Механика горных пород при разработке месторождений углеводородного с.-1
.pdfчины эффективных напряжений в вершине эллипса к величине рс обозначается через Со и составляет в модифицированной «CamClay» модели 0,5. Параметр рс представляет напряжение консо лидации образца и обозначается как параметр упрочнения.
Из уравнения (2.5.5) при принятии ассоциированного закона пластического течения критерий разрушения и пластический по тенциал равны:
F = Q= j L + p - p c =0. |
(2.5.6) |
М р
Для описания условия прочности в области низких нормаль ных напряжений обычно используется упрощенная формула критерия М. Хворслева [20], который с помощью простых опы тов на срез показал, что напряженное состояние образцов, имеющих одинаковую пористость в состоянии разрушения, ле жат на одной прямой на диаграмме p-q. При этом прямые раз рушения, имеющие разную пористость, параллельны друг другу и отсекают на оси q соответствующие участки величиной С (рис. 2.5.4). Критерий разрушения Хворслева аналогичен крите рию Кулона-Мора:
F = q - p t g t f - С = 0. |
(2.5.7) |
Прямая с углом наклона ср* и параметром сцепления С* опи сывает прочность на сдвиг сверхконсолидированных грунтов и пересекает эллипс в вершине (см. рис. 2.5.4). Значения парамет ров ср* и С* равны соответственно
t g Ф # = о |
6 s in |
ср |
’ ^ |
6 с |
c o s <р |
(2.5.8) |
• |
(р |
3 - |
s in ср |
|||
3 |
- s m |
|
|
где с, ф - исходные параметры прочности сверхконсолидирован ных грунтов.
Размеры упругой области, определенные через представлен ную поверхность течения, зависимы от М, С0, ф , а также от па-
Рис. 2.5.4. Критерий разрушения Хворслева и общий вид шатровой модели
102
раметра рс. Этот параметр зависит от величины пластического объемного сжатия ej
рс = рс0ехр l + gp |
(2.5.9) |
к - k |
|
где рсо - начальное значение рс, т.е. начальное значение упругой области; е0 - исходное значение коэффициента пористости (к примеру коэффициент пористости в природных условиях) для расчета изменения объема.
Если напряженное состояние при трехосной компрессии достигает эллиптической поверхности течения, то при дальней шей нагрузке появляются пластические деформации, которые ведут к уменьшению объема rfej > 0 (компрессия). Это означает согласно (2.5.9) увеличение рс и соответственно упругой области (рис. 2.5.5). В этом случае говорят об упрочнении. Если достига-
а
Рис. 2.5.5. Расширение (а) и уменьшение (6) упругой области при трехосной компрессии
ется предел прочности по представленному закону течения при трехосной компрессии, то возникают пластические деформации, которые ведут к увеличению объема dsJ < 0 или дилатансии. При этом параметр рс уменьшается согласно (2.5.9) и вместе с ним упругая область. Это поведение материала обозначается как разупрочнение.
2.5.2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОЛЛЕКТОРА ПОД НАГРУЗКОЙ
Насыщенные флюидом пористые коллекторы месторождений нефти и газа ведут себя в процессе нагрузки и разгрузки в зна чительной степени аналогично уплотненным грунтам.
На рис. 2.5.6 представлена цилиндрическая проба (образец коллектора) в условиях одноосного компрессионного сжатия без возможности бокового расширения. В начале опыта деформация сжатия 8j растет пропорционально ai, т.е. возникает участок ли нейно-упругого деформирования (прямая АВ), причем разгрузка образца ведет к восстановлению его первоначальной формы. «Необратимые» деформации возникают в точке В при напряже ниях CTI > ст|. Граничное значение а| линейной части диаграммы сг-е называют границей течения. При полном снятии нагрузки в точке С линия сг-е проходит линейно и параллельно АВ, что оз начает, что разгрузка образца вызывает исключительно упругие деформации, а зависимые от времени сжатия е^с являются не обратимыми. Новая нагрузка пробы до o iiC ведет исключительно к упругим деформациям, но при этом граница течения поднима ется от а| до o»i(c. Это явление принято называть упрочнением. При дальнейшей нагрузке пробы выше ai(C граница течения по вышается до тех пор, пока не будет достигнута прочность на од ноосное сжатие a i(£.
Из этих рассуждений становится ясно, что в рассматриваемом одноосном НДС с помощью границы течения можно оценить, ведет ли возникающее напряженное состояние исключительно к упругим или дополнительно к вязкопластическим деформациям. Поверхность течения не является постоянной, а может увеличи ваться вследствие упрочнения. На рис. 2.5.7 в координатах т-а изображена в разрезе поверхность течения. Рост границы тече ния вследствие упрочнения выражается в общем расширении упругой области при подвигании точки р* на оси нормальных напряжений.
Выбранные модельные представления, основанные на работах Панде и Шарма [26, 37], в основе имеют ту предпосылку, что деформации элемента состоят из обратимой и необратимой час-
104
Рис. 2.5.6. Идеализированное поведение образца коллектора под нагрузкой
тей. Первую часть можно определить на основе уравнений тео рии упругости, вторую часть на основе вязкопластичности
{Е} = {ee/} + {8vp}. |
(2.5.10) |
Для определения упругой части принимаются уравнения ли нейной теории упругости для изотропного тела на основе закона Гука
{а} = [£>]•{6}. |
(2.5.11) |
Для определения вязкопластической части деформаций рас смотрим отдельно линейную и нелинейную части поверхностей течения.
Представим используемую модель в напряжениях xns - ап (см. рис. 2.5.7). Линия с уравнением т = cr„tg срш является пре дельной линией для пород коллектора. Первым основным допу щением модели является утверждение, что изотропная компрес сия под давлением р* образует зону упругости 0Ар* Все возмож ные изменения напряженного состояния в пределах данной зоны будут сопровождаться только малыми обратимыми упругими деформациями. Выход напряжений за границу поверхности теку-
Рис. 2.5.7. Модель деформирования коллектора под нагрузкой
чести Ар* будет сопровождаться появлением пластических де формаций. При этом на всей поверхности текучести Ар* уровень достигнутых пластических деформаций одинаков. Вторым основ ным допущением является утверждение, что поверхность текуче сти Ар* является одновременно и поверхностью пластического потенциала и в соответствии с ассоциированным законом пла стического течения полный вектор пластических деформаций нормален к поверхности текучести. Возрастание напряжений, сопровождающееся накоплением пластических деформаций, при ведет к расширению области упругости, и ассоциированная по верхность текучести, называемая обычно «шатром», займет новое положение А*р** При этом объемная пластическая деформация в любой точке нового шатра независимо от пути нагружения будет постоянна и равна деформации, которую получил бы образец при изотропной компрессии от давления р* до р**
В случае отсутствия сцепления условие течения для линейной части диаграммы примет вид
Fs = - ап tg фш= 0. |
(2.5.12) |
Параметр срш означает угол наклона прямой, отделяющей уп ругую область от вязкопластической, в которой реализуется эф фект упрочнения. В граничном случае угол сршпринимает значе
ние угла внутреннего трения ср. Таким образом, для плоскостей, на которых выполняется условие предельного равновесия, принимается критерий разрушения Кулона-Мора. В диаграмме trzs - <*пв области высоких нормальных напряжений в шатровых моделях он дополняется обычно эллиптической полусферой (см. рис. 2.5.7). Таким образом, область в плоскости хп5 - ап, где вяз копластические деформации обусловлены уменьшением объема и поверхность текучести в разрезе описывается эллипсом, отделя ется от области, для которой вследствие дилатансии от превы шения предела прочности происходит увеличение объема и прочность описывается прямой Кулона-Мора. Т.е. прямая кри тического состояния дополняется эллиптической кривой крити ческого состояния.
Возникновение необратимых деформаций обусловливает уп рочнение образца. Это упрочнение описывается через расшире ние поверхности течения посредством закона упрочнения. При ведем закон упрочнения отдельно для линейной и эллиптической частей.
Для линейной части поверхности течения, описываемой через уравнение (2.5.12), примем, что в деформируемом образце (рис. 2.5.8) т5 = ivc и стп = о2. Вследствие упрочнения угол срш может увеличиваться до значения угла внутреннего трения ср. В этом случае поверхность (кривая) течения соответствует крите рию разрушения (2.5.12). Изменения напряженного состояния, ведущие к появлению вязкопластических сжатий, дают значение критерия разрушения F > 0.
При первичной нагрузке образца при постоянных нормальных напряжениях ап наблюдается рост касательных напряжений т^. Положение точки на прямой течения определяется углом накло на данной прямой ср = arctan {т^/а,,}. С ростом касательных на пряжений растут и сдвиговые деформации у^, однако эта связь нелинейна (см. рис. 2.5.8). При разгрузке образца возникают уп ругая у^и необратимая (вязкопластическая) части деформаций
Yvp •
• res
Разделение упругой и вязкопластической частей деформаций сдвига дает представление первой в виде прямой, второй в виде комбинации параболы и горизонтальной прямой (см. рис. 2.5.8).
Из предположения, что необратимые деформации возникают на вызываемых через сдвиг поверхностях контактов, можно най ти связь между необратимыми сдвигами yvp и углом срш [22, 30]. На рис. 2.5.8 представлена упругая и вязкопластическая зависи мости между сдвигами и касательными напряжениями. Нели нейная часть связи - y j образуется из комбинации прямой и параболы, контакт которых характеризуется точкой с коэффици-
ентами y r и y j Простейшие математические построения дают связь между углом срш и вязкопластической частью сдвиговых деформаций y j в виде
Фш = arctg tg Ф 1 - ^ Z - y j ' 2 |
(2.5.13) |
y j |
|
при этом
ф = arctg (т/г /стг).
Эта функция, которая описывает закон упрочнения для ли нейной части поверхности течения, содержит два значения - угол внутреннего трения срт и параметр упрочнения y j , которые определяются из опытов на срез.
Форма и расширение эллиптической части поверхности тече ния в процессе упрочнения описываются тремя параметрами срк,
Я\ и V
Угол фк соответствует углу внутреннего трения породы в кри тическом граничном состоянии. Параметр q\ является скалярной величиной, определяемой, согласно Панде [26], по углу Лоде ®,
который зависит от напряженного состояния {а} |
|
qi = 0,75 + 0,48© + 0,466©2. |
(2.5.14) |
Таким образом, развитие эллипса описывается исключительно Параметром р *
Для определения связи между параметром р * и вязкопласти ческими сжатиями используются опыты на компрессионное сжа тие. На графиках (см. рис. 2.5.1) идеализированно изображены результаты компрессионных испытаний образца с наличием пор (коллектора). При простом нагружении (без разгрузки) объем пор уменьшается приближенно линейно в соответствии с ростом In а. Если на каком-то участке произвести разгрузку, а затем сно ва нагружать до точки, с которой началась разгрузка, то участки разгрузка-нагрузка ложатся на одну прямую, угол наклона кото рой со существенно меньше угла первоначальной прямой нагру жения X. Возникающие при разгрузке и повторной нагрузке де формации в рамках данной модели имеют упругую природу, в то время как при первичной (общей) нагрузке возникают как упру гие, так и вязкопластические деформации. Из графика (см. рис. 2.5.1), где идеализированно изображены результаты компресси онных испытаний, имеем при увеличении напряжений от р*0 до р\ сокращение пористости:
Ае = - Х \ п ( р ; / р 0). |
(2.5.15) |
Изменение пористости, обусловленное упругими деформа
циями при разгрузке от р\ до р\ |
|
Аее1= -coin (pi / p i). |
(2.5.16) |
Вязкопластическая часть результирующего изменения порис тости составляет
Aevp = Ае - Aeel = -(X - со) In ( р\ / р 0)* .
Так как изменение пористости ведет к изменению объема пробы, то можно записать
(М Т — |
*£L = |
(b - ^ ln ri |
(2.5.17) |
|
I v J |
l - e |
l - e |
p5 |
|
При введении параметра упрочнения вида %- (1 - е)/(к - со)
Pi = Rfi |
(2.5.18) |
Уравнение (2.5.18) представляет возможный закон упрочне ния для эллиптической части поверхности течения. Однако в этом уравнении упрочнение сформировано через относительное изменение объема и не учитывает деформирование по поверхно стям контактов.Последнее обстоятельство (представляющее ме ханизмдеформирования) обычно учитывается модификацией уравнения (2.5.18). При наличии одного элемента с единственной плоскостью контакта принимается, что относительное изменение объема обусловлено вязкопластическими деформациями е*,, нор мальными к плоскости. В этом случае
р \ = р о е х р (х е ^ ).
Для элемента с несколькими поверхностями существует пред ложение Панде [26] следующего вида: (AV/V)vp - х о ^ ,, где Хо - параметр, зависящий от числа, пространственной ориентации поверхностей, а также от напряженного состояния. Свойства сре ды не влияют на данный параметр. Таким образом, для каждой плоскости контакта получается
р\ =А>ехр(хх0е£). |
(2.5.19) |
Этим уравнением определяется расширение эллиптической части поверхности течения в зависимости от вязкопластических деформаций . Параметр х, характеризующий упрочнение, или параметр упрочнения, определяется из результатов изотропных компрессионных испытаний.
Параметр р*, имеющий размерность напряжений, определяет значение точки кривой эллипса на оси сп в процессе упрочнения. Значения полуосей эллипса имеют вид
а = р \ 1 - 0,5(70; b - Q}5qxp \g срк. |
(2.5.20) |
Уравнение эллипса, соответствующее поверхности течения, выражается в виде
но
|
|2 |
--<7iP*tg фк = 0, |
(2.5.21) |
|
|
2 |
|
где |ii = q\tg срк(2 - |
cpKугол внутреннего трения в крити |
||
ческом граничном состоянии. |
|
|
|
При использовании условий течения необходимо различать |
|||
две области. Если |
стп < ps, следует |
использовать уравнение пре |
|
дельного равновесия вида (2.5.12), описывающее процесс раз рыхления пород в запредельной области или дилатансию. В слу чае а„ > ps следует использовать (2.5.21). Величина pst означаю щая точку пересечения линейной и эллиптической уравнений критического состояния, находится из выражения
(2.5.22)
где
В рассматриваемых модельных представлениях условие тече ния в случае растягивающих напряжений имеет вид
F, = ап = 0. |
(2.5.23) |
Как уже отмечалось, одним из основных допущений разви ваемых модельных представлений о деформировании нефтяного коллектора под влиянием налегающей толщи пород является утверждение, что поверхность текучести является одновременно и поверхностью пластического потенциала, т.е. имеется ассоции рованный закон пластического течения. В соответствии с этим законом или с принципом нормальности, полный вектор вязко пластических деформаций нормален к поверхности текучести. В связи с этим скорости вязкопластических деформаций определя ются из известного соотношения [27, 34, 37]
г
(2.5.24)
ill