Механика горных пород при разработке месторождений углеводородного с.-1
.pdfРис. 2.2.2. Критерий разрушения Кулона-Мора в координатах CTI- стз
Для дальнейшего рассмот рения критерий разрушения удобно представить в виде функции Ё, которая определя ется таким образом, что если предел прочности превышен, то F > 0. Если предел прочно сти не достигнут, то F < 0, а если точка, характеризующая напряженное состояние, ле жит на прямой Кулона-Мо ра, то F = 0. Из уравнений
(2.2.1) и (2.2.2) легко получить функции
F = т - atg фс - сс |
(2.2.4) |
|
и |
|
|
F= i a ^ l - s i n |
cpc )-iCT3(l+sincp(;) - c (;COS cpG, |
(2.2.5) |
2 |
2 |
|
которые удовлетворяют данным условиям.
Критерий Кулона-Мора не характеризует разрушение породы при растяжении. Поэтому его дополняют предположением о том, что при растягивающей нагрузке разрыв породы происходит нормально к направлению минимального главного напряжения, которое равняется прочности на растяжение ctG. Принимая знак растягивающих напряжений отрицательным, а величину afG по ложительной, эту зависимость для разрушения породы от растя жения можно выразить как на графике т - а, так и на графике CJI - a3 в виде вертикальной прямой (рис. 2.2.3)
a3 = - atG. |
(2.2.6) |
Используя функцию F, критерий разрушения при растяжении также можно записать в виде
F = - ст3 - о*. |
(2.2.7) |
Если прямую Кулона-Мора продлить влево до пересечения с прямой (2.2.6) (см. рис. 2.2.3), то получим сочетание критериев разрушения, которое часто называют критерием «отсечения на пряжения».
Представление огибающей предельных кругов Мора в виде прямой линии в области высоких нормальных напряжений чаще
Рис. 2.2.3. Критерий «отсечения напряжения* в координатах o i-o 3 и т-о
всего не соответствует данным испытаний пород на трехосное сжатие, вследствие чего разработаны нелинейные критерии раз рушения, в большей степени соответствующие эксперименталь ным данным. В качестве примера можно упомянуть билинейный критерий Паттона, степенной критерий Бенявского, параболиче ский критерий Хоека-Брауна [24, 34]. Эти критерии чаще всего используются для оценки устойчивости массива вокруг подзем ных выработок. Г.Н. Кузнецовым также предложен параболиче ский критерий, который весьма просто представить, если извест
ны прочность на одноосное сжатие |
и одноосное растяжение |
|
GtG'- |
|
|
х = ^ ( o lG - а)[2ст(С - 2yjatC (ст(С + o dG) + o dG]. |
(2 .2.8) |
|
Ha рис. 2.2.4 показан пример построения паспорта прочности по Г.Н. Кузнецову.
После превышения сопротивления сдвигу порода, как прави ло, может в ограниченной степени воспринимать сдвигающие усилия. Это происходит за счет мобилизации сил трения по раз рушенной поверхности, причем угол остаточного трения
Фс < фс . Сцепление после превышения предела прочности обыч но заметно снижается и его остаточное значение обозначается сс В случае разрушения при растяжении остаточная прочность на растяжение, как правило, принимается равной нулю.
а, МПа
Рис. 2.2.4. Построение паспорта прочности по Г.Н. Кузнецову (аде = 30 МПа, а<с = 6 МПа)
Рассмотренные критерии разрушения относятся к породам с неориентированной зернистой структурой. Для описания сопро тивления сдвигу по плоскостям раздела в породах со слоистой структурой также может использоваться критерий Кулона-Мора. В этом случае предельное сопротивление сдвигу в плоскости раздела xns ставится в зависимость от соответствующего нор мального напряжения а„:
*ns = |
tfntg ф* + cs |
(2.2.9) |
или |
|
|
F=Tnss - |
°ntg cp5 - Cs. |
(2.2.10) |
Прочность на растяжение нормально слоистости также опи сывается выражениями, аналогичными (2.2.6) и (2.2.7):
а„ = -ст„; |
(2.2.11) |
F = -o n - a „ |
(2.2.12) |
Величины cs, cps и сг„ представляют собой параметры сопро тивления сдвигу и прочность на растяжение по поверхности раз дела.
Для использования критериев (2.2.9)—(2.2.12) необходимо оп ределить касательные и нормальные сг„ напряжения, дейст вующие в плоскости слоистости. Для этого используется соот ношение (2.1.5) между напряжениями и деформациями в гло-
74
г
Рис. 2.2.5. Определение нормального <т„ и касательного напряжений в плос кости слоистости:
1 - слоистость; 2 - линия падения; 3 - линия простирания
бальной системе координат (.х, у, z) и системе координат, связан ной со слоистостью (х', у', zf). Как показано на рис. 2.2.5, в сис теме координат (л^, у \ z') т5 и ап можно представить следующим образом:
(2.2.13)
(2.2.14)
У гладких незаполненных поверхностей раздела большой про тяженности сцепление практически отсутствует и касательные напряжения могут восприниматься только посредством трения, т.е. сопротивление сдвигу описывается следующим выражением:
= tfntg ф*. |
(2.2.15) |
Если раскрытие меньше амплитуды шероховатостей стенок поверхности раздела, то появляется дополнительное сопротивле ние сдвигу, связанное с зацеплением противоположных стенок. Если средний угол наклона шероховатостей стенок поверхности раздела обозначить как г, то можно записать следующий крите рий разрушения:
= crntg (ф* + О- |
(2.2.16) |
При использовании критерия (2.2.16) следует учесть, что при высоких значениях ст„ может иметь место не скольжение по не ровностям поверхности раздела, а их срез, т.е. будем иметь кри терий разрушения
Tnw = tfntg фС + CG. |
(2.2.17) |
Наложение критериев (2.2.16) и (2.2.17) определяет в диа грамме Тю - ст„ билинейный критерий разрушения. Кроме били нейного критерия, также могут быть использованы другие нели нейные соотношения, предложенные Бартоном, Шнейдером, Джагером [12, 13, 14, 21, 34].
Бартоном предложена следующая зависимость: |
|
т*, = ontg\JRS log (JSC/Gn) + Фс]. |
(2.2.18) |
Показатель JSC представляет собой меру прочности поверхно сти раздела. Параметр JRS обозначает коэффициент шероховато сти трещины, который может принимать значения от 5 (очень гладкие поверхности) до 20 (очень шероховатые).
Критерий Шнейдера исходит из того, что угол i экспоненци ально уменьшается с ростом а„
ires = crntgtoc + ioехр(-£ап)], |
|
(2.2.19) |
|
где i0 - угол скольжения при ап = 0; k - константа материала. |
|||
Критерий Джагера имеет следующий вид: |
|
|
|
т,и = |
<j„tgfac) + cG[i - exp(-6crn)], |
(2.2.20) |
|
где b = [tg ^ 5 + i0) - |
tg(фс)]Ас- |
= antg ^ G), а при |
|
При сгп = 0 критерий Джагера имеет вид |
|||
сг„-> оо переходит в т ^ = a„tg (фс) + cGl т.е. предполагается, что при высоких нормальных напряжениях происходит полное смы кание стенок и прочность поверхности раздела соответствует прочности ненарушенной породы.
Если рассматривать не сплошные поверхности раздела, пре рываемые породными целиками, то определение их прочности является более сложной задачей. Обобщая исследования на эту тему, можно заключить, что сопротивление сдвигу прерывистых поверхностей раздела под действием средних по величине нор мальных и касательных напряжений можно описать критерием разрушения Кулона-Мора и что оно явно меньше, чем сопротив ление сдвигу ненарушенной породы. Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе В. Виттке [34].
Жесткопластическая модель массива пород позволяет изучать необратимые пластические деформации, которые возникают по-
еле превышения предела прочности породы. При этом считает ся, что пластические деформации существенно превышают упругие, вследствие чего последние можно не принимать во внимание.
Структурная схема жесткопластической среды включает в се бя элемент трения (рис. 2.2.6), условие скольжения которого представляет собой критерий Кулона-Мора
т = CT„tg ф + с. |
(2.2.21) |
Если сдвигающее усилие меньше величины (2.2.21), то ника ких деформаций не происходит. При достижении сдвигающим усилием предельного значения начинается деформирование с постоянным сопротивлением сдвигу, как показано на диаграмме напряжений (см. рис. 2.2.6). По этой причине в жесткопластиче ской среде различают пластические и жесткие недеформируемые области. Жесткопластическая модель лежит в основе теории пре дельного равновесия горных пород.
Упругопластическая модель, в отличие от жесткопластической, учитывает упругие деформации породы, т.е. в ее структурной схеме (см. рис. 2.2.6) присутствует упругий элемент, последова тельно соединенный с элементом трения. Как показано на диа грамме напряжений (см. рис. 2.2.6), если сдвигающее усилие меньше величины (2.2.21), то имеют место упругие деформации, а при достижении предельного значения сопротивления сдвигу происходит пластическое деформирование. В упругопластиче ской среде выделяются упругие и пластические области.
Пластические деформации изучаются деформационной теори ей пластичности и теорией пластического течения.
Рис. 2.2.6. Структурные схемы и диаграммы напряжений жесткопластической
(а) и упругопластической (6) моделей
Для деформационной теории характерны следующие соотно шения:
гх - |
е0 = V (стх- |
сто); |
у^, = 2ц>т^; |
|
еу- |
е0 = \\i (сту - |
сто ); |
уу2 = 2v|/ ту2; |
(2.2.22) |
ez- |
Go = V (ог- |
^0); |
Угг= 2\|/ т„, |
|
где v|/ - некоторая |
функция напряжений; ео, сто - |
соответственно |
||
средняя деформация и среднее напряжение.
Уравнения деформационной теории пластичности представ ляют собой, по сути, уравнения нелинейно-упругого тела. Усло вием успешного применения деформационной теории пластично сти является простое нагружение с пропорциональным возраста нием напряжений и деформаций на всех этапах нагружения и деформирования массива.
Более общей является теория пластического течения, которая позволяет не ограничиваться условием простого пропорциональ ного нагружения. В теории пластического течения устанавлива ется связь между бесконечно малыми приращениями напряже ний, деформаций и некоторыми параметрами пластического со стояния. Дифференциальные уравнения теории течения можно выразить в скоростях пластических деформаций, тогда эти урав нения будут напоминать уравнения течения вязкой жидкости. Однако в отличие от вязкой жидкости, в уравнениях пластиче ского течения время всегда можно отбросить.
Выражения для приращений полных деформаций имеют сле
дующий вид: |
|
|
|
dzx = 1/Е [dax- |
v(d<jy + da2)] + dX(ax - |
ст0); |
|
dzy = 1/Е [daу - |
v(dax + daz)] + dX(ay - |
CT0); |
|
dz2 = 1/Е [da2 - |
v(dax+ da2)] + dX (a2- |
CT0); |
(2.2.23) |
dfxy ~ dxjcy/G + 2dXxxy\
dyу2 diyjG 2dX\yz,
dfzx = d ^ /G + 2dXTzx.
где X - некоторая функция напряжений и деформаций, описы вающая физический закон пластического деформирования.
78
При исследовании пластических деформаций горных пород чаще всего применяется ассоциированный закон пластического течения, в соответствии с которым физический закон пластиче ского деформирования выражается следующим образом:
dtij = X(dF/day),
где X - постоянный множитель; F - пластический потенциал, который в ассоциированном законе совпадает с принятым усло вием пластичности, например, с (2.2.4) или (2.2.5).
Всоответствии с ассоциированным законом при пластическом деформировании происходит увеличение объема (дилатансия), который монотонно возрастает по мере роста пластических де формаций.
Впокрывающей толще нефтегазовых месторождений часто встречаются горные породы, проявляющие свойства ползучести.
Кним относятся, например, глины или соляные породы, у кото рых реологические свойства проявляются наиболее ярко. К рео логическим свойствам относят ползучесть, т.е. способность пород деформироваться во времени при постоянной нагрузке, а также релаксацию напряжений - уменьшение напряжений при фикси рованной деформации. Характерный вид кривых ползучести гор ных пород показан на рис. 2.2.7.
При действии постоянного напряжения ст появляются как не зависящие от времени упругие деформации ев/, так и зависящие от времени деформации ползучести evp. Если действующая на грузка с не превышает некоторой границы течения <jFt то возни кающие деформации ползучести можно разделить на две состав ляющие части. Первая часть обозначается как первичная ползу
честь и имеет затухающий характер. Она приближается со временем к постоянному значению и далее практически не рас тет. Вторая часть обозначается как вторичная или стационарная ползучесть е5. В опытах на одноосное сжатие эта часть деформа ций линейно возрастает с течением времени. Если нагрузка а лежит выше границы течения aF, то возникающие деформации имеют ускоряющийся характер и в итоге приводят к разрушению образца.
Для описания поведения таких пород используются теории старения, течения, упрочнения и наследственной ползучести [2, 6]. Наибольшее распространение получила теория наследствен ной ползучести, которая позволяет учитывать историю нагруже ния тела, а также предоставляет широкие возможности для вы бора ядер ползучести различного вида [2, 3, 6].
Согласно указанной теории ползучесть породы описывается интегральным уравнением Вольтерра второго рода
e(t) = |
+ 1 |
- т)o(t)dx, |
(2.2.24) |
Е |
Е Q |
|
|
где c(t), е(£) ~ соответственно напряжения и Деформации в мо мент времени t, т - время, предшествующее моменту t, L(t) - функция влияния, или ядро ползучести.
При сг(£) = сто = const выражение (2.2.24) записывается в виде
(2.2.25)
Если решить уравнение (2.2.24) относительно o(t), то полу чим
a(t) = Ee(t) - $K(t - т)б(t)ch- |
(2.2.26) |
О |
|
При e(t) = s0 = const из уравнения (2.2.26) получается урав нение релаксации
80
cr(t) = Ег0
\
1 - \K{x)dx |
(2.2.27) |
о |
|
Конкретный вид кривых (2.2.24) определяется видом исполь зуемого ядра ползучести L(f, т). При изучении деформаций гор ных пород чаще всего применяется ядро ползучести в виде сте пенной функции Абеля
L(t, т) = S ( t - т)'а , |
(2.2.28) |
где 8, а - экспериментально получаемые характеристики ползу чести.
Параметр а является безразмерным и принимает значения (О < а < 1), параметр 8 имеет размерность [са_1]. При этом для большей части горных пород можно принять, что а = 0,7 [2, 6].
Экспериментальные кривые ползучести образцов горных по род получают при различных уровнях нагрузки. При этом часто бывает, что не удается удовлетворительно описать все экспери ментальные кривые с помощью единой функции (2.2.28). В этом случае можно принять, что параметры Абелева ядра а и 8 явля ются переменными и зависят от уровня нагружения, о чем сви детельствуют исследования С.А. Константиновой [2]. Вид этой зависимости и ее параметры определяются экспериментально.
При пластическом деформировании горных пород часто также наблюдается зависимость деформаций от времени. Для описания возрастающих во времени пластических деформаций использует ся упруговязкопластическая модель, структурная схема которой показана на рис. 2.2.8.
Она включает в себя упругий, вязкий элементы и элемент трения. Если действующая нагрузка меньше предельного сопро тивления сдвигу, то возникают только упругие деформации. Ес-
Рис. 2.2.8. Структурная схема и диаграммы напряжений упруговязкопластиче ской модели