.1. Графы и орграфы................................................................. |
43 |
1.2. Изоморфизмы, деревья....................................................... |
47 |
1.3. Эйлеровы графы, цикломатическое |
|
и хроматическое числа....................................................... |
51 |
1.4. Покрытия, связность, трансверсали.................................. |
54 |
1.5. Анализ графа цепи Маркова.............................................. |
58 |
2. Дискретная оптимизация на графах.......................................... |
62 |
2.1. Алгоритмы поиска кратчайших путей в графах .............. |
62 |
2.2. Задача поиска гамильтонова цикла в графе, |
|
задача о коммивояжере...................................................... |
69 |
2.3. Экстремальные задачи, оптимизационные задачи........... |
72 |
2.4. Комбинаторная оптимизация, |
|
метод ветвей и границ........................................................ |
76 |
|
3 |
III. Автоматы ...................................................................................... |
81 |
1. Переключательные функции..................................................... |
81 |
1.1. Понятие переключательной функции............................... |
81 |
1.2. Минимизация методом карт Карно................................... |
86 |
1.3. Метод поразрядного сравнения рабочих |
|
и запрещенных наборов .................................................... |
89 |
1.4. Базис Жегалкина. Минимизация переключательных |
|
функций в базисе «сумма по модулю два, НЕ» ............... |
92 |
1.5. Понятие о системной минимизации переключательных |
|
функций. Булева производная........................................... |
95 |
2. Автоматы и формальные грамматики...................................... |
98 |
2.1. Понятие формальной грамматики. |
|
Автоматные языки.............................................................. |
98 |
2.2. Конечные автоматы .......................................................... |
102 |
2.3. Эквивалентность в автоматах.......................................... |
107 |
2.4. Анализ автоматов.............................................................. |
109 |
3. Элементы теории кодирования............................................... |
113 |
3.1. Системы счисления........................................................... |
113 |
3.2. Форматы представления данных |
|
и кодирование информации............................................. |
116 |
3.3. Выполнение арифметических операций......................... |
120 |
3.4. Кодирование...................................................................... |
124 |
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ....... |
128 |
I. Логика высказываний................................................................... |
128 |
1. Элементы формальной логики................................................ |
128 |
1.1. Понятие.............................................................................. |
128 |
1.2. Суждение ........................................................................... |
132 |
1.3. Умозаключение................................................................. |
136 |
2. Формулы логики высказываний.............................................. |
140 |
2.1. Формулы алгебры высказываний. |
|
Представление булевых функций формулами............... |
140 |
2.2. Функциональная полнота систем булевых функций..... |
145 |
2.3. Минимизация булевых функций..................................... |
150 |
4 |
|
2.4. Арифметизация логических функций. |
|
Псевдобулевы функции и их представление |
|
рядами Фурье..................................................................... |
155 |
2.5. Метод резолюций.............................................................. |
159 |
II. Логические исчисления............................................................... |
164 |
1. Логика предикатов.................................................................... |
164 |
1.1. Формулы логики предикатов ........................................... |
164 |
1.2. Тождественные преобразования |
|
формул логики предикатов.............................................. |
168 |
1.3. Формализация суждений.................................................. |
172 |
1.4. Метод резолюций в логике предикатов .......................... |
176 |
2. Логические исчисления............................................................ |
180 |
2.1. Понятие формальной системы |
|
и формальной теории....................................................... |
180 |
2.2. Исчисление высказываний............................................... |
183 |
2.3. Исчисление предикатов, полнота |
|
и непротиворечивость...................................................... |
187 |
III. Теория алгоритмов..................................................................... |
192 |
1. Основные понятия теории алгоритмов................................... |
192 |
1.1. Основные подходы к формализации |
|
понятия алгоритма............................................................ |
192 |
1.2. Сложность алгоритмов ..................................................... |
196 |
1.3. Машина Тьюринга. Машина Поста................................. |
200 |
1.4. Язык Пролог....................................................................... |
204 |
2. Модальные логики.................................................................... |
208 |
2.1. Современные модальные логики..................................... |
208 |
2.2. Элементы теории нечетких множеств............................. |
212 |
Ответы ................................................................................................... |
217 |
Список литературы............................................................................... |
230 |
5
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
I.Дискретные структуры
1.Теория множеств и элементы общей алгебры
Каждый тест содержит вопрос и четыре варианта ответа, среди которых единственный правильный. Вопросы в тестах разделены по сложности на несколько уровней – легкий, средний, сложный. В разделе «Ответы» в табличном виде представлены ответы на вопросы по соответствующей теме.
Пособие предполагается использовать совместно с книгами
[1, 2, 9].
1.1. Операции над множествами
Уровень – легкий
t1. Множество – это
(1): большое количество чего-либо (2): совокупность чего-либо
(3): некоторое (не нулевое) количество каких-либо объектов (4): исходное неопределимое понятие теории множеств
t2. Собрание определенных и вполне различимых объектов, мыслимых как единое целое, – это
(1): строгое определение множества (2): строгое определение множества по К. Гёделю
(3): интуитивное, нестрогое определениемножествапо Г. Кантору (4): строгое определение множества по Д. Пеано
t3. Принадлежность элемента к множеству обозначается как
(1): (2): (3): (4):
6
t4. Множества не бывают (1): пустыми (2): мощными (3): конечными
(4): бесконечными
t5. Множества не бывают (1): концептуальными (2): счетными (3): континуальными (4): бесконечными
t6. Включение множества А во множество В обозначается как
(1): А В (2): А В (3): А В (4): А В
t7. Строгое включение множества А во множество В обозначается
как
(1): А В (2): А В (3): А В (4): А В
t8. А = {а, b, c} – это
(1): указание подмножеств множества А (2): булеан множества А
(3): задание множества свойством его А элементов (4): задание множества перечислением элементов
t9. В = {i: i – студент ТК-10} – это
(1): задание множества свойством его элементов (2): задание множества перечислением элементов
7
(3): указание подмножеств множества В (4): булеан множества В
t10. Мощность множества С обозначается как
(1): С (2): С (3): С (4):
t11. Графическое задание множеств называется (1): диаграммой Хассе (2): диаграммой Эйлера (Эйлера – Венна)
(3): картой Карно (4): картой Карно – Вейча
t12. Пустое множество обозначается как
(1): (2): (3): 0 (4):
t13. Универсальное множество обозначается как
(1): (2): (иногда )
(3): I (иногда U) (4):
t14. Объединение двух множеств – это множество, каждый элемент которого принадлежит
(1): и первому и второму множеству (2): первому или второму множеству
(3): первому множеству, но не принадлежит второму (4): второму множеству, но не принадлежит первому
8
t15. Пересечение двух множеств – это множество, каждый элемент которого принадлежит
(1): первому или второму множеству (2): первому множеству, но не принадлежит второму
(3): второму множеству, но не принадлежит первому (4): и первому и второму множеству
t16. Объединение множеств обозначается как
(1): (2): (3): (4): \
t17. Пересечение множеств обозначается как
(1): (2): (3): (4): \
t18. Разность двух множеств – это множество, каждый элемент которого принадлежит
(1): и первому и второму множеству (2): первому или второму множеству
(3): второму множеству, но не принадлежит первому (4): первому множеству, но не принадлежит второму
t19. Разность множеств обозначается как
(1): (2): \ (3): (4):
t20. Симметрическая разность множеств обозначается как
(1): (2): \
9
(3): (4):
t21. Симметрическая разность множеств А и В – это
(1): (А\В) (В\А) (2): (А\В) (В\А) (3): (А\В)\(В\А)
(4): (А\А) (В\В)
t22. Дополнение множества А – это множество, содержащее (1): элементы универсума, включенные в А (2): повторяющиеся элементы А (3): не повторяющиеся элементы А
(4): элементы универсума, не включенные в А
Уровень – средний
t23. Пересечение произвольного множества М с универсумом I равно
(1): не М (2): М (3): не I
(4): (пустому множеству)
t24. Объединение произвольного множества М с универсумом I равно
(1): М (2): не М (3): I
(4): (пустому множеству)
t25. Разность универсума I и произвольного множества М равна
(1): не М (2): М
(3): (пустому множеству) (4): I
10